新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第10節(jié) 導數(shù)的概念及運算學案 文 北師大版

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1、 第十節(jié)　導數(shù)的概念及運算 [考綱傳真]　1.了解導數(shù)概念的實際背景.2.通過函數(shù)圖像直觀理解導數(shù)的幾何意義.3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)． (對應學生用書第30頁) [基礎知識填充] 1．導數(shù)與導函數(shù)的概念 (1)當x1趨于x0，即Δx趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值，那么這個值就是函數(shù)y＝f(x)在x0點的瞬時變化率．在數(shù)學中，稱瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在x0點的導數(shù)，通常用符號f′(x0)表示，記作f′(x0)＝

2、 ＝ . (2)如果一個函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的每一點x處都有導數(shù)，導數(shù)值記為f′(x)：f′(x)＝ ，則f′(x)是關于x的函數(shù)，稱f′(x)為f(x)的導函數(shù)，通常也簡稱為導數(shù)． 2．導數(shù)的幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導函數(shù) y＝c(c為常數(shù)) y′＝0 y＝xα(α∈常數(shù)) y′＝αxα－1 y＝sin x y′＝cos_x y＝cos x y′＝－sin

3、_x y＝ex y′＝ex y＝ax(a＞0，a≠1) y′＝axln_a y＝ln x y′＝ y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝ y＝tan x y′＝ y＝cot x y′＝－ 4．導數(shù)的運算法則 若f′(x)，g′(x)存在，則有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． [知識拓展] 1．曲線y＝f(x)“在點P(x0，y0)處的切線”與“過點P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點，而后者P

4、(x0，y0)不一定為切點． 2．直線與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相切只有一個公共點；直線與非二次曲線相切，公共點不一定只有一個． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)f′(x0)與(f(x0))′表示的意義相同．(　　) (2)求f′(x0)時，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　) (3)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點．(　　) (4)若f(a)＝a3＋2ax－x2，則f′(a)＝3a2＋2x.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)有一機器人的運

5、動方程為s(t)＝t2＋(t是時間，s是位移)，則該機器人在時刻t＝2時的瞬時速度為(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． D　[由題意知，機器人的速度方程為v(t)＝s′(t)＝2t－，故當t＝2時，機器人的瞬時速度為v(2)＝2×2－＝.]　 3．(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(0)的值為________． 3　[因為f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)曲線y＝x2＋在

6、點(1,2)處的切線方程為________． x－y＋1＝0　[∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1， 即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k＝1， ∴切線方程為y－2＝x－1， 即x－y＋1＝0.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋x＋1的圖像在點(1，f(1))處的切線過點(2,7)，則a＝________. 1　[∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又f(1)＝a＋2， ∴切線方程為y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切線過點(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得a＝1.] (對應學生用書第31

7、頁) 導數(shù)的計算 　求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)y＝x－sincos； (4)y＝. 【導學號：00090059】 [解]　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex·＝ex. (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. (3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x. (4)y′＝′＝ ＝－. [規(guī)律方法]　1.熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算法則是導數(shù)計算的前提，求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量提高運

8、算速度，減少差錯． 2．如函數(shù)為根式形式，可先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導． [變式訓練1]　(1)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，則f′(5)＝(　　) A．2　　 B．4 C．6 D．8 (2)(20xx·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a為實數(shù)，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．若f′(1)＝3，則a的值為________． (1)C　(2)3　[(1)f′(x)＝6x＋2f′(2)， 令x＝2，得f′(2)＝－12. 再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.

9、(2)f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.] 導數(shù)的幾何意義 角度1　求切線方程 　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程． [思路點撥]　(1)點P(2,4)是切點，先利用導數(shù)求切線斜率，再利用點斜式寫出切線方程； (2)點P(2,4)不一定是切點，先設切點坐標為，由此求出切線方程，再把點P(2,4)代入切線方程求x0. [解]　(1)根據(jù)已知得點P(2,4)是切點且y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切

10、線的斜率為y′＝4， ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A， 則切線的斜率為y′＝x， ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. ∵點P(2,4)在切線上， ∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0， ∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 角度2　求切點坐標 　若曲

11、線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． (e，e)　[由題意得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設P(m，n)，則1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標為(e，e)．] 角度3　求參數(shù)的值 　(1)已知直線y＝x＋b與曲線y＝－x＋ln x相切，則b的值為(　　) A．2　　　　 B．－1 C．－ D．1 (2)(20xx·西寧復習檢測(一))已知曲線y＝在點(3,2)處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝(　　) A．－2　　　　 B．2 C

12、．－　　　　 D． (1)B　(2)A　[(1)設切點坐標為(x0，y0)， y′＝－＋， 則y′|x＝x0＝－＋，由－＋＝得x0＝1，切點坐標為，又切點在直線y＝x＋b上，故－＝＋b，得b＝－1. (2)由y′＝得曲線在點(3,2)處的切線斜率為－，又切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a＝－2，故選A．] [規(guī)律方法]　1.導數(shù)f′(x0)的幾何意義就是函數(shù)y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線的斜率，切點既在曲線上，又在切線上，切線有可能和曲線還有其他的公共點． 2．曲線在點P處的切線是以點P為切點，曲線過點P的切線則點P不一定是切點，此時應先設出切點坐標． 易錯警示：當曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線垂直于x軸時，函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在，切線方程是x＝x0.