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均值不等式歸納總結(jié)
1. (1)若，則 (2)若，則 （當且僅當時取“=”）
2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）
(3)若，則 (當且僅當時取“=”）
3.若，則 (當且僅當時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）
4.若，則 (當且僅當時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）
5.若，則（當且僅當時取“=”）
(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．
(2)求
2、最值的條件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用
應(yīng)用一：求最值
例1：求下列函數(shù)的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解題技巧
技巧一：湊項
例. 已知，求函數(shù)的最大值。
技巧二：湊系數(shù)
例. 當時，求的最大值。
變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。
技巧三： 分離（或換元）
例. 求的值域。
技巧四：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。
例：求函數(shù)的值域。
練習1．求下列函
3、數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.
（1） （2） (3)
2． 已知，求函數(shù)的最大值.；
3．，求函數(shù)的最大值.
條件求最值
1.若實數(shù)滿足，則的最小值是 .
變式：若，求的最小值.并求x,y的值
技巧五：整體代換
多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
2.已知，且，求的最小值。
變式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧六
已知x，y為正實數(shù)，且x 2＋＝1，求x的最大值.
下面將x，分別看成兩個因式：
技巧七：
已知a，b為正實數(shù)，2b＋
4、ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.
分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式。
變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。
技巧八.取平方
1、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝＋的最值.
變式: 求函數(shù)的最大值。
應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式
1．已知為兩兩不相等的實數(shù)，求證：
1） 正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
2） 已知a、b、c，且。求證：
應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題
例：已知且，求使不等式恒成立的實數(shù)的取值范圍。
應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：
例：若，則的大小關(guān)系是 .
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均值不等式
