2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次模擬考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次模擬考試試題 文（含解析）新人教A版 辨性、靈活性,基礎(chǔ)性充分體現(xiàn)了考素質(zhì),考基礎(chǔ),考方法,考潛能的檢測(cè)功能. 一、 選擇題：（共60分，每小題5分） 【題文】1.已知集合A=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1＜x≤1｝,則A∩B= A｛0｝ B｛-1，,0｝ C {0，1} D｛1} 【知識(shí)點(diǎn)】集合運(yùn)算. A1 【答案解析】C 解析：因?yàn)榧螦=｛-1，0，1｝，B=｛x|-1＜x≤1｝，所以A∩B={0，1}， 故選C. 【思路點(diǎn)撥】由交集的意義求結(jié)果. 【題文】2. 對(duì)于非零向量a，b，“a

2、∥b”是“a＋b＝0”的 (　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分條件；必要條件. A2 【答案解析】B 解析：因?yàn)椋喝簟癮∥b”則“a＋b＝0”是假命題；若“a＋b＝0”則 “a∥b”是真命題.所以“a∥b”是“a＋b＝0”的必要不充分條件.故選B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)原命題、逆命題的真假判定充分性與必要性. 【題文】3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{}中 ,則 (　　) A．5　　　　　　　B．6 C．7 D.8 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列. D3 【答

3、案解析】C 解析：因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列{}中 ，所以， 所以，所求= = ，故選C. 【思路點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解. 【題文】4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性. B3 B4 【答案解析】A 解析：由偶函數(shù)排除選項(xiàng)C,D，由單調(diào)性排除選項(xiàng)B，故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的意義確定結(jié)論. 【題文】5．已知扇形的周長(zhǎng)是6 cm，面積是2 cm2

4、，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1或4 B．1 C．4 D．8 【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積公式；弧度的意義. C1 【答案解析】A 解析：設(shè)扇形弧長(zhǎng),半徑r，則，所以 扇形的圓心角的弧度數(shù)==4或1.故選A. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得關(guān)于弧長(zhǎng)與半徑的方程組，確定弧長(zhǎng)和半徑，再利用弧長(zhǎng)與半徑的比為弧度數(shù)得結(jié)論. 【題文】6．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l(　　) A．平行 B．相交 C．垂直 D．互為異面直線 【知識(shí)點(diǎn)】空間直線位置關(guān)系情況分析. G3

5、 【答案解析】C 解析：當(dāng)直線l與平面α相交時(shí)A不成立；當(dāng)直線l與平面α平行時(shí)B不成立；當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí)D不成立.故選D. 【思路點(diǎn)撥】采用排除法確定結(jié)論. 【題文】7. 某幾何體的三視圖如右圖所示，則其體積為 (　　) A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖. G2 【答案解析】B 解析：由三視圖可知此幾何體是底面半徑1，高2的半圓錐，所以其體積為，故選B. 【思路點(diǎn)撥】由幾何體的三視圖，分析此幾何體的結(jié)構(gòu)，從而求得此幾何體的體積. 【題文】8

6、．若sin＝，則cos＝(　　)． A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式. C2 【答案解析】D 解析：因?yàn)閟in＝，所以cos＝sin ，故選D. 【思路點(diǎn)撥】利用誘導(dǎo)公式求解. 【題文】9．設(shè)a＞0，b＞0.若4a＋b＝ab，則a＋b的最小值是 (　　)． A. 1 B.5 C. 7 D. 9 【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求最值. E6 【答案解析】D 解析：由4a＋b＝

7、ab得，又a＞0，b＞0，所以a>1，所以 a+b= ,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)等號(hào)成立. 故選D. 【思路點(diǎn)撥】將已知等式化為用b表示a，并求得a范圍，代入a+b得，a+b=，再用基本不等式求解. 【題文】10．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是(　　) A． B. C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃. E5 【答案解析】C 解析：畫(huà)出圖形如下，可得a的取值范圍是. 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出描述性圖形，易得a范圍. 【題文】12題 11．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，且

8、函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù) y＝xf′(x)的圖像可能是(　　) 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的極值點(diǎn)與該點(diǎn)兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系. B12 【答案解析】C 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，所以時(shí)， 時(shí)，所以時(shí)>0，時(shí) <0, 時(shí)>0，故選C. 【思路點(diǎn)撥】由已知分析的取值符號(hào)，進(jìn)一步分析的取值符號(hào). 【題文】12. 已知是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[0，3)時(shí)， .若函數(shù)y＝－a在區(qū)間[－3，4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B. C．

9、 D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn). B9 【答案解析】A 解析：畫(huà)出函數(shù)在[－3，4]上 的圖像，分析它與直線y=a有10個(gè)不同交點(diǎn)的條件為.故選 A. 【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出圖像分析結(jié)果. 二、 填空題：（共20分，每個(gè)小題5分） 【題文】13. 已知函數(shù)f(x)＝則f的值是_________． 【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的函數(shù)值. B1 【答案解析】 解析：因?yàn)?，所? 【思路點(diǎn)撥】先求，再求f的值. 【題文】14. 函數(shù)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0)的部分圖像如右圖所示，則 ________． 【知識(shí)點(diǎn)】由所給圖像求函數(shù)的解析式. C4 【答案解析】 解析

10、：， A= ,由， 取，則，所以. 【思路點(diǎn)撥】由所給圖像求得A，，得，所以. 【題文】15. 設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－11(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝______． 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)絕對(duì)值的和. D4 【答案解析】 解析：由得 數(shù)列{an}的前5項(xiàng)是負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)以后都是正數(shù)，所以 【思路點(diǎn)撥】先求出此等差數(shù)列的正負(fù)轉(zhuǎn)換項(xiàng)，進(jìn)而得結(jié)論. 【題文】16. 已知P,A,B,C,D是球O表面上的點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，若PA=,則三棱錐B-AOP的體積________. 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的結(jié)構(gòu)；錐體體

11、積. G1 【答案解析】 解析:如圖，易知O為線段PC中點(diǎn)，O到平面PAB的距離為， 所以. 【思路點(diǎn)撥】利用等體積轉(zhuǎn)化法求解. 三、解答題： 【題文】17 （本題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若向量m＝（2 b - c, a)，n＝(cosA，-cosC) 且 m⊥n (1)求角A的大??； (2)若a＝，S△ABC＝，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由． 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；余弦定理的應(yīng)用. C8 【答案解析】(1) ；（2）等邊三角形，理由：見(jiàn)解析. 解析：(1) 向量m＝（2 b - c, a），n＝(cosA，

12、-cosC) 且 m⊥n , ，由正弦定理得： , , ， . （本小題還可以用余弦定理求解） （2）△ABC為等邊三角形. 即① , ② 由①②得，△ABC為等邊三角形. 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知得，再把正弦定理或余弦定理代入此等式求得∠A；（2）由面積公式得bc=3，由余弦定理得，解得，又∠A =,所以△ABC為等邊三角形. 【題文】18.（本題滿分12分） 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an，求Sn. 【知識(shí)點(diǎn)】已知遞推公式求通項(xiàng)；數(shù)列前n項(xiàng)和求法.

13、 D1 D4 【答案解析】(1) 2n；（2）(2n－3)·2n＋1＋6. 解析：(1)∵Sn＝2an－2， ∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)， 即an＝2an－2an－1，∵an≠0，∴＝2(n≥2，n∈N*)． ∵a1＝S1，∴a1＝2a1－2，即a1＝2. 數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． ∴an＝2n. (2)Sn＝a1＋3a2＋…＋(2n－1)an ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n， ① ∴2Sn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1， ② ①－②得－Sn＝1×2＋(2

14、×22＋2×23＋…＋2×2n)－(2n－1)2n＋1， 即－Sn＝1×2＋(23＋24＋…＋2n＋1)－(2n－1)2n＋1 ∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6. 【思路點(diǎn)撥】(1) 利用公式變形已知遞推公式，從而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，則Sn是一個(gè)等差數(shù)列通項(xiàng)，與一個(gè)等比數(shù)列通項(xiàng)的積，構(gòu)成的新數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以用錯(cuò)位相減法求Sn. 【題文】19.（本題滿分12分） 如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥C1D. (1)求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1； (2)設(shè)E是B1C1上的一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，A1E∥平面ADC1？ 請(qǐng)給出證明． 【知識(shí)點(diǎn)】面

15、面垂直的判定；線面平行的條件. G4 G5 【答案解析】(1)證明：見(jiàn)解析；（2）當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，A1E∥平面ADC1， 證明：見(jiàn)解析. 解析：（1）證明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC , ADC, 又AD,,平面,平面, 平面. 又平面, 平面平面. (2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)， 當(dāng),即E為得中點(diǎn)時(shí)，平面. 證明如下：（如圖）四邊形是矩形，且D,E分別是BC, 的中點(diǎn)，所以 又,, 四邊形為平行四邊形， 而平面,平面, 故平面. 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直線與平面

16、BCC1B1垂直即可，此直線為AD；（2）由（1）得D是線段BC的中點(diǎn)，所以E為得中點(diǎn)時(shí)，有 ，進(jìn)而得A1E∥平面ADC1. 【題文】20.（本題滿分12分） 函數(shù)f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)點(diǎn)(16,3)和(1，－1)． (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值時(shí)x的值． 【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；基本不等式法求最值. B1 E6 【答案解析】(1) f(x)＝－1＋log2x；（2）當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值1. 解析：　(1)由得 解得m＝－1，a＝2， 故

17、函數(shù)解析式為f(x)＝－1＋log2x. (2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]＝log2－1(x＞1)． ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2 ＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時(shí)，等號(hào)成立． 而函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 則log2 －1≥log24－1＝1， 故當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值1. 【思路點(diǎn)撥】(1)把已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，得關(guān)于a,m的方程組，解得a,m值即可；（2）由（1）得函數(shù)，因?yàn)? =（x－1)＋＋2 ≥2 ＋2＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立. 【題文】21

18、. （本題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)＝ax2－ex(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)． (1)解關(guān)于x的不等式：f(x)>f′(x)； (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)應(yīng)用. B11 B12 【答案解析】(1) 當(dāng)a＝0時(shí)，無(wú)解； 當(dāng)a>0時(shí)，解集為{x|x<0或x>2}；當(dāng)a<0時(shí)，解集為{x|0 . 解析：(1)f′(x)＝2ax－ex，f(x)－f′(x)＝ax(x－2)>0. 當(dāng)a＝0時(shí)，無(wú)解； 當(dāng)a>0時(shí)，解集為{x|x<0或x>2}； 當(dāng)a<0時(shí)，

19、解集為{x|00時(shí)，由g′(x)＝0，得x＝ln 2a， 當(dāng)x∈(－∞，ln 2a)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈(ln 2a，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減． ∴當(dāng)g(x)max>0時(shí)，方程g(x)＝0才有兩個(gè)根，∴g(x)max＝g(ln 2a)＝2aln 2a－2a>0，得a>. 【思路點(diǎn)撥】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，代入不等式f(x

20、)>f′(x)，整理得ax(x－2)>0. 再由a的取值條件得不等式的解；（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2，然后利用導(dǎo)數(shù)確定此方程有兩個(gè)不等實(shí)根的條件. 四、選做題（從22～24題中任選一題，在答題卡相應(yīng)的位置涂上標(biāo)志，多涂、少涂以22題計(jì)分） 【題文】22、選修4-1：幾何證明選講 如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG＝PD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 【知識(shí)點(diǎn)】直徑所對(duì)圓周角是直角；全等三角形的判定與性質(zhì). N

21、1 【答案解析】 解析：(1)證明：因?yàn)镻D=PG,所以. 由于PD為切線，故. 又由于,故, 所以,從而 因?yàn)?所以, 所以,故AB為圓的直徑. (2)連接BC、DC. 由于AB是直徑，故 在與中，AB=BA, AC=BD,所以≌， 所以. 又因?yàn)?所以, 故. 因?yàn)?所以,為直角. 所以ED為直徑. 又由（1）知AB為圓的直徑，所以ED=AB. 【思路點(diǎn)撥】(1)證明∠BDA是直角，或者用垂徑定理證明結(jié)論；（2）利用證明三角形全等證明結(jié)論. 【題文】23．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫(xiě)出曲線C

22、的參數(shù)方程、直線l的普通方程； (2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值． 【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程與普通方程的互化；點(diǎn)到直線的距離；三角函數(shù)式的最值. N3 【答案解析】（1）見(jiàn)解析；（2）最大值為，最小值為. 解析：(1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 直線l的普通方程為2x＋y－6＝0. (2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)到直線l的距離d＝|4cos θ＋3sin θ－6|， 則|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|， 其中α為銳角，且tan α＝. 當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，

23、最大值為. 當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值， 最小值為. 【思路點(diǎn)撥】（1）由橢圓參數(shù)方程公式寫(xiě)出橢圓參數(shù)方程，把直線參數(shù)方程中的參數(shù)消去得其普通方程；（2）設(shè)出)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos θ，3sin θ)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，Rt三角形的邊角關(guān)系得|PA|關(guān)于的三角函數(shù)式，再用三角函數(shù)的最值求結(jié)論. 【題文】24、選修4-5：不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x)＝＋|x－a|(a＞0)． (1)證明：f(x)≥2； (2)若f(3)＜5，求a的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；基本不等式；絕對(duì)值不等式的解法. N4 【答案解析】（1）證明：見(jiàn)解析；（2）. 解析：(1)證明：因?yàn)閍>0， 所以， 所以. (2) 。 當(dāng)a>3時(shí)，，由f(3)<5得， 當(dāng)時(shí)，，由f(3)<5得， 綜上，a的取值范圍是. 【思路點(diǎn)撥】（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及均值不等式證明結(jié)論；（2）對(duì)a分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，求得a范圍.