2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 專題突破一 三角形中的隱含條件學(xué)案（含解析）新人教B版必修5

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1、專題突破一　三角形中的隱含條件 解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．由于公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠．下面結(jié)合例子談?wù)勗诮馊切螘r(shí)，題目中隱含條件的挖掘． 隱含條件1.兩邊之和大于第三邊 例1　已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍． 解　設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c. ∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角． 由余弦定理得cosC＝＝<0. ∴k2－4k－12<0，解得－2k＋4，∴k>2， 綜上

2、所述，k的取值范圍為2

3、120°. 當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°， 則S△ABC＝AB·AC·sinA＝2； 當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°， 則S△ABC＝AB·AC·sinA＝. ∴△ABC的面積是2或. 反思感悟　利用正弦定理解決“已知兩邊及其中一邊對角，求另一角”問題時(shí)，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確出錯(cuò)． 跟蹤訓(xùn)練2　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，則B＝________. 答案　或π 解析　由正弦定理，得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB.

4、∵0＜B＜π，∴sinB≠0. ∴sinAcosC＋cosAsinC＝， sin(A＋C)＝，sin(π－B)＝.sinB＝. 又B∈(0，π)，∴B＝或B＝π. 例3　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.＝，試判斷三角形的形狀． 解　由＝和正弦定理，得＝， 又A，B∈(0，π)， ∴＝，即sinAcosA＝sinBcosB， 即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π. ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形． 反思感悟　在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋2B

5、＝180°. 跟蹤訓(xùn)練3　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若c－a＝2acos B，則B－2A＝____. 答案　0 解析　由正弦定理，得sinC－sinA＝2sinAcosB. ∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－(A＋B)， ∴sinC－sinA＝sin(A＋B)－sinA ＝sinAcosB＋cosAsinB－sinA ＝2sinAcosB， ∴sinBcosA－cosBsinA＝sinA，sin(B－A)＝sinA. ∵A，B∈(0，π)．∴B－A＝A或B－A＝π－A(舍)． ∴B－2A＝0. 例4　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.B＝3

6、A，求的取值范圍． 解　由正弦定理得＝＝ ＝＝ ＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1. ∵A＋B＋C＝180°，B＝3A，∴A＋B＝4A<180°， ∴0°

7、且a＝2bsinA. (1)求B的大??； (2)求cosA＋sinC的取值范圍． 解　(1)由正弦定理及a＝2bsinA得， ＝＝2b，sinB＝， 又∵B∈，∴B＝. (2)由△ABC為銳角三角形，得 解得＜A＜， cosA＋sinC＝cosA＋sin＝sin， ∵＜A＋＜.∴＜sin＜， ∴＜sin＜. ∴cosA＋sinC的取值范圍為. 反思感悟　事實(shí)上，銳角三角形三個(gè)內(nèi)角均為銳角對角A的范圍都有影響，故C＝π－A－B＝π－A∈.由此得A∈. 跟蹤訓(xùn)練5　銳角△ABC中，B＝60°，b＝，求△ABC面積S的取值范圍． 解　由正弦定理，a＝sin A＝sin A

8、＝2sin A. 同理c＝2sin C， ∴S＝acsin B＝·2sin A·2sin C·sin 60° ＝sin Asin C， ∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝－A. 又∵A，C為銳角，∴0<－A<，

9、在△ABC中，A＋B＜π，0＜A＜π－B＜π. ∴cosA＞cos(π－B)＝－cosB. ∴cosA＋cosB＞0. 2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若c0，∴cosB<0，∴B為鈍角， 故△ABC為鈍角三角形． 3．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，則cosC＝____

10、____. 答案　 解析　若A為鈍角，由sinA＝＜，知A＞. 又由cosB＝＜.知B＞. 從而A＋B＞π.與A＋B＋C＝π矛盾． ∴A為銳角，cosA＝. 由cosB＝，得sinB＝. ∴cosC＝－cos(A＋B) ＝－(cosAcosB－sinAsinB) ＝－＝. 4．在△ABC中，C＝120°，c＝a，則a與b的大小關(guān)系是a________b. 答案?。? 解析　方法一　由余弦定理cosC＝， 得cos120°＝， 整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b. 方法二　由正弦定理＝，得＝， 整理得sin A＝＞＝sin 30°. ∵C＝120°，∴A＋B＝

11、60°，∴A＞30°，B＜30°，∴a＞b. 5．在△ABC中，若b2＝ac，則的取值范圍是________． 答案　 解析　設(shè)＝q，則由b2＝ac，得＝＝q. ∴b＝aq，c＝aq2. 由得 解得＜q＜. 6．在鈍角△ABC中，2B＝A＋C，C為鈍角，＝m，則m的取值范圍是________． 答案　(2，＋∞) 解析　由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝. 又C＞，∴0＜A＜，∴∈(，＋∞)． ＝＝＝ ＝＋＞＋·＝2， ∴m∈(2，＋∞)． 7．在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范圍． 解　∵C＝，∴A＋B＝π， ∴外接圓直徑2R＝＝＝2. ∴a－b＝2R

12、sin A－·2Rsin B＝2sin A－sin B ＝2sin A－sin＝sin. ∵0＜A＜π，∴－＜A－＜， ∴－＜sin＜1.－1＜sin＜. 即a－b∈(－1，)． 一、選擇題 1．已知三角形三邊之比為5∶7∶8，則最大角與最小角的和為(　　) A．90°B．120°C．135°D．150° 答案　B 解析　設(shè)最小邊為5，則三角形的三邊分別為5，7，8，設(shè)邊長為7的邊對應(yīng)的角為θ，則由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，解得cos θ＝，∵θ∈(0°，180°)， ∴θ＝60°.則最大角與最小角的和為180°－60°＝120°. 2．在△AB

13、C中，A＝，BC＝3，AB＝，則C等于(　　) A.或 B. C. D. 答案　C 解析　由＝，得sin C＝. ∵BC＝3，AB＝，∴A>C，則C為銳角，故C＝. 3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，則cosB等于(　　) A．± B. C．－ D. 答案　A 解析　因?yàn)椋?，所以＝? 解得sin B＝. 因?yàn)閎>a，所以B>A，故B有兩解，所以cos B＝±. 4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C. D. 答案　D 解析　由正弦定理得a

14、＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)， ∵即∴k>. 5．在△ABC中，三邊長分別為a－2，a，a＋2，最大角的正弦值為，則這個(gè)三角形的面積為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵三邊不等，∴最大角大于60°.設(shè)最大角為α，故α所對的邊長為a＋2，∵sin α＝，∴α＝120°. 由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)， 即a2＝5a，故a＝5， 故三邊長為3，5，7，S△ABC＝×3×5×sin 120°＝. 6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，則△ABC的形狀是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角

15、形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 答案　C 解析　∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ， ∴＝sin B，sin B＝. ∵B∈，∴B＝. ∴＝＝，∴sin C＝sin A＝sin＝，∴cos C＝0，∵C∈(0，π)，C＝. ∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故選C. 7．(2017·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，則C等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因?yàn)閍＝2，c＝， 所以由正弦定理可知，＝， 故sin A＝sin

16、 C. 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sinAcos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C＝0. 又C為△ABC的內(nèi)角，故sin C≠0， 則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 從而sin C＝sin A＝×＝. 由A＝知，C為銳角，故C＝.故選B. 二、填空題 8．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，則b

17、＝________. 答案　1 解析　因?yàn)閟inB＝且B∈(0，π)，所以B＝或. 又因?yàn)镃＝，所以B＝，A＝π－B－C＝. 又因?yàn)閍＝，由正弦定理得＝， 即＝，解得b＝1. 9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為________． 答案　 解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得 sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C＞0，∴sin A＝. 由余弦定理得co

18、s A＝＝＝＞0， ∴cos A＝，bc＝＝， ∴S△ABC＝bcsin A＝××＝. 10．若△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，且C為鈍角，則B＝________；的取值范圍是________． 答案　　(2，＋∞) 解析　由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accos B. ∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B， ∴tan B＝，又B∈(0，π)，∴B＝. 又∵C為鈍角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜. 由正弦定理得＝ ＝＝＋·. ∵0＜tan A＜，∴＞， ∴＞＋×＝2，即＞2. ∴的取值范圍是(2，＋∞)． 三、解答題 11．在△AB

19、C中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周長的取值范圍． 解　由正弦定理得＝＝＝2， ∴a＝2sin A，b＝2sin B， 則△ABC的周長為L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋＝2＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2sin ＋. ∵0

20、ABC中，由正弦定理＝，可得 bsin A＝asin B. 又由bsin A＝acos，得asin B＝acos， 即sin B＝cos，所以tan B＝. 又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝， 得b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos，可得sin A＝ . 因?yàn)閍＜c，所以cos A＝ . 因此sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝2cos2A－1＝. 所以sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B ＝×－×＝. 13.(2018·河北省

21、衡水中學(xué)調(diào)研)如圖，在△ABC中，B＝，D為邊BC上的點(diǎn)，E為AD上的點(diǎn)，且AE＝8，AC＝4，∠CED＝. (1)求CE的長； (2)若CD＝5，求cos∠DAB的值． 解　(1)由題意可得∠AEC＝π－＝， 在△AEC中，由余弦定理得 AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC， 所以160＝64＋CE2＋8CE， 整理得CE2＋8CE－96＝0，解得CE＝4. 故CE的長為4. (2)在△CDE中，由正弦定理得＝， 即＝， 所以5sin∠CDE＝4sin ＝4×＝4， 所以sin∠CDE＝. 因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以∠CDE>B＝， 而<，所以∠C

22、DE只能為鈍角， 所以cos∠CDE＝－， 所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－×＋×＝. 14．(2018·福建省三明市第一中學(xué)月考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，則角C等于(　　) A. B.或 C. D. 答案　D 解析　在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝，即＝， ∴b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc， ∴c2＋bc＝bc，∴c＝(－1)b

23、，c，且滿足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，若a＝，則b2＋c2的取值范圍是(　　) A．(3,6] B．(3,5) C．(5,6] D．[5,6] 答案　C 解析　因?yàn)?a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c， 即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝＝， ∵A∈，∴A＝，∴B＋C＝， 又△ABC為銳角三角形，∴ ∴