2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練11 三角形（含解析）

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1、熱點(diǎn)11 三角形 【命題趨勢】 首先說明——三角形是中考必考內(nèi)容，而且也是熱點(diǎn)內(nèi)容，無論是小題還是大題．因?yàn)槿切伟ǖ膬?nèi)容很多，例如三角形的基本知識（內(nèi)角和定理推論、三邊關(guān)系）、三角形的三線（角平分線、中線、高線）五心（內(nèi)心，外心，重心，垂心，旁心），特殊的三角形（等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形，等邊三角形）的性質(zhì)及判定方法，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，最后在此要特別強(qiáng)調(diào)的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函數(shù)的相關(guān)知識是重中之重，它是我們計(jì)算線段長度的最重要的工具，所以這是考查的重點(diǎn)中的重點(diǎn)。 【滿分技巧】 一、利用思維導(dǎo)圖的方式整理有關(guān)三角形的相關(guān)內(nèi)

2、容 有關(guān)三角形的內(nèi)容非常多，利用思維導(dǎo)圖的方式可以很好地整理和歸納本部分內(nèi)容，讓這部分知識在我們的大腦中能形成一個(gè)完整的知識網(wǎng)絡(luò)，這可以讓我們在做題時(shí)可以快速地在大腦中搜索這部分知識． 二、總結(jié)與三角形有關(guān)的基本模型 （1）有關(guān)三角形全等模型 （2）有關(guān)三角形相似的模型：A字型，反A字型，8字型，反8字型，母子型，一線三等角型，一線三直角型， ． 【限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：30分鐘） 一、選擇題 1.如圖，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度

3、移動．若P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在運(yùn)動過程中，△PBQ的最大面積是（　　） A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm2 【答案】C 【解析】∵tan∠C=，AB=6cm， ∴=， ∴BC=8， 由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， 設(shè)△PBQ的面積為S， 則S=×BP×BQ=×2t×（6﹣t）， S=﹣t2+6t=﹣（t2﹣6t+9﹣9）=﹣（t﹣3）2+9， P：0≤t≤6，Q：0≤t≤4， ∴當(dāng)t=3時(shí)，S有最大值為9， 即當(dāng)t=3時(shí)，△PBQ的最大面積為9cm2； 故選C． 2.如圖，D，E分別

4、是△ABC的邊AB，AC上的中點(diǎn)，如果△ADE的周長是6，則△ABC的周長是（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】因?yàn)镈E//BC，所以△ADE∽△ABC，k=,所以△ABC的周長為12 3.如圖，已知等腰三角形ABC，AB=AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是（　?。? A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 【答案】C 【解析】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交

5、腰AC于點(diǎn)E， ∴BE=BC， ∴∠ACB=∠BEC， ∴∠BEC=∠ABC=∠ACB， ∴∠A=∠EBC， 故選C． 4.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個(gè)正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a=3，b=4，則該矩形的面積為（　?。? A．20 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】 設(shè)小正方形的邊長為x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（3+x）2+（x+4）2=72， 整

6、理得，x2+7x﹣12=0， 解得x=或x=（舍去）， ∴該矩形的面積=（+3）（+4）=24， 故選：B． 5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，若△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（　?。? A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【解析】 ∵在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵=， ∴=， ∵△ADE的面積為4， ∴△ABC的面積為：16， 故選：D． 6.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△

7、DEF的是（　?。? A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 【答案】A 【解析】 選項(xiàng)A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)正確； 選項(xiàng)B、添加AC＝DF可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 選項(xiàng)C、添加AB＝DE可用AAS進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 選項(xiàng)D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA進(jìn)行判定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：A． 7.已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM＝MN＝2，NB＝1，以點(diǎn)A為圓心，AN長為半徑畫??；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連接AC，BC，則△ABC一定是（　　） A．銳角三

8、角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】如圖所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故選：B． 8.下列長度的3根小木棒不能搭成三角形的是（　?。? A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．4cm，5cm，6cm 【答案】B 【解析】 A、2+3＞4，能構(gòu)成三角形，不合題意； B、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形，符合題意； C、4+3＞5，能構(gòu)成三角形，不合題意； D、4+5＞6，能構(gòu)成

9、三角形，不合題意． 故選：B． 9.已知n是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有（　?。? A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 【答案】D 【解析】①若n+2＜n+8≤3n，則 ， 解得，即4≤n＜10， ∴正整數(shù)n有6個(gè)：4，5，6，7，8，9； ②若n+2＜3n≤n+8，則 ， 解得，即2＜n≤4， ∴正整數(shù)n有2個(gè)：3和4； 綜上所述，滿足條件的n的值有7個(gè)， 故選：D． 10.如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交、于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)、為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，，則的面積是

10、　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 由作法得平分， 點(diǎn)到的距離等于的長，即點(diǎn)到的距離為1， 所以的面積． 故選：． 11.滿足下列條件時(shí)，△ABC不是直角三角形的為（　?。? A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5 C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0 【答案】C 【解析】A、∵，∴△ABC是直角三角形，錯(cuò)誤； B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，錯(cuò)誤； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，

11、正確； D、∵|cosA﹣|+（tanB﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，錯(cuò)誤； 故選：C． 12.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若BC=6，AC=5，則△ACE的周長為（ ） A.8 B.11 C.16 D.17 【答案】B 【解析】因?yàn)镈E垂直平分AB，所以BE=AE， 所以BC=BE+CE=AE+CE=6 又AC=5 所以△ACE的周長為5+6=11 故選B 13.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算

12、書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（　　） A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積 C．較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和 【答案】C 【解析】 設(shè)直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短直角邊為a， 由勾股定理得，c2＝a2+b2， 陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）， 較小兩個(gè)正方形重疊部分的長＝a﹣（c﹣b），寬＝a， 則較小兩個(gè)正方形重疊部分底

13、面積＝a（a+b﹣c）， ∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積， 故選：C． 14.如圖，在中，，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由作法得， ， 平分，， ， ． 故選：． 15.如圖，點(diǎn)D在BC的延長線上，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數(shù)為（　?。? A．65° B．70° C．75° D．85° 【答案】B 【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35° ∴∠AFE＝∠CFD＝55°， ∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝7

14、0°． 故選：B． 二、填空題 16.腰長為5，高為4的等腰三角形的底邊長為　?。? 【答案】6或或 【解析】①如圖1 當(dāng)，， 則， 底邊長為6； ②如圖2． 當(dāng)，時(shí)， 則， ， ， 此時(shí)底邊長為； ③如圖 當(dāng)，時(shí)， 則， ， ， 此時(shí)底邊長為． 故答案為：6或或． 17.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE為△ABC的中位線，延長BC至F，使CF＝BC，連接FE并延長交AB于點(diǎn)M．若BC＝a，則△FMB的周長為　 ?。? 【答案】 【解析】 在Rt△ABC中，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2a，AC＝a

15、． ∵DE是中位線， ∴CE＝a． 在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a， ∴∠FEC＝30°． ∴∠A＝∠AEM＝30°， ∴EM＝AM． △FMB周長＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝． 故答案為． 18.如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是　 ?。? 【答案】8 【解析】∵DC⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACD＝30°， 延長CD到H使DH＝CD， ∵D為AB的中點(diǎn)， ∴AD＝BD， 在△ADH與△BCD中，， ∴

16、△ADH≌△BCD（SAS）， ∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°， ∵∠ACH＝30°， ∴CH＝AH＝4， ∴CD＝2， ∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8， 故答案為：8． 19.如圖，已知直線，含角的三角板的直角頂點(diǎn)在上，角的頂點(diǎn)在上，如果邊與的交點(diǎn)是的中點(diǎn)，那么　　度． 【答案】120 【解析】是斜邊的中點(diǎn)， ， ， ， ， ， ． 故答案為120． 20.等腰三角形的兩邊長分別為6cm，13cm，其周長為　 　cm． 由題意知，應(yīng)分兩種情況： 【答案】32 【解析】（1）當(dāng)腰長為6cm時(shí)，三角形三邊

17、長為6，6，13，6+6＜13，不能構(gòu)成三角形； （2）當(dāng)腰長為13cm時(shí)，三角形三邊長為6，13，13，周長＝2×13+6＝32cm． 故答案為32． 三、證明題 21.已知：如圖，△ABC是任意一個(gè)三角形，求證：∠A+∠B+∠C=180°． 【證明】：過點(diǎn)A作EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 22.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c． （1）若a＝6，b＝8，c＝12，請直接寫出∠A與∠B的和與∠C的大小關(guān)系；

18、 （2）求證：△ABC的內(nèi)角和等于180°； （3）若＝，求證：△ABC是直角三角形． 【解】：（1）∵在△ABC中，a＝6，b＝8，c＝12， ∴∠A+∠B＜∠C； （2）如圖，過點(diǎn)A作MN∥BC， ∵M(jìn)N∥BC， ∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C（兩直線平行，同位角相等）， ∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°（平角的定義）， ∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（等量代換）， 即：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°； （3）∵＝， ∴ac＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝[（a2+2ac+c2）﹣b2]， ∴2ac＝a2+2ac+c2﹣b2， ∴a2+c2＝b2，

19、 ∴△ABC是直角三角形． 23.已知，在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，，，．求證：． 【證明】： ，且， 24.如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點(diǎn)C在直線m上，分別過點(diǎn)A、B作AE⊥直線m于點(diǎn)E，BD⊥直線m于點(diǎn)D． ①求證：EC＝BD； ②若設(shè)△AEC三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理． ①【證明】：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCD＝90°． ∵∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD． 在△AEC與△BCD中， ∴△CAE≌△BCD（AAS）． ∴EC＝BD； ②解：由①知：BD＝CE＝a CD＝AE＝b

20、∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b） ＝a2+ab+b2． 又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC ＝ab+ab+c2 ＝ab+c2． ∴a2+ab+b2＝ab+c2． 整理，得a2+b2＝c2． 25.如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延長BA到點(diǎn)D，使AD＝AB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)．求證：DF＝BE． 【證明】：∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝90°， ∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AC的中點(diǎn)， ∴AF＝FC，BE＝EC，F(xiàn)E是△ABC的中位線， ∴FE＝AB，F(xiàn)E∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝∠EF

21、C， ∵AD＝AB， ∴AD＝FE， 在△ADF和△FEC中，， ∴△ADF≌△FEC（SAS）， ∴DF＝EC， ∴DF＝BE． 四、作圖題 26.如圖，已知等腰頂角． （1）在上作一點(diǎn)，使（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明，最后用黑色墨水筆加墨）； （2）求證：是等腰三角形． （1）解：如圖，點(diǎn)為所作； （2）證明：， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 五、應(yīng)用題 27.如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°，升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌

22、聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，則BD=CD=9米． 在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，則AD=CD?tan37°≈9×0.75=6.75（米）． 所以，AB=AD+BD=15.75米， 整個(gè)過程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米）， 因?yàn)楹臅r(shí)45s， 所以上升速度v==0.3（米/秒）． 答：國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升． 28.在△ABC中，AB=

23、15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積． 根據(jù)勾股定理，利用AD作為“橋梁”，建立方程模型求出x 作AD⊥BC于D，設(shè)BD = x，用含x的代數(shù)式表示CD 利用勾股定理求出AD的長，再計(jì)算三角形面積 某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程． 【解】：如圖，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 設(shè)，∴． 由勾股定理得：， ， ∴，

24、解之得：． ∴． ∴． 六．探究題 29.如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD． （1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論； （2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． 　【解析】（1）PM

25、=PN，PM⊥PN，理由如下： ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°． 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD， ∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE， ∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°， ∴∠MPN=90°， 即PM⊥PN； （2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD， ∠ACB=∠ECD=90°

26、． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE， ∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°． ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE． ∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是

27、直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE． ∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN． 30.已知：如圖，∠ABC，射線BC上一點(diǎn)D． 求作：等腰△PBD，使線段BD為等腰△PBD的底邊，點(diǎn)P在∠ABC內(nèi)部，且點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等． 【解析】：∵點(diǎn)P在∠ABC的平分線上， ∴點(diǎn)P到∠ABC兩邊的距離相等（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等）， ∵點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上， ∴PB=PD（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）， 如圖所示： 25