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1、課題：平面、空間兩條直線
教學目標：理解并會應用平面的基本性質(zhì),掌握證明關于“線共點”、“線共面”、“點共線”的方法公理及等角定理.空間兩條直線的位置關系有且只有三種，即平行、相交及異面.兩條異面直線所成的角及距離，求作異面直線所成的角時，往往取題中的特殊點.
會作幾何體的截面圖；會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.
教學重點：
（一） 主要知識及主要方法：
公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).
作用：①作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù)；②證明點在某平面內(nèi)的依據(jù)；③檢驗某面是否平面的依據(jù).
公理：如果兩個平面有一個公共點,那
2、么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.
作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點在某直線上；③證明三點共線；
④證明三線共點.
公理： 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.
作用：公理及其推論是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.
證明三點均在兩個平面的交線上，可以推證三點共線
證明直線共面通常的方法：先由其中兩條直線
3、確定一個平面，再證明其余的直線都在此平面內(nèi)（納入法）；分別過某些點作多個平面，然后證明這些平面重合（重合法）；
也可利用共面向量定理來證明.
公理是證明直線共點的依據(jù)，應該這樣理解：如果、是交點，那么是交線；
如果兩個不同平面有三個或者更多的交點，那么它們共面；
如果，點是a、b的一個公共點，那么
求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）—證—算”.注意，異面直線所成角的范圍是；求異面直線所成角的方法：①平移法：一般情況下應用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進行平移.
4、
②向量法：設、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角；③補體法
兩條異面直線的公垂線：①定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線；②證明：異面直線公垂線的證明常轉(zhuǎn)化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直.
兩條異面直線的距離：①定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度.
②計算方法：公垂線法；轉(zhuǎn)化成線面距離(點面距離)；轉(zhuǎn)化成面面距離.
（二）典例分析：
問題1．（上海）若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”
是“這四個點在同一平面上”的
5、
充分非必要條件；必要非充分條件；充要條件；非充分非必要條件．
(全國Ⅲ)不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有
個 個 個 個
（全國Ⅱ）正方體中，
、、分別是、、的中點．
那么，正方體的過、、的截面圖形是
三角形 四邊形五邊形六邊形
如圖，，、，，
且，直線，過、、三點
的平面記作，則與的交線必通過
點；
6、 點；
點但不通過點； 點和點
（江蘇）如圖，已知是棱長
為的正方體，點在上，點在上，
且.求證：四點共面；（分）
略；略.
問題2．（全國Ⅱ）如圖，在直三棱柱中，，、分別
為、的中點．證明：為異面直線與的公垂線；略.
( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性)
證明：方法（用傳統(tǒng)方法）：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
方法（用向量法）：
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
7、
問題3．如圖，在正方體中，
棱長，求證：與是異面直線；
求于間的距離.
問題4．(上海春)在棱長為的正方體中，、分別是、 的中點，求異面直線與所成的角( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性).
解法1（傳統(tǒng)方法）：
解法2（向量法）：
（三）課后作業(yè)：
如圖，在正方體中，、分
8、別
是、的中點，求證：
①、、、四點共面；
②、、三點共線.
角與的兩邊分別平行，當時，
已知的直觀圖是邊長為的等邊，那么的面積為
如圖，在空間四邊形中，已知，
，且，對角線，
，求與所成的角.
（四）走向高考：
（北京）平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交
于點，則動點的軌跡是 一條直線 一個圓 一個橢圓 雙曲線的一支
（北京文）設、、、是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是
若與共面，則
9、與共面
若與是異面直線，則與是異面直線
若，，則
若，，則
（重慶）對于任意的直線與平面，在平面內(nèi)必有直線，使與
平行 相交 垂直 互為異面直線
（全國Ⅰ）在正方形中，過對角線的一個平面交于，交于，則
① 四邊形一定是平行四邊形;
② 四邊形有可能是正方形
③ 四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形
④ 四邊形有可能垂直于平面
以上結論正確的為 (寫出所有正確結論的編號）
（浙江）若是兩條異面直線外的任意一點，則
過點有且僅有一條直線與都平行過點有且僅有一條直線與都垂直
過點有且僅有一條直線與都相交 過點有且僅有一條直線與都異面
（天津）如圖，平面，，
且，則異面直線與所成角
的余弦值為
（江西文）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱
、、兩兩垂直，且，，
是的中點．略；求異面直線與所成的角；
略．
高三數(shù)學 第59課時 平面、空間兩條直線教案
