內蒙古滿洲里市第七中學高中數學 第一章第4節(jié)《三角函數的圖像和性質 正切函數的定義》課件 新人教A版必修4

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1、在直角坐標系中，如圖，如果滿足：abyo 的終邊的終邊P(a,b)MMx xA A1 1R,那么角那么角的終邊與的終邊與單位圓交于點單位圓交于點P（a,b)，唯一確定的比值，唯一確定的比值.根據函數的定義，比值根據函數的定義，比值ab是角是角的函數，的函數，tanyx我們把它叫作角我們把它叫作角的正切函數，記作的正切函數，記作:其中其中R,2kkZ根據正切函數與正弦函數、余弦函數的的定義，不難看出：根據正切函數與正弦函數、余弦函數的的定義，不難看出：cossintan（R,2kkZ）由此可知，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值由此可知，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數值的函

2、數為函數值的函數,我們統(tǒng)稱它們?yōu)槿呛瘮滴覀兘y(tǒng)稱它們?yōu)槿呛瘮?1.正切函數的定義正切函數的定義,2kkZ圖圖1三角函數線三角函數線y yx xo o MMP PA(1,0)A(1,0)T TMPMP是正弦線是正弦線OMOM是余弦線是余弦線 AT AT是正切線是正切線y yx xo o MMP PA AT Ty yx xo oMMP PA AT Ty yx xo oP PMMA AT T, 1 1. .設設 的的終終邊邊與與單單位位圓圓交交于于點點P P( (x x, ,y y) )2 2. .過過點點P P作作x x軸軸的的垂垂線線，垂垂足足為為MM 3 3. .過過點點A A( (1 1,

3、 ,0 0) )作作圓圓的的切切線線, ,交交 終終邊邊或或其其反反向向延延長長線線于于T T2、正切函數的圖象、正切函數的圖象利用正切線作正切函數的圖象利用正切線作正切函數的圖象 .正切函數正切函數 是否為周期函數？是否為周期函數？ xytan xfx tanZkkxRx,2,且對任意的對任意的 都有都有kxkxkxkxfcossintanxxcossin 是周期函數，是周期函數， 是它的最小正周期是它的最小正周期 xytan 下面我們先來作一個周期內的圖象。想一想想一想：先作哪個區(qū)間上的圖象好好呢？( ( - -, ,) )2 22 2為什么？為什么？3 ），（33tan AT0XY問題：

4、如何利用正切線畫出函數問題：如何利用正切線畫出函數 ， 的的圖像？圖像？ xytan 22 ，x的終邊的終邊角角3 作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切線作正切線(3) 平移平移(4) 連線連線把單位圓右半圓分成把單位圓右半圓分成8等份。等份。83488483，利用正切線畫出函數利用正切線畫出函數 ， 的圖像的圖像: : xytan 22 ，x44288838320o由正切函數的周期性，把圖象向左、向右擴展，得到正切函數的圖象，稱為正切曲線yx1-1/2-/23/2-3/2-0y=tanx利用正切函數的圖象來研究它的性質：利用正切函數的圖象來研究它的性質：正切函數的性質：正切函數的性質

5、：1、定義域：、定義域：Zkkxx,2利用正切函數的圖象來研究它的性質：利用正切函數的圖象來研究它的性質：正切函數的性質：正切函數的性質：2、值域：、值域：當當 小于小于 且無限接近于且無限接近于 時，時， xZkk2k2xtan當當 大于大于 且無限接近于且無限接近于 時，時，xZkk2k2xtanR利用正切函數的圖象來研究它的性質：利用正切函數的圖象來研究它的性質：正切函數的性質：正切函數的性質：3、周期性：、周期性：ZkkxRx,2,且xxtantan對任意的對任意的 都有都有利用正切函數的圖象來研究它的性質：利用正切函數的圖象來研究它的性質：正切函數的性質：正切函數的性質：4、奇偶性：

6、、奇偶性：Zkkkx2,2xxtantan 任意任意 ，都有，都有正切函數是奇函數正切函數是奇函數.奇函數奇函數,正切曲線關于原點正切曲線關于原點 O 對稱對稱.正切函數的對稱中心為：正切函數的對稱中心為： （ ）02，kZk利用正切函數的圖象來研究它的性質：利用正切函數的圖象來研究它的性質：正切函數的性質：正切函數的性質：5、單調性：、單調性：Zkkk2,2正切函數在每個開區(qū)間正切函數在每個開區(qū)間 內都是增函數內都是增函數. 定義域定義域：Zk,k2x|x 值域值域： 周期性：周期為周期性：周期為 ，最小正周期為，最小正周期為 奇偶性：奇偶性： 在每一個開區(qū)間在每一個開區(qū)間 ， 內都是增函數

7、。內都是增函數。)2,2(kkZk正正切切函函數數圖圖像像奇函數，圖象關于原點對稱。奇函數，圖象關于原點對稱。R 單調性：單調性：Z k,2kx (6)漸近線方程：漸近線方程： (7)(7)對稱中心對稱中心kk(,0)(,0)2 2 k k 四、應用：四、應用：例例1求函數求函數 的定義域的定義域 4tan xy解：解： 令令 ，那么函數，那么函數 的定義域是的定義域是: : 4 xzzytan Zkkzz， 2由由 ，可得，可得 所以函數所以函數 的定義域是的定義域是 4tan xy Zkkxx， 4kzx24kkx442練習：求函數練習：求函數 的定義域的定義域.tan(2)4yx解：因為

8、解：因為 的定義域為的定義域為24uxtanyu |,2u uR ukkZ令令由由242xk，解得，解得328kx所以原來函數所以原來函數 的定義域為的定義域為tan(2)4yx3 |,28kx xR xkZ例2：觀察正切曲線，寫出滿足下列條件的x的值的范圍。 （1） tanx 0 （2）tanx 1xy 0/2/2/2)(2,(Zkkk（2）tanx 1xy 01/2/2/4)(4,2(Zkkk(1)正切函數是正切函數是上的上的增增函數嗎？為什么？函數嗎？為什么？(2)正切函數會不會在某一區(qū)間內是正切函數會不會在某一區(qū)間內是減減函數？為什么？函數？為什么？例例3：AB 在每一個開區(qū)間 ， 內

9、都是增函數。( (- -+ + k k, ,+ + k k) )2 22 2kZkZ例例4.求函數求函數 的周期和單調區(qū)間的周期和單調區(qū)間.tan(2)3yx解：解：( )tan(2)3f xxtan(2)3xtan2()23x()2f x因此周期為因此周期為2由由2,232kxkkZ增區(qū)間增區(qū)間為為5(,),212212kkkZ解得解得課堂練習課堂練習1.觀察正切曲線，寫出滿足觀察正切曲線，寫出滿足 的的 的范圍的范圍.tan0 x x2.求函數求函數 的定義域、周期的定義域、周期( )tan()23f xx和單調區(qū)間和單調區(qū)間.課堂練習答案課堂練習答案1.(,),2xkkkZ2.定義域為定義域為1 |,2,3x xR xkkZ周期為周期為2，增區(qū)間為，增區(qū)間為51(2,2),33kkkZ1. 正切線的概念正切線的概念.2. 正切函數的定義，圖象及性質正切函數的定義，圖象及性質. . 教材教材P.39. .練練習習 第第 2題題.