2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時跟蹤練（五十）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文（含解析）新人教A版

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1、課時跟蹤練(五十) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：由題意知點M在圓外，則a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝<1，故直線與圓相交． 答案：B 2．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0， 得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a， 所以圓心坐標為(－1，1)，半徑r＝， 圓心到直線x＋y＋2

2、＝0的距離為＝， 所以22＋()2＝2－a，解得a＝－4. 答案：B 3．(2019·深圳調(diào)研)在平面直角坐標系中，直線y＝x與圓O：x2＋y2＝1交于A，B兩點，α，β的始邊是x軸的非負半軸，終邊分別在射線OA和OB上，則tan(α＋β)的值為(　　) A．－2 B．－ C．0 D．2 解析：由題可知tan α＝tan β＝，那么tan(α＋β)＝＝－2，故選A. 答案：A 4．(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是(　　) A．3 B．4

3、C．2 D．8 解析：連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點C.在Rt△O1AO2中，sin ∠AO2O1＝，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin ∠AO2O1＝2×＝2，所以AB＝2AC＝4.故選B. 答案：B 5．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 解析：設(shè)圓

4、(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2，0)，r＝，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知條件可得AB＝2，所以△ABP面積的最大值為AB·dmax＝6，△ABP面積的最小值為AB·dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2，6]． 故選A. 答案：A 6．已知圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為____________________ ____________． 解析：因為圓C1的圓心C1(

5、3，0)，圓C2的圓心C2(0，3)， 所以直線C1C2的方程為x＋y－3＝0， AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 7．從圓x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一點P(3，2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為________． 解析：由x2－2x＋y2－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，則圓心為C(1，1)，|PC|＝＝.設(shè)兩切點分別為B，D，則|CD|＝1，所以sin ∠CPD＝，則cos ∠DPB＝1－2 sin2∠CPD＝1－＝，即兩條切線夾角的余弦值為. 答案： 8．[一題多解](2016·全國卷Ⅲ)已知直線

6、l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．則|CD|＝________． 解析：法一　由圓x2＋y2＝12知圓心O(0，0)，半徑r＝2.所以圓心(0，0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，|AB|＝2 ＝2.過C作CE⊥BD于E. 如圖所示，則|CE|＝|AB|＝2. 因為直線l的方程為x－y＋6＝0， 所以kAB＝，則∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°. 所以|CD|＝＝＝＝4. 法二　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2， 所以A(－3，)，B(0，2)．

7、過A，B作l的垂線方程分別為 y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0， 得xC＝－2，xD＝2，所以|CD|＝2－(－2)＝4. 答案：4 9．已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求證：圓C1和圓C2相交； (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長． (1)證明：圓C1的圓心為C1(1，3)，半徑r1＝，圓C2的圓心為C2(5，6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交． (2)解：圓C1和圓

8、C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x＋3y－23＝0，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0. 圓心C2(5，6)到直線4x＋3y－23＝0的距離為＝3，故公共弦長為2＝2. 10．已知點P(＋1，2－)，M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求過點P的圓C的切線方程； (2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長． 解：由題意得圓心為C(1，2)，半徑r＝2. (1)因為(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4， 所以點P在圓C上． 又kPC＝＝－1， 所以切線的斜率k＝－＝1. 所以過點P的圓C的切線方程是y－(2－)＝x－(＋1)， 即

9、x－y＋1－2＝0. (2)因為(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， 所以點M在圓C外部． 當(dāng)過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x－3＝0. 又點C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r， 所以直線x－3＝0是圓的切線． 當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)， 即kx－y＋1－3k＝0， 則圓心C到切線的距離d＝＝r＝2， 解得k＝. 所以切線方程為y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因為|MC|＝＝， 所以過點M的圓C的切線長為＝＝1. B組　

10、素養(yǎng)提升 11．(2019·蘭州實戰(zhàn)模擬)若直線l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)把圓(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面積相等的兩部分，則＋的最小值為(　　) A．10 B．8 C．5 D．4 解析：由題意知圓心C(－4，－1)在直線l上，所以－4a－b＋1＝0，即4a＋b＝1，所以＋＝(4a＋b)·＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b，即a＝，b＝時，等號成立，故選B. 答案：B 12．(2019·茂名模擬)若圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點到直線l：ax＋by＝0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A．[2－，1] B

11、．[2－，2＋] C. D．[0，＋∞) 解析：圓x2＋y2－4x－4y－10＝0可化為 (x－2)2＋(y－2)2＝18， 則圓心坐標為(2，2)，半徑為3. 由圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三個不同點的直線l：ax＋by＝0的距離為2可得，圓心到直線l：ax＋by＝0的距離d≤3－2＝， 即≤， 則a2＋b2＋4ab≤0.① 若a＝0，則b＝0，不符合題意， 故a≠0且b≠0，則①可化為 1＋＋≤0， 由于直線l的斜率k＝－， 所以1＋＋≤0可化為1＋－≤0， 解得k∈[2－，2＋]，故選B. 答案：B 13．[一題多解](2018·江蘇卷)在

12、平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y＝2x上在第一象限內(nèi)的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·＝0，則點A的橫坐標為________． 解析：法一　設(shè)A(a，2a)，a>0，則C， 所以圓C的方程為＋(y－a)2＝＋a2， 由得 所以·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，所以a＝3或a＝－1，又a>0，所以a＝3，所以點A的橫坐標為3. 法二　由題意易得∠BAD＝45°. 設(shè)直線DB的傾斜角為θ，則tan θ＝－， 所以tan ∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3， 所以kAB＝tan ∠ABO＝－3. 所以AB的方程為y＝－3(x－5

13、)， 由得xA＝3. 答案：3 14．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝4，點O是坐標原點．直線l：y＝kx與圓C交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)直線l能否將圓C分割成弧長的比為的兩段??？若能，求出直線l的方程；若不能，請說明理由． 解：(1)將y＝kx代入圓C的方程x2＋(y－4)2＝4. 得(1＋k2)x2－8kx＋12＝0. 因為直線l與圓C交于M，N兩點， 所以Δ＝(－8k)2－4×12(1＋k2)>0，得k2>3.(*) 所以k的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)． (2)假設(shè)直線l能將圓C分割成弧長的比為的兩段弧， 則劣弧所對的圓心角∠MCN＝90°， 由圓C：x2＋(y－4)2＝4知圓心C(0，4)，半徑r＝2. 在Rt△MCN中，可求弦心距d＝r·sin 45°＝， 故圓心C(0，4)到直線kx－y＝0的距離＝， 所以1＋k2＝8，k＝±，經(jīng)驗證k＝±滿足不等式(*)， 故l的方程為y＝±x. 因此，存在滿足條件的直線l，其方程為y＝±x. 7