初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總

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1 1 定義 一般地 如果 是常數(shù) 那么 叫做 的二次函數(shù) cbaxy 2 0 ayx 2 二次函數(shù) 的性質(zhì)2ax 1 拋物線 的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱軸是 軸 y y 2 函數(shù) 的圖像與 的符號(hào)關(guān)系 2x 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向上 頂點(diǎn)為其最低點(diǎn) 0 a 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向下 頂點(diǎn)為其最高點(diǎn) 3 頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) 對(duì)稱軸是 軸的拋物線的解析式形式為 y2axy 0 3 二次函數(shù) 的圖像是對(duì)稱軸平行于 包括重合 軸的拋物線 cbxay 2 y 4 二次函數(shù) 用配方法可化成 的形式 其中 khxay 2 ackbh422 5 二次函數(shù)由特殊到一般 可分為以下幾種形式 2axy kxy 2 2hxay khxay 2 cbxy 2 6 拋物線的三要素 開(kāi)口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn) 的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向 當(dāng) 時(shí) 開(kāi)口向上 當(dāng) 時(shí) 開(kāi)口向下 0 a0 a 相等 拋物線的開(kāi)口大小 形狀相同 a 平行于 軸 或重合 的直線記作 特別地 軸記作直線 yhx y x 7 頂點(diǎn)決定拋物線的位置 幾個(gè)不同的二次函數(shù) 如果二次項(xiàng)系數(shù) 相同 那么拋物線的開(kāi)口方向 開(kāi)a 口大小完全相同 只是頂點(diǎn)的位置不同 8 求拋物線的頂點(diǎn) 對(duì)稱軸的方法 1 公式法 頂點(diǎn)abcxcbxy4222 是 對(duì)稱軸是直線 abc42 2 ax 2 配方法 運(yùn)用配方的方法 將拋物線的解析式化為 的形式 得到頂點(diǎn)為 khxay 2 hk 對(duì)稱軸是直線 hx 3 運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性 由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形 所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分 2 線是拋物線的對(duì)稱軸 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn) 用配方法求得的頂點(diǎn) 再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證 才能做到萬(wàn)無(wú)一失 9 拋物線 中 的作用cbxay 2a 1 決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小 這與 中的 完全一樣 2axy 2 和 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置 由于拋物線 的對(duì)稱軸是直線cbxay 2 故 時(shí) 對(duì)稱軸為 軸 即 同號(hào) 時(shí) 對(duì)稱軸在 軸左側(cè) abx 0 0 y 即 異號(hào) 時(shí) 對(duì)稱軸在 軸右側(cè) 0 y 3 的大小決定拋物線 與 軸交點(diǎn)的位置 ccbxay 2 當(dāng) 時(shí) 拋物線 與 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn) 0 xc 2yc 拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn) 與 軸交于正半軸 與 軸交于負(fù)半軸 0c0 c cy 以上三點(diǎn)中 當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí) 仍成立 如拋物線的對(duì)稱軸在 軸右側(cè) 則 0 ab 10 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下 函數(shù)解析式 開(kāi)口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy 軸 0 xy 0 0 k 軸 0 k 2hxy hx 0 hka kcbxy 2 當(dāng) 時(shí)0 a 開(kāi)口向上 當(dāng) 時(shí) 開(kāi)口向下 a bx2 abc42 2 11 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 1 一般式 已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) 的值 通常選擇一般式 cbxay 2 xy 2 頂點(diǎn)式 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸 通常選擇頂點(diǎn)式 kh 3 交點(diǎn)式 已知圖像與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 通常選用交點(diǎn)式 x1x2 21xay 12 直線與拋物線的交點(diǎn) 1 軸與拋物線 得交點(diǎn)為 0 ycbay 2c 3 2 與 軸平行的直線 與拋物線 有且只有一個(gè)交點(diǎn) yhx cbxay 2 hcba 2 3 拋物線與 軸的交點(diǎn) 二次函數(shù) 的圖像與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 是對(duì)應(yīng)一元二次方程cba 2 1x2 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 拋物線與 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別02 cxx 式判定 有兩個(gè)交點(diǎn) 拋物線與 軸相交 有一個(gè)交點(diǎn) 頂點(diǎn)在 軸上 拋物線與 軸相切 x0 x 沒(méi)有交點(diǎn) 拋物線與 軸相離 0 4 平行于 軸的直線與拋物線的交點(diǎn)x 同 3 一樣可能有 0 個(gè)交點(diǎn) 1 個(gè)交點(diǎn) 2 個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí) 兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 設(shè) 縱坐標(biāo)為 則橫坐標(biāo)是 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 kkcbxa 5 一次函數(shù) 的圖像 與二次函數(shù) 的圖像 的交點(diǎn) 由方 nxyl 02 acbxyG 程組 的解的數(shù)目來(lái)確定 方程組有兩組不同的解時(shí) 與 有兩個(gè)交點(diǎn) cba k2 l 方程組只有一組解時(shí) 與 只有一個(gè)交點(diǎn) 方程組無(wú)解時(shí) 與 沒(méi)有交點(diǎn) lGl 6 拋物線與 軸兩交點(diǎn)之間的距離 若拋物線 與 軸兩交點(diǎn)為 x cbxay 2 021 xBA 由于 是方程 的兩個(gè)根 故1202 cbxax 21 acbacbxxxAB 442221212121 二次函數(shù)的解析式有三種形式 1 一般式 0 2 acbaxy是 常 數(shù) 2 頂點(diǎn)式 kh是 常 數(shù) 3 當(dāng)拋物線 與 x 軸有交點(diǎn)時(shí) 即對(duì)應(yīng)二次好方程 有實(shí)根 和cxy2 02 cbxa1x 存在時(shí) 根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式 二次函數(shù)2x 212 xacba 可轉(zhuǎn)化為兩根式 如果沒(méi)有交點(diǎn) 則不能這樣表示 cbay 21xy 4 考點(diǎn)三 二次函數(shù)的最值 10 分 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù) 那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大 值 或最小值 即當(dāng) 時(shí) abx2 abcy42 最 值 如果自變量的取值范圍是 那么 首先要看 是否在自變量取值范圍 內(nèi) 21x a21x 若在此范圍內(nèi) 則當(dāng) x 時(shí) 若不在此范圍內(nèi) 則需要考慮函數(shù)在ab2 abcy42 最 值 范圍內(nèi)的增減性 如果在此范圍內(nèi) y 隨 x 的增大而增大 則當(dāng) 時(shí) 21x 2x 當(dāng) 時(shí) 如果在此范圍內(nèi) y 隨 x 的增大而減小 cba 最 大 1xcby 12最 小 則當(dāng) 時(shí) 當(dāng) 時(shí) 1xcbay 2最 大 2x cbxa 2最 小 考點(diǎn)四 二次函數(shù)的性質(zhì) 6 14 分 1 二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) 0 2 cbxay是 常 數(shù) a 0 a 0 圖像 y 0 x y 0 x 性質(zhì) 1 拋物線開(kāi)口向上 并向上無(wú)限延伸 2 對(duì)稱軸是 x 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ab2 ab2 ac4 3 在對(duì)稱軸的左側(cè) 即當(dāng) x 時(shí) y 隨 x 的增大而增大 簡(jiǎn)記左減ab2 右增 1 拋物線開(kāi)口向下 并向下無(wú)限延伸 2 對(duì)稱軸是 x 頂點(diǎn)坐標(biāo)是ab2 c4 3 在對(duì)稱軸的左側(cè) 即當(dāng) x 時(shí) y 隨 x 的增大而減小 簡(jiǎn)ab2 記左增右減 5 4 拋物線有最低點(diǎn) 當(dāng) x 時(shí) y 有最ab2 小值 cy4 最 小 值 4 拋物線有最高點(diǎn) 當(dāng) x 時(shí) y 有最ab2 大值 cy4 最 大 值 2 二次函數(shù) 中 的含義 表示開(kāi)口方向 0 2 abax是 常 數(shù) b a 0 時(shí) 拋物線開(kāi)口向上 0 時(shí) 圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng) 0 時(shí) 圖像與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng) 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 ky a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上 值正右移 負(fù)左移 值正上移 負(fù)下移 hk 概括成八個(gè)字 同左上加 異右下減 三 二次函數(shù) 與 的比較 2yaxk 2yaxbc 請(qǐng)將 利用配方的形式配成頂點(diǎn)式 請(qǐng)將 配成 245 2yaxbc 2yaxhk 總結(jié) 從解析式上看 與 是兩種不同的表達(dá)形式 后者通過(guò)配方可以得到 2yaxhk 2yaxbc 的符號(hào)a開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì)0 向上 hk X h 時(shí) 隨 的增大而增大 時(shí) xh yxxh 隨 的增大而減小 時(shí) 有最小 y 值 ka 向下 X h 時(shí) 隨 的增大而減小 時(shí) 隨 的增大而增大 時(shí) 有最大yxxh 值 8 前者 即 其中 224bacyax 242bacbhk 四 二次函數(shù) 圖象的畫法2yxbc 五點(diǎn)繪圖法 利用配方法將二次函數(shù) 化為頂點(diǎn)式 確定其開(kāi)口方向 2yaxbc 2 yaxhk 對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo) 然后在對(duì)稱軸兩側(cè) 左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖 一般我們選取的五點(diǎn)為 頂點(diǎn) 與 軸的交點(diǎn) 以及 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 與 軸的交點(diǎn) 若y 0c 0c h 10 2x 與 軸沒(méi)有交點(diǎn) 則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) x 畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn) 開(kāi)口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn) 與 軸的交點(diǎn) 與 軸的交點(diǎn) xy 五 二次函數(shù) 的性質(zhì)2yaxbc 1 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向上 對(duì)稱軸為 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 0 2bxa 24bac 當(dāng) 時(shí) 隨 的增大而減小 當(dāng) 時(shí) 隨 的增大而增大 當(dāng) 時(shí) 有最2bxa yx yx2bxa y 小值 4c 2 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向下 對(duì)稱軸為 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng) 時(shí) 0a 2bxa 24bac 2bxa 隨 的增大而增大 當(dāng) 時(shí) 隨 的增大而減小 當(dāng) 時(shí) 有最大值 yx2bxa y2x y4c 六 二次函數(shù)解析式的表示方法 1 一般式 為常數(shù) 2yaxbc bc0a 2 頂點(diǎn)式 為常數(shù) hk ahk 3 兩根式 是拋物線與 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 12x0 1x2x 注意 任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式 但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式 只有拋物線與 軸有交點(diǎn) 即 時(shí) 拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示 二次函數(shù)解4bc 析式的這三種形式可以互化 七 二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 9 1 二次項(xiàng)系數(shù) a 二次函數(shù) 中 作為二次項(xiàng)系數(shù) 顯然 2yxbc a0a 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向上 的值越大 開(kāi)口越小 反之 的值越小 開(kāi)口越大 0 當(dāng) 時(shí) 拋物線開(kāi)口向下 的值越小 開(kāi)口越小 反之 的值越大 開(kāi)口越大 a 總結(jié)起來(lái) 決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向 的正負(fù)決定開(kāi)口方向 的大小決定開(kāi)口的大aa 小 2 一次項(xiàng)系數(shù) b 在二次項(xiàng)系數(shù) 確定的前提下 決定了拋物線的對(duì)稱軸 ab 在 的前提下 0 當(dāng) 時(shí) 即拋物線的對(duì)稱軸在 軸左側(cè) ab 同號(hào)同左上加02 y 當(dāng) 時(shí) 即拋物線的對(duì)稱軸就是 軸 b a 當(dāng) 時(shí) 即拋物線對(duì)稱軸在 軸的右側(cè) a b 異號(hào)異右下減0 02 y 在 的前提下 結(jié)論剛好與上述相反 即a 當(dāng) 時(shí) 即拋物線的對(duì)稱軸在 軸右側(cè) a b 異號(hào)異右下減ba 當(dāng) 時(shí) 即拋物線的對(duì)稱軸就是 軸 0 02b y 當(dāng) 時(shí) 即拋物線對(duì)稱軸在 軸的左側(cè) ab 同號(hào)同左上加b a 總結(jié)起來(lái) 在 確定的前提下 決定了拋物線對(duì)稱軸的位置 b 總結(jié) 同左上加 異右下減 3 常數(shù)項(xiàng) c 當(dāng) 時(shí) 拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸上方 即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正 0 yxy 當(dāng) 時(shí) 拋物線與 軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0 當(dāng) 時(shí) 拋物線與 軸的交點(diǎn)在 軸下方 即拋物線與 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來(lái) 決定了拋物線與 軸交點(diǎn)的位置 c 總之 只要 都確定 那么這條拋物線就是唯一確定的 ab 二次函數(shù)解析式的確定 根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式 通常利用待定系數(shù)法 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須 根據(jù)題目的特點(diǎn) 選擇適當(dāng)?shù)男问?才能使解題簡(jiǎn)便 一般來(lái)說(shuō) 有如下幾種情況 1 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo) 一般選用一般式 2 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大 小 值 一般選用頂點(diǎn)式 3 已知拋物線與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo) 一般選用兩根式 x 4 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn) 常選用頂點(diǎn)式