2019屆高中數(shù)學(xué) 專題2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)視角透析學(xué)案 新人教A版必修1

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1、 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 【雙向目標(biāo)】 課程目標(biāo) 學(xué)科素養(yǎng) A掌握指數(shù)函數(shù)的概念,并能根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) B)能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象,并根據(jù)圖象給出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) C. 能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決和指數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題 a數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)概念的理解，會(huì)根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù) b邏輯推理：通過觀察圖象，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)追謩e是，?的性質(zhì) c數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)單調(diào)性等性質(zhì)計(jì)算參數(shù)的值 d 直觀想象：做出指數(shù)函數(shù)圖像并能識(shí)別圖像 e 數(shù)學(xué)建模：能用指數(shù)函數(shù)的思想解決生活中的實(shí)際問題 【課標(biāo)知識(shí)】 知識(shí)提煉 基礎(chǔ)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)1：.

2、指數(shù)函數(shù)定義 形如?y=ax?（且1）叫指數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)?（0，+∞） ，值域 R . 知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)圖像及其性質(zhì) 函數(shù) 圖 象 定義域 值域 定點(diǎn) 單調(diào)性 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 取值 情況 若，則 若，則 若，則 若，則 對(duì)稱性 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 1已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求的值。 2.下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（ ） A．y＝(－4)x B． C．y＝－4x D．?(a>0且a≠1) 3.若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù)，且f(2

3、)＝2，則f(x)＝( ) A．()x B.????C.???D. 4.函數(shù)的定義域是 （ ） A． B． C． D． 5.函數(shù)的大致圖象為（ ??） 6.若，則 （ ） A． B． C． D． 基礎(chǔ)過關(guān)參考答案： 1.【解析】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn) ，所以 即，解得，于是。 所以。 【答案】見解析 【答案】A 5.【解析】，把的圖象向右平移的單位. 【答案】A 6.【解析】 ，所以 【答案】A 【能力素養(yǎng)】 探究一

4、 指數(shù)函數(shù)的圖象 例1． 如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為( ) A．a(chǎn)

5、 ） A. B. C. D. 【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)可知a，b同號(hào)且不相等，則二次函數(shù)y=ax2+bx的對(duì)稱軸＜0可排除B,D，C選項(xiàng)中，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，故C不正確． 【答案】A 2. 【四川省眉山第一中學(xué)2017-2018學(xué)年高一12月月考數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù) ()的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是 ( ) A. B. C. D. 【解析】由已知中函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）的圖象可得： 0＜a＜1，b＜-1，故g（x）=ax+b的圖象如下圖所示：，選A. 【答案】A 探究二

6、 利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小 或解指數(shù)不等式 例2：比較下列各題中兩個(gè)值的大?。? (1)3π與33.14； (2) 1.40.1與0.90.3. 【分析】解答本題應(yīng)注意底數(shù)是否相同，若不能化為同底，可借助各值與“1”的大小關(guān)系來確定它們的大小. 【點(diǎn)評(píng)】在進(jìn)行數(shù)的大小比較時(shí)，若底數(shù)相同，則可根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；若底數(shù)不相同，則首先考慮能否化為同底數(shù)，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果；不能化成同底數(shù)的，要考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(如0,1等)分別與之比較，從而得出結(jié)果．總之，比較時(shí)要盡量轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷． 【變式訓(xùn)練】 1. 已知a＝2(5－

7、1)，函數(shù)f(x)＝ax，若實(shí)數(shù)m，n滿足f(m)>f(n)，則m，n的大小關(guān)系為________． 【解析】因?yàn)閍＝2(5－1)∈(0,1)，所以函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)．由f(m)>f(n)得m

8、的值域與單調(diào)區(qū)間. 【分析】用換元法將其化為指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與值域求法求解． 【解析】定義域?yàn)镽，，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又為減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，因此的值域?yàn)椋鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù) 【答案】值域?yàn)?，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】1.對(duì)復(fù)合函數(shù)的值域問題，先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)定義域求出內(nèi)函數(shù)的值域，將內(nèi)函數(shù)的值域作為外函數(shù)的定義域，利用外函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出外函數(shù)的值域，即為復(fù)合函數(shù)的值域. 2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題，求出內(nèi)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間結(jié)合外函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定其單調(diào)性. 【變式訓(xùn)練】

9、1． 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________；單調(diào)遞增區(qū)間是________． 【解析】，因此它的減區(qū)間為． 【答案】A 2．已知函數(shù)，則 A． 是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B． 是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) C． 是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D． 是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) 【答案】A 探究四 指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用 例4： 已知f(x)＝10x＋10－x(10x－10－x). (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)證明f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù)； (3)求f(x)的值域． 【分析】 (1)直接利用奇偶性定義進(jìn)行判斷． (2)欲直接利用單調(diào)性定義進(jìn)行

10、證明，則變形時(shí)較為復(fù)雜，故可先將f(x)化簡(jiǎn)，然后用定義判斷． (3)將f(x)化簡(jiǎn)可變?yōu)閒(x)＝1－102x＋1(2)，故把102x看成一個(gè)整體，進(jìn)行換元再求值域． 【答案】（1）奇函數(shù)（2）見解析（3）值域?yàn)? 【點(diǎn)評(píng)】指數(shù)函數(shù)是一種基本的初等函數(shù)，常與第一章學(xué)習(xí)的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等知識(shí)點(diǎn)融合在一起，此時(shí)按照函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的解決辦法分析、解決問題 【變式訓(xùn)練】 1．已知函數(shù) （1）判斷在上的增減性，并證明你的結(jié)論 （2）解關(guān)于的不等式 （3）若在上恒成立，求的取值范圍 【解析】（1）f(x)在上為減函數(shù) 證明方法一：設(shè) 在上為減函數(shù) 方法二：

11、利用導(dǎo)數(shù)證明:f′(x)= <0 ∴f(x)在上為減函數(shù) （2）不等式即即 當(dāng)，不等式的解當(dāng)a<0, ∵x>0 ∴恒成立 不等式的解 綜上所述當(dāng)a>0時(shí) 不等式的解{x|} 當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解{x|x>0}， （3）若 在恒成立即 2．已知函數(shù)，其中，且. (1)若，求滿足的的取值范圍； （2）求關(guān)于的不等式的解集. 【解析】（1）， 而，故，得：. （2）， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 故當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為. 【答案】（1）；（2） 【課時(shí)作業(yè)】 課標(biāo) 素養(yǎng) 數(shù)學(xué) 抽象 邏輯 推理 數(shù)學(xué)

12、 運(yùn)算 直觀 想象 數(shù)學(xué) 建模 數(shù)據(jù) 分析 A 1 2 B 11,12 6,10 3 C 4,7,8,13 5,15 9 14 一、選擇題 1．下列以x為自變量的函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是 A．y=(?5)x B．y=ex(e≈2.718 28) C．y=?5x D．y=πx＋2 【解析】由指數(shù)函數(shù)的概念可知B正確. 【答案】B 2．函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)? A．(?3,0] B．(?3,1] C．(?∞，?3)∪(?3,0] D．(?∞，?3)∪

13、(?3,1] 3．函數(shù)的大致圖象為 【解析】當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以B項(xiàng)正確. 【答案】B 4．已知，，，則 A． B． C． D． 【解析】由，，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知，即；因?yàn)?，，所以．綜上，，故選A． 【答案】A 5．下列函數(shù)中，值域?yàn)?0，＋∞)的是 A． B． C． D． 6．已知函數(shù)f(x)=(2a?1)x，若x＞0時(shí)總有f(x)＞1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A．1＜a＜2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞1 D．0

14、 【解析】∵x>0時(shí)，f(x)>1，所以此時(shí)函數(shù)為指數(shù)函數(shù)且底數(shù)大于1，因此由圖象知2a?1>1，∴a>1，故選C. 【答案】C 7．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 A．(?2,1) B．(?4,3) C．(?1,2) D．(?3,4) 【解析】原不等式變形為，∵ 函數(shù)在上是減函數(shù)，， 當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于，解得，所以的取值范圍是，故選C． 【答案】C 8．若函數(shù)(a＞0，且a≠1)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A．(0，) B．(，1) C．(0，] D．[，1) 【答案

15、】D 二、填空題 9．函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn) . 【解析】的圖象恒過點(diǎn)，則的圖象是由的圖象向右平移1個(gè)單位，且恒過點(diǎn)，的圖象是由的圖象向下平移3個(gè)單位，且恒過點(diǎn)． 【答案】 10．的值域是 ． 【解析】函數(shù)由復(fù)合而成，其中是減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在處取得最大值，最大值為，則值域?yàn)? 【答案】 11．已知函數(shù)，若，則 . 【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解?【答案】 12．定義區(qū)間的長(zhǎng)度為，已知函數(shù) 的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇1,9]，則區(qū)間[a，b]

16、的長(zhǎng)度的最大值為________，最小值為________． 【解析】由得x=0，由得，故滿足題意的定義域可以為或，故區(qū)間[a，b] 的最大長(zhǎng)度為4，最小長(zhǎng)度為2． 【答案】4，2 三、解答題 13．已知函數(shù)． （Ⅰ）若，求的值． （Ⅱ）若函數(shù)在上的最大值與最小值的差為，求實(shí)數(shù)的值． 故． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， ∴，化簡(jiǎn)得， 解得：（舍去）或． 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， ∴，化簡(jiǎn)得． 解得：（舍去）或． 綜上，實(shí)數(shù)的值為或． 【答案】（1）；（2）實(shí)數(shù)的值為或. 14．已知函數(shù)f(x)=ax?1(x≥0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，)，其中a＞0且a≠1. （1）求a的值； （2）求函數(shù)y=f(x)(x≥0)的值域． 【答案】（1）；（2）(0,2]. 15．已知函數(shù)y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為20，記. （1）求a的值； （2）證明：f(x)＋f(1?x)=1； （3）求的值． 【解析】（1）函數(shù)在[1,2]上的最大值與最小值之和為20， （2）由（1）知，，即 （3）由（2）知， ， … 【答案】（1）4；（2）1；（3）1008. 14