高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用極大值與極小值 蘇教選修PPT課件

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1、1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法.3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁/共34頁欄目索引知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測 自查自糾第2頁/共34頁 知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一函數(shù)極值的概念1.極小值點(diǎn)與極小值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè) ，右側(cè) ，則把點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值.答案f(x)0f(x)0第3頁/共34頁2.極大值點(diǎn)與極大值如圖，函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb

2、的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb的左側(cè) ，右側(cè) ，則把點(diǎn)b叫做函數(shù) 的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值. 、 統(tǒng)稱為極值點(diǎn)， 和 統(tǒng)稱為極值.答案f(x)0f(x)0yf(x)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值極小值第4頁/共34頁思考(1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極值的充要條件是什么？答案可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，即“函數(shù)yf(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零是函數(shù)yf(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件，而非充分條件”.可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f(x0)0，且在x0左側(cè)和右側(cè)f(x)符號不同.如果在x

3、0的兩側(cè)f(x)符號相同，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).(2)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有多個(gè)極值點(diǎn)，那么一定既有極大值也有極小值嗎？答案不一定.答案第5頁/共34頁知識點(diǎn)二求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值方法與步驟1.求函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時(shí)：(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是 ；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是 .2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x).(2)求f(x)的拐點(diǎn)，即求方程 的根.(3)利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的

4、變化情況求極值.答案極大值極小值f(x)0第6頁/共34頁思考可導(dǎo)函數(shù)f(x)若存在極值點(diǎn)x0，則x0能否為相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)嗎？答案不能.答案返回第7頁/共34頁 題型探究 重點(diǎn)突破解析答案題型一求函數(shù)的極值例1求函數(shù)f(x) x34x4的極值.解由題意可知f(x)x24.由f(x)0得x2或x2；當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：解方程x240，得x12，x22.由f(x)0得2x2.x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)反思與感悟第8頁/共34頁反思與感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)用

5、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間，并列成表格.檢測f(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個(gè)根處無極值.第9頁/共34頁解析答案跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值.(1)y2x36x218x3；解函數(shù)的定義域?yàn)镽.y6x212x186(x3)(x1)，當(dāng)x變化時(shí)，y，y的變化情況如下表：令y0，得x3或x1.x(，3)3(3,1)1(1，)y00y極大值57極小值7從上表中可以看出，當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)取得極大值，且y極大值57.當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值，

6、且y極小值7.第10頁/共34頁解析答案解函數(shù)的定義域?yàn)?，0)(0，)，令y0，得x2或x2.當(dāng)x2時(shí)，y0；當(dāng)2x0時(shí)，y0.即x2時(shí)，y取得極大值，且極大值為8.當(dāng)0 x2時(shí)，y0；當(dāng)x2時(shí)，y0.即x2時(shí)，y取得極小值，且極小值為8.第11頁/共34頁解析答案題型二利用函數(shù)極值確定參數(shù)的取值范圍(或值)例2已知函數(shù)f(x)6ln xax28xb(a，b為常數(shù))，且x3為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求a的值；f(3)26a80，解得a1.第12頁/共34頁解析答案(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，).由(1)知f(x)6ln xx28xb.由f(x)0可得x3

7、或0 x1，由f(x)0可得1x3(x0舍去).函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).第13頁/共34頁解析答案(3)若yf(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解由(2)可知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增.且當(dāng)x1和x3時(shí)，f(x)0.f(x)的極大值為f(1)6ln 118bb7，f(x)的極小值為f(3)6ln 3924b6ln 3b15.當(dāng)x充分接近0時(shí)，f(x)0，當(dāng)x充分大時(shí)，f(x)0，要使f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，b的取值范圍是7b156ln

8、3.反思與感悟第14頁/共34頁反思與感悟解決參數(shù)問題時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的圖象，同時(shí)準(zhǔn)確理解函數(shù)極值的應(yīng)用.第15頁/共34頁解析答案跟蹤訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x) x3bx2cxd(a0)，且方程f(x)9x0的兩個(gè)根分別為1,4，若f(x)在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)，求a的取值范圍.第16頁/共34頁解因?yàn)閍0，所以“f(x) x3bx2cxd在(，)內(nèi)無極值點(diǎn)”等價(jià)于“f(x)ax22bxc0在(，)內(nèi)恒成立”.由f(x)9x0(即ax2(2b9)xc0)的兩實(shí)數(shù)根分別為1,4，所以對于一元二次方程ax22bxc0，(2b)24ac9(a1)(a9).解得1a9.易驗(yàn)證a1與a9均滿足題意，故a的取值范圍

9、是1,9.第17頁/共34頁解析答案題型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用反思與感悟第18頁/共34頁則過點(diǎn)P的切線的斜率kf(t)t2at2，解析答案反思與感悟第19頁/共34頁則函數(shù)yg(t)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).即a2，使函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2，).反思與感悟第20頁/共34頁反思與感悟求出函數(shù)的所有極值，有利于我們整體把握函數(shù)圖象的特征，也就為我們證明有關(guān)不等式、解決某些方程根的個(gè)數(shù)等問題提供了有力的依據(jù)，因而函數(shù)的極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，是高考命題的熱點(diǎn).第21頁/共34頁解析答案跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x3ax2b(a，bR).(1)求

10、函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x20，函數(shù)f(x)沒有單調(diào)遞增區(qū)間；第22頁/共34頁解析答案(2)若對任意a3,4，函數(shù)f(x)在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.由于對任意a3,4，函數(shù)f(x)在R上都有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(4,0).第23頁/共34頁例4若函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10，試求a，b的值.易錯(cuò)易混因忽視對所得參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)而致誤解析答案返回防范措施第24頁/共34頁錯(cuò)解由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得，f(x)3x22axb，錯(cuò)因分析由于函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取得極值的必要條件，而非充分條件.因此，本題在解答時(shí)很容易

11、忽略對得出的兩組解進(jìn)行檢驗(yàn)而出錯(cuò).解析答案防范措施第25頁/共34頁但由于當(dāng)a3，b3時(shí)，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x1處取得極值，防范措施正解由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得，f(x)3x22axb，第26頁/共34頁根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中，在得到參數(shù)的兩組解后，應(yīng)按照函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極值所對應(yīng)的條件進(jìn)行檢驗(yàn)，考查每一組解所對應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處是否能取得極值，從而進(jìn)行取舍.返回防范措施第27頁/共34頁 當(dāng)堂檢測解析答案1.已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的遞增區(qū)間是_.解析f(x)6x22ax36，且在x2處有極值，

12、f(2)0,244a360，a15，f(x)6x230 x366(x2)(x3)，由f(x)0，得x2或x3.(，2)，(3，)第28頁/共34頁解析答案2.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是_.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的極小值一定小于它的極大值；函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值；若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).解析由極值的概念可知只有正確.第29頁/共34頁3.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)說法中，正確的為_.無極大值點(diǎn)，有四個(gè)極小值點(diǎn)；有三個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn)；有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)

13、極小值點(diǎn)；有四個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn).解析在xx0的兩側(cè)，f(x)的符號由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；f(x)的符號由負(fù)變正，則f(x0)是極小值，由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn)，兩個(gè)極小值點(diǎn).解析答案第30頁/共34頁解析答案4.已知f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍為_.解析f(x)3x22ax(a6)，因?yàn)閒(x)既有極大值又有極小值，那么(2a)243(a6)0，解得a6或a3.(，3)(6，)第31頁/共34頁解析答案5.設(shè)函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，且x1x21，則實(shí)數(shù)a的值為_.解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，9第32頁/共34頁課堂小結(jié)返回1.求函數(shù)極值的基本步驟：(1)求函數(shù)定義域；(2)求f(x)；(3)解f(x)0；(4)列表(f(x)，f(x)隨x的變化情況)；(5)下結(jié)論.2.函數(shù)的極值的應(yīng)用：(1)確定參數(shù)的值，一般用待定系數(shù)法；(2)判斷方程根的情況時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值，畫出函數(shù)大致圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想來討論根的情況.第33頁/共34頁