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1、
課時分層訓練(四十九)
A組 基礎達標
(建議用時：30分鐘)
1．雙曲線x2－＝1的兩條漸近線方程為________．
y＝±2x [由x2－＝0得y＝±2x，即雙曲線的兩條漸進線方程為y＝±2x.]
2．已知雙曲線－y2＝1(a>0)的一條漸近線為x＋y＝0，則a＝__________.
【導學號：62172271】
[雙曲線－y2＝1的漸近線為y＝±，已知一條漸近線為x＋y＝0，即y＝－x，因為a>0，所以＝，所以a＝.]
3．雙曲線－＝1的離心率為________．
[∵a2＝4，b2＝5，
∴c2＝9，∴e＝＝.]
4．若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點
2、(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________. 【導學號：62172272】
[由雙曲線的漸近線過點(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]
5．已知點F1(－3,0)和F2(3,0)，動點P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點P的軌跡方程為________．
－＝1(x>0) [由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為－＝1(x>0，a>0，b>0)，由題設知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以點P的軌跡方程為－＝1(x>0)．]
6．已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到
3、C的一條漸近線的距離為________．
[由雙曲線方程知a2＝3m，b2＝3，
∴c＝＝.
不妨設點F為右焦點，則F(，0)．
又雙曲線的一條漸近線為x－y＝0，
∴d＝＝.]
7．(2016·全國卷Ⅰ改編)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是________．
(－1,3) [∵原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為4.
∴則
因此－1
4、b＝2，即2b＝4.]
9．在平面直角坐標系xOy中，已知方程－＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為________．
(－2,4) [由題意可知(4－m)(2＋m)>0，即－2
5、的取值范圍是________．
[由題意知a＝，b＝1，c＝，
∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線上，
∴－y＝1，即x＝2＋2y，
∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2AB＝3BC，則E的離心率是________．
2 [如圖，由題意知AB＝，BC＝2c.
又2AB＝3BC，
∴2×＝3×
6、2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．]
B組 能力提升
(建議用時：15分鐘)
1．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
44 [由雙曲線C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴點A(5,0)是雙曲線C的右焦點，
且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，
由雙曲線定義，得PF－PA＝6，
QF－QA＝6.
∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，
因此△PQF的周長為PF＋QF＋PQ＝28
7、＋16＝44.]
2．已知點F是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是________．
(1,2) [由題意易知點F的坐標為(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△ABE是銳角三角形，∴·>0，
即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，
∴e(e3－3e－3＋1)<0，
∴e(e＋1)2(e－2)<0，
解得e∈(0,2)，又e>1，∴e∈(1,2)．]
3．(2016·北京高考)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在
8、的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝__________.
2 [雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知＝1.
又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2，
所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]
4．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為__________．
x2－＝1 [由雙曲線的漸近線y＝±x，即bx±ay＝0與圓(x－2)2＋y2＝3相切，
∴＝，則b2＝3a2.①
又雙曲線的一個焦點為F(2,0)，
∴a2＋b2
9、＝4，②
聯(lián)立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求雙曲線的方程為x2－＝1.]
5．(2017·南通三模)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－y2＝1與拋物線y2＝－12x有相同的焦點，則雙曲線的兩條漸近線的方程為________．
y＝±x [拋物線y2＝－12x的焦點為(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2.
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±＝±x.]
6．(2016·天津高考改編)已知雙曲線－＝1(b＞0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為________．
－＝1 [由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立
解得或
即第一象限的交點為.
由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12.
故雙曲線的方程為－＝1.]
高考數(shù)學 17-18版 第9章 第49課 課時分層訓練49
