2022年高中數(shù)學(xué) 《從力做的功到向量的數(shù)量積》教案 北師大版必修4

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 《從力做的功到向量的數(shù)量積》教案 北師大版必修4 一、教學(xué)目標(biāo)： 1.知識與技能 （1）通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義. （2）體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系. （3）掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和它的一些簡單應(yīng)用. （4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系. 2.過程與方法 教材利用同學(xué)們熟悉的物理知識（“做功”）得到向量的數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.為了幫助學(xué)生理解和鞏固相應(yīng)的知識，教材設(shè)置了4個(gè)例題；通過講解例題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力. 3.情感態(tài)度價(jià)值觀 通過

2、本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們認(rèn)識到向量的數(shù)量積與物理學(xué)的做功有著非常緊密的聯(lián)系；讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想；同時(shí)以較熟悉的物理背景去理解向量的數(shù)量積，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、積極性和勇于創(chuàng)新的精神. 二.教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn): 向量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義；運(yùn)算律. 難點(diǎn): 運(yùn)算律的理解 三.學(xué)法與教學(xué)用具 學(xué)法：(1)自主性學(xué)習(xí)+探究式學(xué)習(xí)法： (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 教學(xué)用具:電腦、投影機(jī). 四.教學(xué)設(shè)想 【探究新知】（學(xué)生閱讀教材P107—108，師生共同討論） q s F 思考：請同學(xué)

3、們回憶物理學(xué)中做功的含義，問對 一般的向量a和b，如何定義這種運(yùn)算？ 1.力做的功：W = |F|?|s|cosq q是F與s的夾角 2.定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，a?b = |a||b|cosq， q = 0° q = 180° q q q q O O O O O O A A A A A A B B B B B B C 并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0?！? 3.向量夾角的概念：范圍0°≤q≤180° C [展示投影] 由于兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大

4、區(qū)別；因此強(qiáng)調(diào)注意的幾個(gè)問題： ①兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定。 ②兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而ab是兩個(gè)數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。 ③在實(shí)數(shù)中，若a10，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a10，且a?b=0，不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0.這就得性質(zhì)2. O a A c b a b ④已知實(shí)數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c.但是a?b = b?c T a = c 如右圖：a?b = |a||b|co

5、sb = |b||OA| b?c = |b||c|cosa = |b||OA| Ta?b=b?c 但a 1 c ⑤在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c 1 a(b?c) 顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線. [展示投影]思考與交流： 思考與交流1.射影的概念是如何定義的，舉例（或畫圖）說明；并指出應(yīng)注意哪些問題. A OO BO B1O a b q A OO BO B1O a b q

6、A OO BO (B1)O a b q 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的射影。 注意：①射影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量。 ②當(dāng)q為銳角時(shí)射影為正值； 當(dāng)q為鈍角時(shí)射影為負(fù)值； 當(dāng)q為直角時(shí)射影為0； 當(dāng)q = 0°時(shí)射影為 |b|； 當(dāng)q = 180°時(shí)射影為 -|b|. 思考與交流2.如何定義向量數(shù)量積的幾何意義？由向量數(shù)量積的幾何意義你能得到兩個(gè)向量的數(shù)量積哪些的性質(zhì)（學(xué)生討論完成，教師作必要的補(bǔ)充）. 幾何意義

7、：數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積 性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。 ①e?a = a?e =|a|cosq ②a^b ? a?b = 0 ③當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = -|a||b|。 特別的a?a = |a|2或 ④cosq =（|a||b|≠0） ⑤ |a×b|≤|a||b| 【鞏固深化，發(fā)展思維】 判斷下列各題正確與否： ①若a = 0，則對任一向量b，有a?b = 0. ( √ )

8、 ②若a 1 0，則對任一非零向量b，有a?b 1 0. ( × ) ③若a 1 0，a?b = 0，則b = 0. ( × ) ④若a?b = 0，則a 、b至少有一個(gè)為零. ( × ) ⑤ 若a 1 0，a?b = a?c，則b = c. ( × ) ⑥若a?b = a?c，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a 1 0時(shí)成立. ( × ) ⑦對任意向量a、b、c，有(a?b) ?c 1

9、 a? (b?c). ( × ) ⑧對任意向量a，有a2 = |a|2. ( √ ) [展示投影]思考與交流： 思考：根據(jù)向量數(shù)量積的定義、物理意義及幾何意義，你能否驗(yàn)證下列向量的數(shù)量積是否滿足下列運(yùn)算定律（證明的過程可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平?jīng)Q定） 1.交換律：a?b = b?a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a?b = |a||b|cosq，b?a = |b||a|cosq ∴a?b = b?a 2.數(shù)乘結(jié)合律：(a) ?b =(a?b) = a? (b) 證：若= 0， 此式顯然成立. 若

10、> 0， (a) ?b =|a||b|cosq， (a?b) =|a||b|cosq， a? (b) =|a||b|cosq， 所以(a) ?b =(a?b) = a? (b). 若< 0， (a) ?b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq， (a?b) =|a||b|cosq， a? (b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq。 所以(a) ?b =(a?b) = a

11、? (b). 綜上可知(a) ?b =(a?b) = a? (b)成立. q q1 q2 a b A B O A1 B1 C c 3.分配律：(a + b) ?c = a?c + b?c 證：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a, = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| c

12、osq2 ∴c? (a + b) = c?a + c?b 即：(a + b) ?c = a?c + b?c. [展示投影]例題講評（學(xué)生先做，學(xué)生講，教師提示或適當(dāng)補(bǔ)充） 例1.已知： 解：（1） （2） 例2.已知都是非零向量，且垂直， 垂直，求的夾角。 解：由(a + 3b) (7a - 5b) = 0 T 7a2 + 16a?b -15b2 = 0 ① (a - 4b)(7a - 2b) = 0 T 7a2 - 30a?b + 8b2 = 0 ② 兩式相減：2a×b = b2 代入①或②得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，

13、C A B D a b 則cosq = ∴q = 60 例3.用向量方法證明：菱形對角線互相垂直。 證：設(shè)== a , == b ∵ABCD為菱形 ∴|a| = |b| ∴?= (b + a)(b - a) = b2 - a2 = |b|2 - |a|2 = 0 ∴^ 即菱形對角線互相垂直。 【鞏固深化，發(fā)展思維】 1.教材P109練習(xí)1、2題 2. 教材P111練習(xí)1、2、3、4、5題 [學(xué)習(xí)小結(jié)] （學(xué)生總結(jié)，其它學(xué)生補(bǔ)充） ①有關(guān)概念：向量的夾角、射影、向量的數(shù)量積. ②向量數(shù)量積的幾何意義和物理意義. ③向量數(shù)量積的五條性質(zhì). ④向量數(shù)量積的運(yùn)算律. 五、評價(jià)設(shè)計(jì)