《線性代數(shù)》(郝志峰) 習(xí)題詳解.doc

《《線性代數(shù)》(郝志峰) 習(xí)題詳解.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《線性代數(shù)》(郝志峰) 習(xí)題詳解.doc（53頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、習(xí)題一1、（1）.（2）.2、（1）排列的逆序數(shù)為. （2）排列的逆序數(shù)為.3、含有因子的項（縱標(biāo)為1324，逆序數(shù)為），（縱標(biāo)為1342，逆序數(shù)為）.4、經(jīng)第一行與第四行交換行列式為負(fù)號，經(jīng)轉(zhuǎn)置行列式不變，經(jīng)用2乘所有元素為，經(jīng)用乘第2列加到第5列為行列式不變，經(jīng)這些處置后行列式為.5、的代數(shù)余子式為0，的代數(shù)余子式為.6、.7、（1）. （2）.8、（1）.（3）.9、（1）對第i列分開三項（i=2,3,4）,再利用其中兩列元素相同、成比例，則行列式為0，其結(jié)果為0，等于右邊.（2）（3）用遞推法去證.從第二行起得：10、（1）用數(shù)學(xué)歸納法去證.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任何正

2、整數(shù)，有.（2）用數(shù)學(xué)歸納法去證.當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由數(shù)學(xué)歸納法可知，對任何正整數(shù)n，有等式成立.11、.12、（1）按第1行至第n行、第1列至第n列展開得證.（2）解一，按第n行、第n+1行展開，得解二，按最簡一行、最后一行展開得.故 14、設(shè)，則得，這時，得，故，即.15、,當(dāng)時，有非零解.習(xí)題二1、（1） （2） （3）.2、即：，這時，。3、（1） （2）4、.5、6、從變量到變量的線性變換為7、各工廠的總收入和總利潤為.8、設(shè)，由得，即，利用，利用，這時.9、設(shè)，由得，即，故，這時，其中為常數(shù).10、（1）,故; （2），故.11、，.12、（1）根據(jù)對稱矩陣的性質(zhì)：，根據(jù)反對稱矩陣

3、的性質(zhì)：； （2）根據(jù)可逆對稱矩陣的性質(zhì)：.13、（1）根據(jù)對稱矩陣、反對稱矩陣的性質(zhì)：；（2）先證必要性，若是反對稱矩陣，則；為反對稱矩陣，為反對稱矩陣，為對稱矩陣，則，即可交換.再證充分性，若，則為反對稱矩陣。設(shè)為反對稱矩陣，為對稱矩陣，則，即為反對稱矩陣.14、.15、（1）；（2）.16、，則。17、用數(shù)學(xué)歸納法去證。當(dāng)時，.當(dāng)時，成立.則時，故為正整數(shù)時，.18、用歸納法去證.當(dāng)時，；當(dāng)時，等式成立；則當(dāng)時，；故為正整數(shù)時，成立 .而.19、因，而，故，則均可逆.20、因，而，故.21、設(shè)，則，由；由；即.22、，則，而，故.23、（1），其中，而，故；（2），其中，而，故.24、故

4、.（矩陣行階梯形）（矩陣行最簡形）.26、這是矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形D.27、這是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型.28、在秩為的矩陣中，有階子式、有階子式，如的，其中有等于0的一階子式、二階子式.29、（1） ，故. （2），故.30、，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.31、先證必要性 若，即初等變換后化為矩陣，而初等變換不改變矩陣的秩，故； 再證充分性 設(shè)，由矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形理論知，矩陣與有等價標(biāo)準(zhǔn)形，即，由等價關(guān)系的傳遞性知.習(xí) 題 三1、.2、，則.3、 ，這時.4、.當(dāng)時，可由線性表示.這時，為矩陣行階梯形，為矩陣行最簡形，于是.說明：這一題可用克萊姆法則求解.5、（1）記，因為向量組不能由向量組線性表示，所以，從而這

5、時，；（2），這時.6、（1）因為，所以線性相關(guān). （2）因為，所以線性相關(guān).（3）因為，所以線性無關(guān).（4）因為是四維三個向量，所以線性無關(guān).（5）因為是二維三個向量，所以線性相關(guān).7、因為，所以.8、（1），則線性相關(guān)，但不能由線性表示.（2），則存在，使，但線性無關(guān)，線性無關(guān).（3），則只有時，使，但這時線性無關(guān)，而線性相關(guān).9、因為線性相關(guān)，由相關(guān)定義知，有一組不全為零的數(shù)使得，假設(shè)，則不全為零，由上式得.由相關(guān)定義知，線性相關(guān)，這與題設(shè)矛盾，故，于是，則可由線性表示.10、用反證法，設(shè)有兩種不同表示法，則，而線性無關(guān)，故，最后的結(jié)果說明表示式是唯一的.11、先證必要性。設(shè)線性無關(guān)，為

6、任意維向量，若，則，即可由線性表示。若，則線性相關(guān)，因向量的個數(shù)大于向量的維數(shù)，而線性無關(guān)，故可由線性表示（例9已證）.再證充分性。任一向量可由線性表示，則維單位向量也可由線性表示，而向量組與向量組等價，因為線性無關(guān)，所以也線性無關(guān).12、（1）因為，所以極大無關(guān)組為，亦或或。（2）.13、，為矩陣的行階梯形，為矩陣的行最簡形. （1）由矩陣可見，線性無關(guān)，這是所求的極大無關(guān)組；（2）；（3）由矩陣可見，記，則，即。14、（1）兩個向量不成比例，故線性無關(guān)； （2） 包含的極大無關(guān)組為. （3）.15、先證向量組等價.顯然向量組可由向量組線性表示.又，即，從而這說明向量組可由向量組線性表示，故

7、向量組等價.再證秩相等。則由向量組等價，且個數(shù)相同（均為），故。16、由作為列構(gòu)成矩陣. ，故，則，故兩個向量組可以互相線性表示，因而向量組等價.17、（1）； （2）.18、（1）； （2），即.19、因為，所以已成正交，故，則，再單位化：.20、取，則， ，再單位化：.21、（1）不是正交矩陣，因第一行元素平方之和； （2）是正交矩陣，因第行元素平方之和等于1，第行、第行對應(yīng)元素之和等于零.22、先證為對稱矩陣：再證為正交矩陣：23、因都是階正交矩陣，故； 而，故為正交矩陣.習(xí) 題 四1、（1），故，取，則，基礎(chǔ)解系為.（2）、，得同解方程組，取，得，故基礎(chǔ)解系為.2、（1）通解為，（為任

8、意實數(shù)）.（2），得同解方程組，取，則，基礎(chǔ)解系為，通解為.3、，第一個方程與第二個方程對調(diào)，并乘第一個方程，得： 當(dāng)時，此方程組有非零解.4、 ，故無非零解.5、（1）總有解（因）.只有零解，就沒有基礎(chǔ)解系；有非零解，則存在基礎(chǔ)解系；基礎(chǔ)解系不唯一，基礎(chǔ)解系中含有個解向量. （2）若已知的一個基礎(chǔ)解系為，則的通解形式為，其中為任意實數(shù). （3）若是的基礎(chǔ)解系，則也是的基礎(chǔ)解系，這因為：，即，由于線性無關(guān)，故，從而得. （4）有非零解，且，則，這是正確的結(jié)論.6、先證必要性. 若三個向量共面，由共面的充要條件為，知齊次線性方程有非零解. 再證充分性. 若齊次線性方程組有非零解，則，即三個向量共

9、面.7、設(shè)為的基礎(chǔ)解系，由兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)相等，故等價的線性無關(guān)向量組可以為，則可由線性表示，從而也是的解. 又線性無關(guān)，的任一解可由線性表示，從而可由線性表示，這就說明也是一個基礎(chǔ)解系.8、設(shè)為的基礎(chǔ)解系，又設(shè)為的線性無關(guān)解，由第7題可知，只要證明這兩個解向量等價即可.因為基礎(chǔ)解系，故可由線性表示，即因為線性無關(guān)，所以，則可由線性表示，因而這兩個向量組等價.9、利用原方程組與方程組同解，的秩相等，則可證明可由線性表示.10、記，由，故是的解.反之，若是的解，則.11、將通解改寫為，由此可知，所求方程組有兩個自由未知數(shù)，且對應(yīng)的齊次線性方程組為，即，所給表達(dá)式為其通解.12

10、、因為，所以，對施以初等行變換，化為行階梯形矩陣，要使，則必有，此時與同解方程組為，取，則有，故基礎(chǔ)解系為13、因，且中某元素的代數(shù)余子式，故存在非零的階子式，從而可知，則基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為.14、（1），即則（2）同解方程組為，則（其中為任意常數(shù)）.15、當(dāng)時，方程組有唯一解.當(dāng)時，因為，所以方程組無解.當(dāng)時，即有同解方程組，解為,其中為任意常數(shù).16、，故，方程組有解.17、，當(dāng)時，有解.18、解一，當(dāng)時，方程組有唯一解.當(dāng)時，原方程組為；，同解方程組為，即（為任意常數(shù)）.當(dāng)時，原方程組為，即，這時第二個第三個方程左邊相同，而右邊不等，故方程組無解.解二，對原方程組的增廣矩陣施初

11、等行變換，于是，當(dāng)時，原方程組無解；當(dāng)時，原方程組有唯一解；當(dāng)時，原方程組有無窮多組解，其全部解為（其中為任意常數(shù)），（或（為任意常數(shù)）.19、（1）若，則必有解，且有無窮多解. （2）若，則必有解，且有唯一解.（3）若只有零解，則有唯一解，這是錯誤的結(jié)論，因二者不一定相等.20、設(shè)，得線性方程組為 其系數(shù)行列式，由此可見： （1）當(dāng)時，則方程組有唯一解；故可由唯一的線性表示； （2）當(dāng)時，則方程組有無窮多解，故可由線性表示，這時； （3）當(dāng)時，則方程組的增廣矩陣因，故方程組無解；從而不能由線性表示.21、證一，用非齊次方程組解的定義去證：因為，所以是的解.證二，用非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)定理去證

12、：因為是的解，則是的解，所以也是的解，即是的解.22、，有解的充要條件為，故必要求.23、由題設(shè)知均為的解，且線性無關(guān)，而為的解，則的通解為.24、對增廣矩陣施初等行變換，得同解方程組為，取得，即得非齊次線性方程組的一個解為.對應(yīng)齊次線性方程組，取得，即對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為.25、因為線性無關(guān)，且，所以，從而的基礎(chǔ)解系中含個解向量，又由得，故是的一個基礎(chǔ)解系；又由得，即，可見是的一個特解，故的通解為（為任意常數(shù)）.26、四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，又是的三個解向量，則，故的通解為（為任意常數(shù)）.27、設(shè)小雞、母雞、公雞的個數(shù)為，則，由（2）得，由得，即，現(xiàn)求其正整數(shù)解為.習(xí)

13、題 五1、（1），故的特征值.當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)于全部特征向量為（的任意常數(shù)）.當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)于全部特征向量為（不同時為零的任意常數(shù)）.（2），故的特征值為.當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系為，對應(yīng)于全部特征向量為（任意常數(shù)）.（3），故的特征值為.當(dāng)時，解方程，由，得基礎(chǔ)解系中解向量個數(shù)為，因而任意三個線性無關(guān)的向量都是它的一個基礎(chǔ)解系，不妨取三維單位向量組，就是對應(yīng)特征值的特征向量，對應(yīng)于全部特征向量為（不全為零的任意常數(shù)）.說明：此結(jié)論可推廣至階，不妨取個單位向量組，就是對應(yīng)于特征值的特征向量。2、由為矩陣的特征值知，從而；把代入矩陣，通過計算得，故.

14、3、由兩邊左乘得，由得，即，因為，所以，由此得.4、已知是的特征值，故是的一個特征值，則的一個特征值為.5、因是的特征值，故，從而的特征值為，即的特征值為，于是的特征值為，因而.6、用反證法 設(shè)是A的屬于特征值的特征向量，即則由 ，得即 .因是分別屬于不同的特征值的特征向量，從而線性無關(guān)，故由上式得即 這與矛盾，因而不是A的特征向量.7、則 ；相似對角矩陣為.8、（1）A中有特征值1,3,0，有三個不同的特征值，故A可相似對角化. （2）B中特征值為1,1,3，當(dāng)時， 故的基礎(chǔ)解系中僅含有一個向量,即只有一個線性無關(guān)的特征向量，故B不能相似對角化.（3）由得C的特征值為1個6,2個0，當(dāng)時，,

15、這說明的基礎(chǔ)解系由2個解向量組成，故有兩個線性無關(guān)的特征向量，故C可相似對角化.9、（1）題設(shè)是屬于特征值的特征向量，由得即 （2）由得A的特征值為，因,故，只有一個線性無關(guān)的特征向量，故A不能相似對角化.10、（1）因,故其特征多項式相同，即,這時，令，得 即 令，得，即則.（2）由（1）知，故A與B的特征值為-1,2,-2將代入得，解方程組可求得一個基礎(chǔ)解系為,故是A屬于特征值的特征向量.將代入得解方程組，可得一個基礎(chǔ)解系為，是A屬于特征值的特征向量.將代入得解方程組，可得一個基礎(chǔ)解系為，是A屬于特征值的特征向量.11、令，可使由得則.12、對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量互相正交，現(xiàn)已

16、知對應(yīng)于特征值的特征向量，故對應(yīng)于特征向量為，則有即解此方程組，由即令，解得，將其單位化得，令，則由得13、對稱矩陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量互相正交，現(xiàn)已知對應(yīng)于特征值的特征向量，對應(yīng)于特征值的特征向量則有即是齊次線性方程組的兩個線性無關(guān)解，于是由方程組，即，令，則對應(yīng)有.將正交化，取，再將單位化得令，則由14、設(shè)，則由得 ，即15、由求得A的特征值為對應(yīng)于解方程組，由便得令，則對應(yīng)有，得基礎(chǔ)解系.將正交化，取，再將單位化得：.對應(yīng)于，解方程組，便得則對應(yīng)有，于是基礎(chǔ)解系，將單位化得，將構(gòu)成正交矩陣，有.16、（1）由5.2相似矩陣的性質(zhì)（6），得.（2）令,則A,B有相同的多項式（即），但

17、A,B不相似，否則存在可逆矩陣P,使，從而,矛盾.（3）由A,B均為矩陣知A,B均相似對角矩陣，則有，即存在可逆矩陣使,于是 .17、由得A的特征值，對應(yīng)于的特征向量為，對應(yīng)于的特征向量為，經(jīng)正交化、單位化后，使則18、A有特征值.對應(yīng)于，故則19、把用表示則.20、令.化A為對角矩陣，為此要找出P,使,求出,則再作 原方程組的通解為21、（1）由(2). ，A有特征值.(3). 習(xí) 題 六1. 其中2.觀察A,B發(fā)現(xiàn)，交換A的第1，2列，再交換A的第1,2行，即可的B,由初等變換可知，左乘及右乘得，3. A對調(diào)的第二、三列與第二、三行，由初等變換可知，左乘與右乘得4.，故有特征值為，則的正慣

18、性指數(shù)為2.5. 令6.二次型矩陣為故A有特征值可求得對應(yīng)于對應(yīng)的特征向量為，單位化得：，正交變換為：7. 二次型矩陣與標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為在正交變換下相似，故有則A的特征值為3,3，-3.對，由求得基礎(chǔ)解系為這就是對應(yīng)于線性無關(guān)特征向量（）。對，由求得基礎(chǔ)解系為這就是對應(yīng)于的特征向量。因不正交，故需正交化，令再單位化得：所用的正交變換為8.因。9.寫出二次型矩陣由求得A有特征值為，則的標(biāo)準(zhǔn)形為.10.二次型矩陣為作初等變換則可作可逆變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.11.令.12. 寫出二次型矩陣由求得A有特征值為，若規(guī)范形為，說明兩個特征值為正，一個為零. 則若即符合題意.若這時不符合題意.若，這時不符合題意.13

19、寫出二次型矩陣得A有特征值為當(dāng)由取得基礎(chǔ)解系為這就是對應(yīng)于的特征向量.當(dāng)時，由得基礎(chǔ)解系為當(dāng)6時，由得基礎(chǔ)解系為對于對稱矩陣不同的特征值的特征向量已成正交，故只需單位化，有令，經(jīng)正交變換，二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 當(dāng)時，有，這時即.14.（1）二次型矩陣，故A為正定.（2）二次型矩陣故為負(fù)定.15.對任意，由為正定矩陣，A為對稱矩陣，總有由此對任意，恒有只有零解，從而可逆.16.設(shè)則，令則，這時，上式表明，對任意，總有，于是由定義知：為正定二次型.17.（1）證一，因為正定矩陣，故為正定二次型，又由于正定二次型進行非奇異線性變換所得的二次型仍為正定的，故對經(jīng)變換后得仍為正定二次型，故為正定矩陣. 證二

20、，根據(jù)對稱矩陣為正定的充要條件是的特征值全大于零，設(shè)是的一個特征值，是的等于的一個特征值，則，從而，因而是的特征值，而是正定矩陣，故，因此的全部特征值大于零，故是正定矩陣（見P27倒數(shù)第5行）.（2） 因均為正定矩陣，故均為對稱矩陣，從而為對稱矩陣，且為正定二次型，于是，對不全為零的實數(shù)令有,故即二次型為正定的，則為正定矩陣.18、,即為對稱矩陣，又對于任意，有故為正定矩陣。19，記則二次型的矩陣為因故的特征值為可求得對應(yīng)的特征向量為單位化得因而正交變換為，即化二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.20、記原二次曲面方程的左邊為，則其中，因二次型經(jīng)正交變換化為，故A的特征值為再由.21，矩陣A經(jīng)初等變換的矩

21、陣B，故A與B等價。用初等變換知因為,所以A與B相似，合同。22,因為且A與B為同型矩陣，所以矩陣A與B等價，又因為A與B特征值不等，所以A與B不相似，再因矩陣A與B，若故A與B不合同。23、，在駐點（0,0,1）處的赫斯矩陣為因故為負(fù)定矩陣，因而的極大值.習(xí) 題 七1.（1）任取由矩陣的定義及矩陣的加法，數(shù)乘的定義，可知這就是說二階矩陣的集合,對于矩陣的加法和數(shù)乘運算是封閉的，又根據(jù)加法和數(shù)乘運算滿足的運算規(guī)律，可知這兩種運算滿足線性運算的八條規(guī)律，因此據(jù)線性空間的定義，對于矩陣的加法和數(shù)乘運算，集合構(gòu)成線性空間.今在線性空間中取一個向量組顯然，是一個線性無關(guān)組，又對任意,有,即中的任意向量

22、都可由向量組線性表示，故為的一個基，維數(shù)為4. (2).由于是的子集，只要驗證對于矩陣的加法和數(shù)乘運算封閉即可，任取,其中有,又任意,因,故,這就是說集合對于矩陣的加法和數(shù)乘運算是封閉的，據(jù)線性空間的定義對于矩陣的加法和數(shù)乘運算，集合構(gòu)成線性空間，今在線性空間中取一向量組顯然，是一個線性無關(guān)組，又對任意其中有,即中的任意向量可由向量組線性表示，故是中的一個基，維數(shù)為3.2.因由,得則此全部解向量組成的集合對于中加法不封閉，故集合不構(gòu)成線性空間.3、設(shè)的維數(shù)為，如果那么與都是零空間，則.當(dāng)時，任取的一個基由于,且的維數(shù)為，故也是的一個基，因此中每個向量都可由它線性表示，而的任意線性組合都是中的向

23、量，故，從而.4. 證一，用基的定義去證.令則有欲使等式成立，只有，由此得可見線性無關(guān)，因而它是一個基.證二，用基變換去證. 因是一個基，且5、解一. 設(shè)則問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組，于是對增廣矩陣施以初等變換，使之變?yōu)樾凶詈喰尉仃嚕?，解得故，即向量在所給基下的坐標(biāo)列為.解二. 在中取單位坐標(biāo)向量組作為另一組基，則在下的坐標(biāo)列就是它自己，即，今記，由于,此即說明由基到基的過渡矩陣是,故據(jù)坐標(biāo)變換公式，向量在另一個基下的坐標(biāo)列為,則問題轉(zhuǎn)化為求.解得，故，即向量在所給基下的坐標(biāo)為.6、設(shè)過渡矩陣為，由得，由可知，故.7.設(shè)由基到基的過渡矩陣為，由，因向量在基下的坐標(biāo)就是它自己，而在基下的坐標(biāo)由坐

24、標(biāo)變換公式為，故要使在兩個基下有相同的坐標(biāo)列，必須且需，即，亦即，這是一個，對系數(shù)矩陣施以初等行變換，化為行最簡形矩陣：令，故得的基礎(chǔ)解系為，從而求得在兩個基下有相同坐標(biāo)的向量為（其中為任意常數(shù)）.8.設(shè)， (其中為任意常數(shù))，合同變換的線性變換.9、設(shè)，則（1） ,而而，故當(dāng)且僅當(dāng)時才是線性變換.(2) 而 故 因而 不是線性變換.(3)，而 故 ，因而 是線性變換.10、（1）因，故平面上該變換是表示以軸為鏡面的鏡面反射映射，或者說，像與源關(guān)于軸對稱.（2） 因，故平面上該變換是表示以直線為鏡面的鏡面反射映射，或者說，像與源關(guān)于對稱.11、，即，故在此基下的矩陣為.12、由得基到基的過渡矩陣為求出，故 .13因，由基到基的過渡矩陣，求出，故14，按線性變換定義去證。設(shè)有 ，故為線性變換（其中為任意常數(shù)）.由 得，故.