2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(II)

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1、2022年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 含解析(II) 　 一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分） 1．拋物線x2=2y的焦點坐標(biāo)是（　　） A． B． C．（1，0） D．（0，1） 2．經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點的直線方程是（　　） A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0 3．直線2x﹣3y+10=0的法向量的坐標(biāo)可以是（　?。? A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 4．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關(guān)系是（　?。? A．相離

2、 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 5．左支上一點，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點，且|PF1|=17，則P點到左準(zhǔn)線的距離是（　?。? A． B． C． D． 6．橢圓的兩個焦點三等分它的準(zhǔn)線間的距離，則橢圓的離心率為（　?。? A． B． C． D． 7．已知點P1（0，2），P2（3，0），在線段P1P2上取一點P，使得，則P點坐標(biāo)為（　?。? A． B． C． D． 8．圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是（　?。? A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0 C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=0 9．

3、過雙曲線x2﹣=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有（　　） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 10．F1、F2是橢圓的兩個焦點，M是橢圓上任一點，從任一焦點向△F1MF2頂點M的外角平分線引垂線，垂足為P，則P點的軌跡為（　?。? A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 　 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 11．雙曲線﹣=1的漸近線方程是　?。? 12．已知F1、F2為橢圓=1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=　?。? 13．已知x，y滿足方程（x﹣2）2+y2=1，

4、則的最大值為　?。? 14．直線y=mx+1與雙曲線x2﹣y2=1有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是　?。? 15．已知拋物線C：y=2x2與直線y=kx+2交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若，則k=　?。? 　 三、解答題（16—18每小題13分，19—21每小題13分，共75分） 16．已知圓心為（2，1）的圓C與直線l：x=3相切． （1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點，求直線AB的方程．（用一般式表示） 17．已知直線l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣3）x+ay+a=0 （1）若l1∥l2

5、，求實數(shù)a的值； （2）若l1⊥l2，求實數(shù)a的值． 18．過點P（2，1）作拋物線y2=4x的弦AB，若弦恰被P點平分 （1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示） （2）求弦長|AB|． 19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C． （1）寫出C的方程； （2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時？ 20．已知橢圓的焦點為F1、F2，拋物線y2=px（p＞0）與橢圓在第一象限的交點為Q，若∠F1QF2=60°． （1）求△F1QF2的面積； （2）求此拋物線的方程． 21．已知點P為圓周x2+y2=4的動點，過P點作P

6、H⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點為E，記點E的軌跡方程為C，點A（0，1） （1）求動點E的軌跡方程C； （2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點A（0，1）且與曲線C的另一個交點為B，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程； （3）是否存在方向向量=（1，k）（k≠0）的直線l，使得l與曲線C交與兩個不同的點M，N，且有||=|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分） 1．拋物線x2=2y的焦點坐標(biāo)是（　?。? A． B． C．（1，0） D．（0，1） 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分

7、析】根據(jù)拋物線的定義可得，x2=2py（p＞0）的焦點坐標(biāo)（0，）可直接求解 【解答】解：根據(jù)拋物線的定義可得，x2=2y的焦點坐標(biāo)（0，） 故選B． 　 2．經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點的直線方程是（　?。? A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0 【考點】直線的截距式方程；直線的兩點式方程． 【分析】直接利用直線的截距式方程求解即可． 【解答】解：因為直線經(jīng)過（3，0），（0，4）兩點，所以所求直線方程為：， 即4x+3y﹣12=0． 故選D． 　 3．直線2x﹣3y+10=0的法向量的坐標(biāo)可以是（　　

8、） A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 【考點】向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系． 【分析】先求出直線的斜率，可得其方向向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量垂直即可得到結(jié)論． 【解答】解：因為直線2x﹣3y+10=0，斜率為． ∴其方向向量為：（1，）． 設(shè)其法向量坐標(biāo)為（x，y） 由因為方向向量和法向量垂直， ∴x+y=0； 符合要求的只有答案C． 故選：C． 　 4．圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關(guān)系是（　?。? A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切 【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定． 【分析】求出半徑，

9、求出圓心，看兩個圓的圓心距與半徑的關(guān)系即可． 【解答】解：圓O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1 圓O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2 ∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2| ∴兩圓的位置關(guān)系是相交． 故選 B 　 5．左支上一點，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點，且|PF1|=17，則P點到左準(zhǔn)線的距離是（　?。? A． B． C． D． 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】利用雙曲線的定義，建立方程，即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)P點到左準(zhǔn)線的距離

10、是d，則 ∵左支上一點，F(xiàn)1是雙曲線的左焦點，且|PF1|=17， ∴ ∴d= 故選A． 　 6．橢圓的兩個焦點三等分它的準(zhǔn)線間的距離，則橢圓的離心率為（　?。? A． B． C． D． 【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】確定橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離、兩焦點間的距離，利用兩焦點三等分橢圓兩準(zhǔn)線間的距離，建立方程，即可求得橢圓的離心率． 【解答】解：兩準(zhǔn)線間的距離為，兩焦點間的距離2c， ∵兩焦點三等分橢圓兩準(zhǔn)線間的距離， ∴2c=?，即：6c2=2a2， e=，或e=﹣（舍去） 故選B． 　 7．已知點P1（0，2），P2（3，0），在線段P1P2上取一點P，使得，則

11、P點坐標(biāo)為（　?。? A． B． C． D． 【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平行向量與共線向量；平面向量的坐標(biāo)運算． 【分析】設(shè)P（x，y），由題意知，得=（x，y﹣2），=（3﹣x，﹣y）利用向量相等的條件得 列出關(guān)于x，y的方程組，解出點P坐標(biāo)． 【解答】解：設(shè)P（x，y），由題意知，得=（x，y﹣2），=（3﹣x，﹣y） 因為，所以 解得 所以P點坐標(biāo)為（2，） 故選A 　 8．圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是（　　） A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0 C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0

12、 D．x2+y2﹣x﹣2y+=0 【考點】圓的一般方程． 【分析】所求圓圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切，不難由拋物線的定義知道，圓心、半徑可得結(jié)果． 【解答】解：圓心在拋物線y2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程，以及拋物線的定義可知， 所求圓的圓心的橫坐標(biāo)x=，即圓心（，1），半徑是1，所以排除A、B、C． 故選D． 　 9．過雙曲線x2﹣=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A，B兩點，若|AB|=4，則這樣的直線l有（　　） A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系． 【分析】雙曲線的兩個頂點之間的距

13、離是2，小于4，過拋物線的焦點一定有兩條直線使得交點之間的距離等于4，當(dāng)直線與實軸垂直時，做出直線與雙曲線交點的縱標(biāo)，得到也是一條長度等于4的線段． 【解答】解：∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2，小于4， ∴當(dāng)直線與雙曲線左右兩支各有一個交點時，過雙曲線的焦點一定有兩條直線使得兩交點之間的距離等于4， 當(dāng)直線與實軸垂直時，有3﹣，解得y=±2， ∴此時直線AB的長度是4，即只與右支有交點的弦長為4的線僅有一條． 綜上可知有三條直線滿足|AB|=4， 故選C． 　 10．F1、F2是橢圓的兩個焦點，M是橢圓上任一點，從任一焦點向△F1MF2頂點M的外角平分線引垂線，垂足為P，則P

14、點的軌跡為（　?。? A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 【考點】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】根據(jù)題意，延長F1P，與F2M的延長線交于B點，連接PO．根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OP的長恰好等于橢圓的長半軸a，得動點P的軌跡方程為x2+y2=a2，由此可得本題答案． 【解答】解：如圖所示 延長F1P，與F2M的延長線交于B點，連接PO， ∵MP是∠F1MB的平分線，且PM⊥BF1 ∴△F1MB中，|MF1|=|BM|且P為BF1的中點 由三角形中位線定理，得|OP|=|BF2|=（|BM|+|MF2|） ∵由橢圓的定義，得|MF1|+|M

15、F2|=2a，（2a是橢圓的長軸） 可得|BM|+|MF2|=2a， ∴|OP|=（|MF1|+|MF2|）=a，可得動點P的軌跡方程為x2+y2=a2 為以原點為圓心半徑為a的圓 故選：A 　 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 11．雙曲線﹣=1的漸近線方程是　y=±x?。? 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】把曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a和b的值，再根據(jù)焦點在x軸上，求出漸近線方程． 【解答】解：雙曲線， ∴a=2，b=3，焦點在x軸上， 故漸近線方程為 y=±x=±x， 故答案為 y=±． 　 12．已知F1、F2為橢圓=1的兩個焦點，過

16、F1的直線交橢圓于A、B兩點，若|F2A|+|F2B|=12，則|AB|=　8?。? 【考點】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】運用橢圓的定義，可得三角形ABF2的周長為4a=20，再由周長，即可得到AB的長． 【解答】解：橢圓=1的a=5， 由題意的定義，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a， 則三角形ABF2的周長為4a=20， 若|F2A|+|F2B|=12， 則|AB|=20﹣12=8． 故答案為：8 　 13．已知x，y滿足方程（x﹣2）2+y2=1，則的最大值為　?。? 【考點】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，圓的半徑，利用圓心到直

17、線的距離等于半徑求出k的值即可． 【解答】解：x，y滿足方程（x﹣2）2+y2=1，圓的圓心（2，0），半徑為1， 設(shè)，即kx﹣y=0，要求x，y滿足方程（x﹣2）2+y2=1，的最大值， 就是求圓的圓心到直線的距離等于半徑，即：， 解得k=，所求的最大值為：． 故答案為：． 　 14．直線y=mx+1與雙曲線x2﹣y2=1有兩個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是　且m≠±1?。? 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系． 【分析】聯(lián)立直線與曲線方程，由題意可得，方程有2個不等的實數(shù)根，由此能求出實數(shù)k的取值的集合． 【解答】解：由消去y得（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0． 由題意可

18、得1﹣m2≠0，且△=（2m）2+8（1﹣m2）＞0， 解可得，且m≠±1 故答案為且m≠±1 　 15．已知拋物線C：y=2x2與直線y=kx+2交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若，則k=　?。? 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韋達定理得x1+x2=，x1?x2=﹣1，求出M（），進一步得到N點的坐標(biāo)為（）．表示出，利用向量的數(shù)量積根式求出，根據(jù)已知列出方程求出k的值． 【解答】解：設(shè)A（x1，2x12），B（x2，2x22）， 把y=kx+2代入y=2x2得2x

19、2﹣kx﹣2=0 由韋達定理得x1+x2=，x1?x2=﹣1， 所以M（）， 所以N點的坐標(biāo)為（）． ，， 所以= = =﹣1 =3 因為， 所以3=0 所以k= 故答案為： 　 三、解答題（16—18每小題13分，19—21每小題13分，共75分） 16．已知圓心為（2，1）的圓C與直線l：x=3相切． （1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點，求直線AB的方程．（用一般式表示） 【考點】相交弦所在直線的方程；直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】（1）直線l：x=3與圓C相切，可得直線l到點C的距離等于圓C的半徑，用距離公式

20、可以求得圓C的半徑等于1，最后用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程公式得到圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）圓C與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點，線段AB即為兩圓的公共弦．將兩圓的一般方程的左邊相減，得到二元一次方程，即為公共弦弦AB所在直線的方程． 【解答】解：（1）∵圓C與直線l：x=3相切． ∴圓心C（2，1）到直線l的距離等于圓的半徑． 因此半徑r=|3﹣2|=1 ∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 （2）將圓C與圓O的方程聯(lián)解， 由兩式相減得方程：2x+y﹣4=0， ∵圓C與圓O相交于A，B兩點， ∴直線AB的方程即為2x+y﹣4=0 　 17．已知直線l1：ax﹣y+2a

21、=0，l2：（2a﹣3）x+ay+a=0 （1）若l1∥l2，求實數(shù)a的值； （2）若l1⊥l2，求實數(shù)a的值． 【考點】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系． 【分析】（1）先求出兩直線的法向量，由l1∥l2所以得a2+2a﹣3=0，從而解得a的值．最后經(jīng)檢驗滿足 l1∥l2 ． （2）由得a（2a﹣3）﹣a=0，即可求得a的值． 【解答】解：（1）直線l1的法向量為，直線l2的法向量為 因l1∥l2所以 即a2+2a﹣3=0得a=﹣3或1 經(jīng)檢驗均符合題意，故a=﹣3或1 （2） 故a（2a﹣3）﹣a=0， ∴a=0或2． 　 18

22、．過點P（2，1）作拋物線y2=4x的弦AB，若弦恰被P點平分 （1）求直線AB所在直線方程；（用一般式表示） （2）求弦長|AB|． 【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；兩點間的距離公式． 【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用“點差法”、中點坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出． （2）把直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用弦長公式即可得出． 【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 則?（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2） 由于直線的斜率存在，故， 從而直線AB的方程為：y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0． （2）?（2x﹣3）2=4

23、x即4x2﹣16x+9=0， 因△＞0，故 于是． 　 19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P到兩點，的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C． （1）寫出C的方程； （2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時？ 【考點】圓錐曲線的軌跡問題；直線與圓錐曲線的關(guān)系． 【分析】（1）由題意可知P點的軌跡為橢圓，并且得到，求出b后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個交點的橫坐標(biāo)的和與積，寫出兩個向量垂直的坐標(biāo)表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值． 【解答】解：（1）由條件

24、知：P點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓， 其中，所以b2=a2﹣c2==1． 故軌跡C的方程為：； （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） 由?（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0 由△=16k2+48＞0，可得：， 再由， 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0， 所以，． 　 20．已知橢圓的焦點為F1、F2，拋物線y2=px（p＞0）與橢圓在第一象限的交點為Q，若∠F1QF2=60°． （1）求△F1QF2的面積； （2）求此拋物線的方程． 【考點】圓錐曲線的綜合． 【分析】（1）由Q在橢圓上，知|QF1|+|QF2|=4．

25、在△QF1F2中，，所以，由此能求出△F1QF2的面積． （2）設(shè)Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），，故．又Q點在橢圓上，所以，故．由Q點在拋物線上，能求出拋物線方程． 【解答】解：（1）∵Q在橢圓上， ∴|QF1|+|QF2|=4， ∴=16，…① 在△QF1F2中，∵∠F1QF2=60°， ∴…② ①﹣②，得：， ∴． （2）設(shè)Q（x0，y0），（x0＞0，y0＞0） 由（1）知， =， ∵|F1F2|=2c=2=2， ∴， 故， 又Q點在橢圓上，所以， 即， 故． 又Q點在拋物線上， 所以， ∴， 所以拋物線方程為． 　 21．已知點P為

26、圓周x2+y2=4的動點，過P點作PH⊥x軸，垂足為H，設(shè)線段PH的中點為E，記點E的軌跡方程為C，點A（0，1） （1）求動點E的軌跡方程C； （2）若斜率為k的直線l經(jīng)過點A（0，1）且與曲線C的另一個交點為B，求△OAB面積的最大值及此時直線l的方程； （3）是否存在方向向量=（1，k）（k≠0）的直線l，使得l與曲線C交與兩個不同的點M，N，且有||=|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；向量在幾何中的應(yīng)用；軌跡方程． 【分析】（1）欲求動點E的軌跡方程，設(shè)E（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用P（x，2y）點在圓

27、上，即可得到答案； （2）根據(jù)三角形的面積公式得，欲求面積的最大值，只須考慮|xB|的最大值即可．由此求出直線l的方程； （3）先假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點坐標(biāo)公式，求出k的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在． 【解答】解：（1）設(shè)E（x，y），則P（x，2y），而P點在圓上 所以x2+4y2=4，即 （2） 而|xB|≤2，故當(dāng)xB=±2時，△OAB面積的最大值為1 此時，直線l的方程為：x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0 （3）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的直線l，設(shè)其方程為：y=kx+m， M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點Q（x0，y0） 于是?（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0 △=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0 4k2﹣m2+1＞0…① 而 故 從而 而 故kAQ?k=﹣1 可得：3m=﹣4k2﹣1…② 由①②得：﹣3＜m＜0 故 　 xx11月26日