4、三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．
典例1 （2020·四川省武勝縣萬善初級(jí)中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為
A．40°，100° B．70°，70°
C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°
【答案】D
【解析】①若等腰三角形的頂角為40°時(shí)，另外兩個(gè)內(nèi)角=（180°–40°）÷2=70°；
②若等腰三角形的底角為40°時(shí)，它的另外一個(gè)底角為40°，頂角為180°–40°–40°=100°．
所以另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：40°、100°或70°、70°．故選
5、D．
【名師點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180o，解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論①已知角為頂角時(shí)；②已知角為底角時(shí)．
典例2 （2019·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是
A．ADBC B．∠B=∠C
C．AB=2BD D．AD平分∠BAC
【答案】C
【解析】因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，
A．AD⊥BC，故A選項(xiàng)正確；
B．∠B=∠C，故B選項(xiàng)正確；
C．無法得到AB=2BD，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．AD平分∠BAC，故D選項(xiàng)正確．
故選C．
【名師點(diǎn)睛
6、】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵熟練運(yùn)用等腰三角形的三線合一性質(zhì).
1．（2020·自貢市田家炳中學(xué)初二期中）等腰三角形的周長為13cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的底邊為__________cm.
考向二 等腰三角形的判定
1．等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．
2．底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個(gè)等腰三角形．
典例3 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一點(diǎn)，EF∥AD交CA的延長線于F．
求證：△AEF是等腰三角形
7、．
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，
∴∠FEA=∠F，
∴△AEF是等腰三角形．
2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的長為奇數(shù)．
（1）求△ABC的周長；（2）判斷△ABC的形狀．
考向三 等邊三角形的性質(zhì)
1．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．
2．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．
3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．
典例4 （2019·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，
8、若BE=1，則AC的長為__________．
【答案】4
【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，
∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，
∵點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴AB=2BD=4，
∵∠B=∠C=60°，∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB=4，故答案為：4．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)求得AB=2BD是解題的關(guān)鍵.
3．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，以為一邊作等邊，連接．
（1）說明的理由；
（2）若，求的度數(shù)．
考向四 等邊三角形的判定
在等腰三角形中，
9、只要有一個(gè)角是60°，無論這個(gè)角是頂角還是底角，這個(gè)三角形就是等邊三角形．
典例5 下列推理中，錯(cuò)誤的是
A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形
B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形
C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形
D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形
【答案】B
【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；
B，條件重復(fù)且條件不足，故不正確；
C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；
D，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角
10、形可以得到，故正確．故選B．
4．如圖，已知OA=5，P是射線ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AON=60°．當(dāng)OP=__________時(shí)，△AOP為等邊三角形．
考向五 直角三角形
在直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，這個(gè)性質(zhì)常常用于計(jì)算三角形的邊長，也是證明一邊（30°角所對(duì)的直角邊）等于另一邊（斜邊）的一半的重要依據(jù)．當(dāng)題目中已知的條件或結(jié)論傾向于該性質(zhì)時(shí)，我們可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將線段或角轉(zhuǎn)化，構(gòu)造直角三角形，從而將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題．
典例6 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長為_
11、_________．
【答案】3
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=
∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=AD=3，故答案為：3．
5．已知直角三角形的兩條邊分別是5和12，則斜邊上的中線的長度為__________．
考向六 勾股定理
1．應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶a2+b2=c2時(shí)，斜邊只能是c．若b為斜邊，則關(guān)系式是a2+c2=b2；若a為斜邊，則關(guān)系式是b2+c2=a2．
2．如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也
12、可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解．
典例7 （2020·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長分別為cm和cm，則這個(gè)直角三角形的周長為__________.
【答案】cm
【解析】∵直角邊長為:cm和cm，∴斜邊=（cm），
∴周長=（cm）.
故答案為:cm
【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與三角形邊長，面積的綜合運(yùn)用.熟練掌握勾股定理的計(jì)算解出斜邊是關(guān)鍵
6．如圖所示，在中，，，，為邊上的中點(diǎn).
（1）求、的長度；
（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長度.
1．（2020·浙江初二月考）直
13、角三角形兩直角邊長分別為6和8，則此直角三角形斜邊上的中線長是
A．3 B．4 C．7 D．5
2．（2020·山東初二期中）如圖，是等邊三角形，，則的度數(shù)為
A．50° B．55° C．60° D．65°
3．（2019·吉林初二期末）如圖是“人字形”鋼架，其中斜梁AB=AC，頂角∠BAC=120°，跨度BC=10m，AD為支柱（即底邊BC的中線），兩根支撐架DE⊥AB，DF⊥AC，則DE+DF等于
A．10m B．5m
C．2.5m D．9.5m
4．（2019·河南初二期中）如圖，是邊長為1的等邊三角形，為頂角的等腰三角形，點(diǎn)、分別在、上，且，則的周長為
14、
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
5．（2020·北京北理工附中初二期中）如圖，△ABC中，D、E兩點(diǎn)分別在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，則∠BDE=
A．24° B．25°
C．30° D．35°
6．已知等腰三角形的一邊長等于4，一邊長等于9，則它的周長為
A．22 B．17
C．17或22 D．26
7．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D在BC上，且AD平分∠BAC，則AD的長為
A．6 B．5
C．4 D．3
8．如圖，A、B兩點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)方格都是邊長
15、為1的正方形，點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且△ABC是等腰三角形，則符合條件是點(diǎn)C共有
A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．11個(gè)
9．如圖，Rt△ABC中，∠B=90?，AB=9，BC=6，，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段AN的長等于
A．5 B．6 C．4 D．3
10．將一個(gè)有45°角的三角尺的直角頂點(diǎn)C放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)A在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角尺的一邊AC與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角尺的最長邊的長為
A．6 B．3 C．4 D．6
11．（2019·四川初二期中）三角形的三邊a，b，c滿足+（b
16、﹣c）2=0；則三角形是_____三角形.
12．（2019·山西初三期末）如圖，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，△ABC的面積=________．
13．（2020·北京北理工附中初二期中）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°，則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為__________.
14．若一個(gè)等腰三角形的周長為26，一邊長為6，則它的腰長為__________．
15．如圖，在中，，D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)，且，，則__________．
16．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠EF
17、D=__________°．
17．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD的平分線上時(shí)，CA1的長為__________．
18．（2019·湖北初二期末）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)E在AB上，把△ABC沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與斜邊AC的中點(diǎn)D重合.
（1）求證：△ACE為等腰三角形；
（2）若AB=6，求AE的長.
19．如圖，一架2.5 m長的梯子斜立在豎直的墻上，此時(shí)梯足B距底端O為0.7 m．
（1）求OA的長度；
（2）如果梯子頂端下滑0.
18、4米，則梯子將滑出多少米？
20．（2019·遼寧初二月考）與有公共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)均按逆時(shí)針排列），，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，連接.
（1）如圖，當(dāng)時(shí)，
求證：①；
②是等腰直角三角形.
（2）當(dāng)時(shí)，畫出相應(yīng)的圖形（畫一個(gè)即可），并直接指出是何種特殊三角形.
21．已知：如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開始時(shí)，繩長CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA方向行駛到點(diǎn)D后，繩長CD=6米．
（1）試判定△ACD的形狀，并說明理由；
（2）求船體移動(dòng)距離BD的長度．
1．（
19、2019?濱州）如圖，在和中，，連接交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個(gè)數(shù)為
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2019?蘭州）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=__________．
3．（2019?成都）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為__________．
4．（2019?威海）如圖，在四邊形中，，連接，．若，，，則__________．
5．（2019?通遼）腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為__________．
6．（2019?
20、懷化）若等腰三角形的一個(gè)底角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為__________．
7．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．
8．（2019?蘇州）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
9．（2019?重慶）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC交AD的延長線于點(diǎn)F．求證：AE=FE
21、．
10．（2019?無錫）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)O．
求證：（1）；
（2）．
11．（2019?重慶A卷）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．
（1）若∠C=36°，求∠BAD的度數(shù)．
（2）若點(diǎn)E在邊AB上，EF∥AC叫AD的延長線于點(diǎn)F．求證：FB=FE．
12．（2019?棗莊）在中，，，于點(diǎn)．
（1）如圖1，點(diǎn)，分別在，上，且，當(dāng)，時(shí)，求線段AM的長；
（2）如圖2，點(diǎn)，分別在，
22、上，且，求證：；
（3）如圖3，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在上，且，求證：．
變式拓展
1．【答案】4cm或5cm
【解析】當(dāng)長是4cm的邊是底邊時(shí)，腰長是（13–4）=4.5，
三邊長為4cm，4.5cm，4.5cm，等腰三角形成立；
當(dāng)長是4cm的邊是腰時(shí)，底邊長是：13–4–4=5cm，等腰三角形成立．
故底邊長是：4cm或5cm．故答案是：4cm或5cm
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解．
2．【解析】（1）由題意得：5?2
23、ABC的周長為5+5+2=12．
（2）∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
3．【答案】（1）見解析；（2）20°.
【解析】（1）由，得，由，
得（SAS）；
（2）由，得，
所以，
所以.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，先證明三角形全等是解決本題的突破口．
4．【答案】5
【解析】已知∠AON=60°，當(dāng)OP=OA=5時(shí)，根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形，可得△AOP為等邊三角形．故答案為：5．
5．【答案】6或6.5
【解析】分兩種情況：①5和12是兩條直角邊，根據(jù)勾股定理求得斜邊為13，利用直角三角形
24、斜邊的中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6.5；②5是直角邊，12為斜邊，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可得斜邊上的中線的長度為6，故答案為：6或6.5．
6．【答案】（1）BD=2，；（2），
【解析】（1）∵在中，，，，
∴在中，，
∴，
又∵為邊上的中點(diǎn)，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）折疊后如圖所示，為折痕，連接，
設(shè)，則，，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，也考查了折疊的性質(zhì).是常見中考題型.
考點(diǎn)沖關(guān)
1．【答案】D
【解析】∵兩直角邊分別為6和8，∴斜邊=，
∴斜邊
25、上的中線=×10=5，故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．【答案】A
【解析】是等邊三角形，，
又，，
，
，，
故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是正確解答本題的關(guān)鍵.
3．【答案】B
【解析】∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足為E，F(xiàn)，
∴DE=BD，DF=DC，
∴DE+DF=BD+DC=（BD+DC）=BC．
∴DE+DF=BC=×10=5
26、m．故選B．
【名師點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
4．【答案】A
【解析】如圖所示，延長AC到E，使CE=BM，連接DE，
∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中，，
∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
27、∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
故選A.
【名師點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到全等條件是解決本題的關(guān)鍵.
5．【答案】C
【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，
∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=，
∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴設(shè)∠ABD為3x，∠DBC為4x，
∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，
∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案為C．
【名師
28、點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求解，難度適中．
6．【答案】A
【解析】分兩種情況：①當(dāng)腰為4時(shí)，4+4<9，所以不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)腰為9時(shí)，9+9>4，9-9<4，所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4=22．故選A．
7．【答案】C
【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD==4．故選C．
8．【答案】B
【解析】如圖，
①點(diǎn)C以點(diǎn)A為標(biāo)準(zhǔn)，AB為底邊，符合點(diǎn)C的有5個(gè)；②點(diǎn)C以點(diǎn)B為標(biāo)準(zhǔn)，AB為等腰三角形的一條邊，符合點(diǎn)C的有4個(gè)．所以符合條件的點(diǎn)C共有9個(gè)．故選B．
9．
29、【答案】A
【解析】設(shè)AN=x，由翻折的性質(zhì)可知DN=AN=x，則BN=9-x．∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故選A．
10．【答案】D
【解析】如圖，作AH⊥CH，
在Rt△ACH中，∵AH=3，∠AHC=90°，∠ACH=30°，∴AC=2AH=6，在Rt△ABC中，
AB=．故選D．
11．【答案】等邊
【解析】三角形的三邊a，b，c滿足，
由算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方數(shù)的非負(fù)性可得：，
，解得：，即，
則該三角形是等邊三角形.故答案為：等邊.
【名師點(diǎn)睛】本題
30、是一道比較好的綜合題，考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性、平方數(shù)的非負(fù)性、等邊三角形的定義.
12．【答案】60cm2．
【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，
∵AB=AC=13cm，BC=10cm，
∴BD=CD=5cm，AD⊥BC，
由勾股定理得：AD==12（cm），
∴△ABC的面積=×BC×AD=×10×12=60（cm2）．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理，能根據(jù)等腰三角形的“三線合一”正確的添加輔助線是關(guān)鍵.
13．【答案】55°或125°
【解析】如圖，分兩種情況進(jìn)行討論：
如圖1，當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，則∠ABD=35°，∴∠BAD=9
31、0°–35°=55°；
如圖2，當(dāng)高在三角形外部時(shí)，則∠ABD=35°，∴∠BAD=90°–35°=55°；
∴∠CAB=180°–55°=125°，
故答案為55°或125°．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
14．【答案】10
【解析】①當(dāng)6為腰長時(shí)，則腰長為6，底邊=26-6-6=14，因?yàn)?4>6+6，所以不能構(gòu)成三角形；
②當(dāng)6為底邊時(shí)，則腰長=（26-6）÷2=10，因?yàn)?-6<10<6+6，所以能構(gòu)成三角形，故腰長為10．故答案為：10．
15．【答案】
【解析】∵是三角形ABD的外角，是三角形D
32、EC的一個(gè)外角，，
∴，，
，，
∵，D、E分別在BC、AC上，，，
∴，，∴，∵
，∴，故答案為：．
16．【答案】15
【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案為：15．
17．【答案】或
【解析】如圖，過點(diǎn)A1作A1M⊥BC于點(diǎn)M．
∵點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1恰落在∠BCD的平分線上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，
∴設(shè)CM=A1M=x，則BM=7-x．又由折疊的性質(zhì)知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB
33、中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-（7-x）2，∴25-（7-x）2=x2，解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中，CA1=A1M，
∴CA1=3或4．故答案為：或．
18．【答案】（1）見解析；（2）4.
【解析】（1）∵把△ABC沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與斜邊AC的中點(diǎn)D重合，
∴CD=CB，∠CDE=∠B=90°，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴EA=EC，∴△ACE為等腰三角形；
（2）由折疊的性質(zhì)知：∠BEC=∠DEC，
∵△ADE≌△CDE，∴∠AED=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC=∠BE
34、C=60°，
∴∠BCE=30°，∴，
又∵EA=EC，∴，
∴AE=4.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的定義和30°角的直角三角形的性質(zhì)，屬于?？碱}型，熟練掌握上述圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
19．【解析】在直角△ABO中，已知AB=2.5 m，BO=0.7 m，
則AO==2.4 m，
∵AO=AA′+OA′，∴OA′=2 m，
∵在直角△A′B′O中，AB=A′B′，且A′B′為斜邊，
∴OB′=1.5 m，
∴BB′=OB′-OB=1.5 m-0.7 m=0.8 m．
答：梯足向外移動(dòng)了0.8 m．
20．【答案】（1）①
35、詳見解析；②詳見解析；（2）詳見解析；
【解析】（1）證明：①∵，∴.
又，
∴，∴.
又，∴；
②當(dāng)時(shí)，，
∵，∴.
∵，∴，
∴；
又，∴，
∴，
∴
即，
∴是等腰直角三角形.
（2）所畫圖形如圖1或圖②，此時(shí)是等邊三角形.
圖1 圖2
與（1）同理，可證，
∴AF=AD，，
∴△AFD是等邊三角形.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找到證明三角形全等的條件，利用全等三角形的性質(zhì)得到邊的關(guān)系，角的
36、關(guān)系.
21．【解析】（1）由題意可得：AC=6 m，DC=6 m，∠CAD=90°，
可得AD==6（m），
故△ACD是等腰直角三角形．
（2）∵AC=6 m，BC=10 m，∠CAD=90°，
∴AB==8（m），
則BD=AB-AD=8-6=2（m）．
答：船體移動(dòng)距離BD的長度為2 m．
直通中考
1．【答案】B
【解析】∵，∴，即，
在和中，，∴，∴，①正確；
∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，
∴°，②正確；
作于，于，如圖所示：
則°，
在和中，，∴，∴，∴平分，④正確，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選B．
2．【答案】70°
【解析】∵AB=AC，
37、∴∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°-40°）=70°．故答案為：70°．
3．【答案】9
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE=9，故答案為：9．
4．【答案】105
【解析】作于，于，如圖所示，
則，∵，，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，故答案為：．
5．【答案】6或或
【解析】①如圖1，
當(dāng)，，則，∴底邊長為6；
②如圖2，
當(dāng)，時(shí)，則，
∴，∴，∴此時(shí)底邊長為；
③如圖3，
當(dāng)，時(shí)，則，∴，∴，
∴此時(shí)底邊長為．故答案為：6或或．
38、【名師點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分三種情況分類討論．
6．【答案】36°
【解析】∵等腰三角形的一個(gè)底角為，∴等腰三角形的頂角，
故答案為：．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．【答案】70
【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案為：70．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性
39、質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．【解析】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，比較簡單，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵．
9．【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°．
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
40、∴AE=FE．
10．【解析】（1）∵AB=AC，
∴∠ECB=∠DBC，
在與中，，
∴≌．
（2）由（1）≌，
∴∠DCB=∠EBC，
∴OB=OC．
11．【解析】（1）∵，∴，
∵，
∴，
∵D為BC的中點(diǎn)，∴，
∴．
（2）∵BE平分，∴，
又∵，∴，
∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
12．【解析】（1）∵，，，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
由勾股定理得，，即，解得，
∴．
（2）∵，，∴，
在和中，，
∴，
∴．
（3）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于，
∴，
則，，∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，∴，
∴．
【名師點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形
的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)15 等腰三角形與直角三角形（含解析）
