高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究課6 高考中的圓錐曲線問題

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1、 熱點(diǎn)探究課(六)　高考中的圓錐曲線問題 [命題解讀]　圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主．這些試題的命題有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問題的能力要求較高． 熱點(diǎn)1　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì) 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法．離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的另一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系．另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的

2、漸近線也是命題的熱點(diǎn)． 　如圖1，橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥PF1. 圖1 (1)若PF1＝2＋，PF2＝2－，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若PF1＝PQ，求橢圓的離心率e. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172279】 [解]　(1)由橢圓的定義， 2a＝PF1＋PF2＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2. 設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1⊥PF2， 因此2c＝F1F2＝ ＝＝2.3分 即c＝，從而b＝＝1， 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.5分 (2)連結(jié)F1Q，如圖，由橢圓的定義知PF1＋PF2＝2a，

3、QF1＋QF2＝2a， 又PF1＝PQ＝PF2＋QF2＝(2a－PF1)＋(2a－QF1)， 可得QF1＝4a－2PF1. ① 又因?yàn)镻F1⊥PQ且PF1＝PQ， 所以QF1＝PF1.?、?分 由①②可得PF1＝(4－2)a， 從而PF2＝2a－PF1＝(2－2)a. 由PF1⊥PF2，知PF＋PF＝F1F， 即(4－2)2a2＋(2－2)2a2＝4c2，12分 可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6， 因此e＝＝＝－.14分 [規(guī)律方法]　1.用定義法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 2．圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度，只需明確a，b

4、，c中任意兩量的關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線y＝x－1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [解]　(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上． 設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)， 因?yàn)閽佄锞€x2＝4y的焦點(diǎn)為(0,1)， 所以b＝1.2分 由離心率e＝＝，a2＝b2＋c2＝1＋c2， 從而得a＝，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.6分 (2)由解得所以點(diǎn)A(2,1).8分 因?yàn)?/p>

5、拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－1， 所以圓的半徑r＝1－(－1)＝2， 所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.14分 熱點(diǎn)2　圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題 定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題． 角度1　圓錐曲線的定值問題 　(2016·北京高考)已知橢圓C：＋＝1過A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程及離心率； (2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值． [解]　(1)由題意得a＝2，b＝1，

6、所以橢圓C的方程為＋y2＝1.3分 又c＝＝，所以離心率e＝＝.5分 (2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，則x＋4y＝4. 又A(2,0)，B(0,1)， 所以直線PA的方程為y＝(x－2).7分 令x＝0，得yM＝－，從而BM＝1－yM＝1＋. 直線PB的方程為y＝x＋1.9分 令y＝0，得xN＝－，從而AN＝2－xN＝2＋. 所以四邊形ABNM的面積S＝AN·BM ＝ ＝ ＝＝2. 從而四邊形ABNM的面積為定值.14分 [規(guī)律方法]　1.求定值問題的常用方法： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)． (2)直接推理、計(jì)算，并在

7、計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值． 2．定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)．在這類問題中選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的． 角度2　圓錐曲線中的定點(diǎn)問題 　設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，且過點(diǎn). (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：x－my－t＝0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，試判定直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172280】 [解]　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，2分 橢圓方程為

8、＋＝1， 代入點(diǎn)可得b2＝2，a2＝4， 故橢圓E的方程為＋＝1.5分 (2)由x－my－t＝0得x＝my＋t， 把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 y1＋y2＝－，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t) ＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.8分 因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A， 所以AM⊥AN， 所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2 ＝＋2×＋4＋ ＝＝＝0.10分 因?yàn)镸，N與A均

9、不重合，所以t≠－2， 所以t＝－，直線l的方程是x＝my－，直線l過定點(diǎn)T， 由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0， 所以直線l過定點(diǎn)T.14分 [規(guī)律方法]　1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)． 2．從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　已知橢圓E：＋＝1，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在射線l：x＝4(y>0)上運(yùn)動(dòng)，MA交橢圓E于點(diǎn)P，MB交橢圓E于點(diǎn)Q. (1)若△MAB垂心的縱坐標(biāo)為－4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)試問

10、：直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． [解]　(1)由題意知A(－2，0)，B(2，0)． 設(shè)△MAB的垂心為H，因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為l：x＝4，且△MAB垂心的縱坐標(biāo)為－4，所以H(4，－4)． 所以直線BH的斜率為kBH＝＝－， 所以直線AM的方程為y＝()(x＋2)． 由?或4分 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.6分 (2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)， 則y＝(8－x)，y＝(8－x)，直線AP的方程為y＝(x＋2)． 由?M.8分 由于M，B，Q三點(diǎn)共線，所以kBM＝kBQ，從而＝， 即＝，兩邊平方得

11、 ＝?＝?＝， 整理得2x1x2－5(x1＋x2)＋16＝0.(*) 設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋m. 由?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝，代入(*)得m2＋5km＋8k2＝0， 解得m＝－k，或m＝－4k. 當(dāng)m＝－k時(shí)，直線PQ的方程為y＝kx－k，即y＝k(x－)，恒過點(diǎn)(，0)； 當(dāng)m＝－4k，直線PQ的方程為y＝kx－4k，即y＝k(x－4)，恒過點(diǎn)(4，0)，此種情況不合題意． 綜上可知，直線PQ恒過點(diǎn)(，0).16分 熱點(diǎn)3　圓錐曲線中的最值、范圍問題 圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：一是涉及距離、面積的最值

12、以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題． 　平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：＋＝1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為. (1)求M的方程； (2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． [解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 則＋＝1，＋＝1，＝－1， 由此可得＝－＝1. 因?yàn)閤1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝， 所以a2＝2b2. 又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a

13、2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3. 所以M的方程為＋＝1.8分 (2)由解得或 因此AB＝. 由題意可設(shè)直線CD的方程為y＝x＋n， 設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)． 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是x3,4＝. 因?yàn)橹本€CD的斜率為1， 所以CD＝|x4－x3|＝. 由已知，四邊形ACBD的面積 S＝CD·AB＝， 當(dāng)n＝0時(shí)，S取得最大值，最大值為， 所以四邊形ACBD面積的最大值為.16分 [規(guī)律方法]　范圍(最值)問題的主要求解方法： (1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決． (2)代數(shù)

14、法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且過點(diǎn)(，－2)． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求·的取值范圍． [解]　由橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4. 得曲線C的焦點(diǎn)F1(0，－2)，F(xiàn)2(0,2).2分 又點(diǎn)(，－2)在橢圓C上， 2a＝＋＝4， 所以a＝2，b＝2， 即橢圓C的方程是＋＝1.5分 (2)若直線l垂直于x軸， ①則點(diǎn)E(0,2)，F(xiàn)(0，－2)，·＝－

15、8. ②若直線l不垂直于x軸， 設(shè)l的方程為y＝kx＋2，點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程得到： (2＋k2)x2＋4kx－4＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝，8分 所以·＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＋＋4＝－8.10分 因?yàn)?<≤10，所以－8<·≤2. 綜上可知，·的取值范圍是[－8,2].14分 熱點(diǎn)4　圓錐曲線中的探索性問題(答題模板) 圓錐曲線的探索性問題主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)探索點(diǎn)是否存在；(2)探索曲線是否存在；(3)探索命題是否成立．涉及這類命題的求解主要是研究直線與

16、圓錐曲線的位置關(guān)系問題． 　(本小題滿分16分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y＝與直線l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N兩點(diǎn)． (1)當(dāng)k＝0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程； (2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM＝∠OPN？說明理由． [解]　(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).2分 又y′＝，故y＝在x＝2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為y－a＝(x－2)， 即x－y－a＝0.4分 y＝在x＝－2處的導(dǎo)數(shù)值為－，C在點(diǎn)(－2，a)處的切線方程為y－a＝－(x＋2)， 即x＋y＋a＝0.6分 故所

17、求切線方程為x－y－a＝0或x＋y＋a＝0.7分 (2)存在符合題意的點(diǎn)．證明如下： 設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.8分 將y＝kx＋a代入C的方程，得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.10分 從而k1＋k2＝＋ ＝＝.13分 當(dāng)b＝－a時(shí)，有k1＋k2＝0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)， 故∠OPM＝∠OPN，所以點(diǎn)P(0，－a)符合題意.16分 [答題模板]　第一步：分別求出曲線y＝在M點(diǎn)，N點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 第二步：利用點(diǎn)斜式分別寫出在M點(diǎn)、N點(diǎn)的切線方程．

18、 第三步：聯(lián)立直線y＝kx＋a與拋物線y＝，并寫出根與系數(shù)的關(guān)系式． 第四步：由kPM＋kPN＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，探索點(diǎn)P的坐標(biāo)． 第五步：檢驗(yàn)反思，查關(guān)鍵點(diǎn)，規(guī)范步驟． [溫馨提示]　1.(1)在第(2)問中，不能把條件∠OPM＝∠OPN適當(dāng)轉(zhuǎn)化為k1＋k2＝0，找不到解題的思路和方法，而不能得分． (2)運(yùn)算能力差或運(yùn)算不細(xì)心，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤而扣分或者不得分． 2．?dāng)?shù)學(xué)閱卷時(shí)，主要看關(guān)鍵步驟、關(guān)鍵點(diǎn)，有則得分，無則扣分，所以解題時(shí)要寫全關(guān)鍵步驟． (1)本題的關(guān)鍵點(diǎn)一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，二是把條件中轉(zhuǎn)化為只需直線PM，PN的斜率之和為0. (2)解析幾

19、何對(duì)運(yùn)算能力要求較高，解題時(shí)一定要細(xì)心準(zhǔn)確，否則可能是思路正確，但是運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤，而不得分． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4]　如圖2，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·＝－1. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 圖2 [解]　(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)． 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝.4分 所以橢圓E的方程為＋＝1.5分 (2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的

20、方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)． 聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.8分 其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 從而，·＋λ· ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝＝－－λ－2. 所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3.10分 此時(shí)，·＋λ·＝－3為定值． 當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD. 此時(shí)，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3. 故存在常數(shù)λ＝1，使得·＋λ·為定值－3.14分 熱

21、點(diǎn)探究訓(xùn)練(六) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．(2017·揚(yáng)州模擬)如圖3，已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M在PF1上，＝λ(λ∈R)，PO⊥F2M. 圖3 (1)若橢圓方程為＋＝1，P(2，)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)； (2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172281】 [解]　(1)∵＋＝1，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， ∴kOP＝，kF2M＝－，kF1M＝. ∴直線F2M的方程為y＝－(x－2)，直線F1M的方程為：y＝(x＋2)． 由 解得x＝， ∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.6

22、分 (2)設(shè)P(x0，y0)，M(xM，yM)， ∵＝2，∴＝(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，∴M，＝. ∵PO⊥F2M，＝(x0，y0)，∴x0＋y＝0， 即x＋y＝2cx0. 聯(lián)立方程得，消去y0得：c2x－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0. 解得x0＝或x0＝. ∵－a. 綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.14分 2．(2017·無錫期末)已知橢圓M：＋＝1(a>b>0)的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c為半焦距)，直線l ：y＝k

23、x＋m(k>0)與橢圓M和圓N均只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別設(shè)為A，B. (1)求橢圓方程和直線方程； (2)試在圓N上求一點(diǎn)P，使＝2. [解]　(1)由題意知解得a＝2，c＝1，所以b＝， 所以橢圓M的方程為：＋＝1. 圓N的方程為(x－1)2＋y2＝5. 由直線l：y＝kx＋m與橢圓M只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，① 所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2.② 由直線l：y＝kx＋m與N只有一個(gè)公共點(diǎn)，得＝， 即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③ 將②代入③得km＝1，④ 由②，④且k>0，得：

24、k＝，m＝2. 所以直線方程為：y＝x＋2.6分 (2)將k＝，m＝2代入①可得A， 又過切點(diǎn)B的半徑所在的直線l′為：y＝－2x＋2，所以得交點(diǎn)B(0,2)，設(shè)P(x，y)，因?yàn)椋?， 則＝8，化簡(jiǎn)得：7x＋7y＋16x0－20y0＋22＝0，⑤ 又P(x，y)滿足x＋y－2x0＝4，⑥ 將⑤－7×⑥得：3x0－2y0＋5＝0，即y0＝.⑦ 將⑦代入⑥得：13x＋22x0＋9＝0，解得x0＝－1或x0＝－， 所以P(－1,1)或P.14分 B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·泰州中學(xué)高三摸底考試)已知橢圓Γ：＋y2＝1. (1)橢圓Γ的短軸端點(diǎn)分別

25、為A，B(如圖4)，直線AM，BM分別與橢圓Γ交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M滿足m≠0，且m≠±. ①證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)； ②若△BME面積是△AMF面積的5倍，求m的值． (2)若圓O：x2＋y2＝4.l1，l2是過點(diǎn)P(0，－1)的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)1交圓O于T，R兩點(diǎn)，l2交橢圓Γ于另一點(diǎn)Q.求△TRQ面積取最大值時(shí)直線l1的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172282】 圖4 [解]　(1)①因?yàn)锳(0,1)，B(0，－1)，M，且m≠0，∴直線AM的斜率為k1＝－，直線BM的斜率為k2＝， ∴直線AM的方程為y＝－x＋1，直線BM的方程為y＝x－1， 由得

26、(m2＋1)x2－4mx＝0， ∴x＝0，x＝，∴E， 由得(m2＋9)x2－12mx＝0， ∴x＝0或x＝，∴F； 據(jù)已知m≠0，m2≠3， ∴直線EF的斜率 k＝＝＝－， ∴直線EF的方程為y－＝－， 令x＝0，得y＝2， ∴EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)． ②S△AMF＝MA·MFsin ∠AMF， S△BME＝MB·MEsin ∠BME，∠AMF＝∠BME， 5S△AMF＝S△BME，∴5MA·MF＝MB·ME， ∴＝， ∴＝. ∵m≠0， ∴整理方程得＝－1，即(m2－3)(m2－1)＝0， 又有m≠±，∴m2－3≠0，∴m2＝1，∴m＝±1為所求.8

27、分 (2)因?yàn)橹本€l1⊥l2，且都過點(diǎn)P(0，－1)，所以設(shè)直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0， 直線l2：y＝－x－1，即x＋ky＋k＝0， 所以圓心(0,0)到直線l1：y＝kx－1，即kx－y－1＝0的距離d＝， 所以直線l1被圓x2＋y2＝4所截的弦 TR＝2＝； 由得k2x2＋4x2＋8kx＝0， 所以xQ＋xp＝－，所以QP＝＝， 所以S△TRQ＝QP·TR＝＝≤＝， 當(dāng)＝，即k2＝，解得k＝±時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí)直線l1：y＝±x－1.16分 2．(2017·蘇北四市期末)如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，

28、左頂點(diǎn)為A(－4,0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E. 圖5 (1)求橢圓C的方程； (2)已知點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由； (3)若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，求的最小值． [解]　(1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A(－4,0)，所以a＝4， 又e＝，所以c＝2，b2＝a2－c2＝12， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)直線l的方程為y＝k(x＋4)，由消元得，＋＝1. 化簡(jiǎn)得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，所以x1＝－4，x2

29、＝.8分 當(dāng)x＝時(shí)，y＝k＝，所以D. 因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)， 所以P的坐標(biāo)為，kOP＝－(k≠0)， 直線l的方程為y＝k(x＋4)，令x＝0得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k)， 假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，則kOP·kEQ＝－1，即－·＝－1恒成立， 所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即 所以存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，且定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－3,0).12分 (3)因?yàn)镺M∥l，所以O(shè)M的方程可設(shè)為y＝kx， 由得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝±， 由OM∥l，得＝＝ ＝＝· ＝≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝即k＝±時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)k＝±時(shí)，的最小值為2.16分