2、,過「2作F.ALPI,垂足為A,下列結(jié)論正確的是（ ）
A. /在定直線上 B.為定值
S
%IF\F2
C. |。4|為定值 D. |AP|為定值
二、填空題.
3. 已知拋物線C:y2=2px的準線為x = -1,若M為。上的一個動點，設點N的坐標為（3,0）,
貝聽枷|的最小值為 .
2 2
4. 已知橢圓C:|r + |? = l（6z>/?>0）的右焦點％的坐標為（2,0）,鳥為橢圓。的左焦點，F(xiàn)為橢
圓上一點，若tan￡F；PE= —, Sv街灼=6，則橢圓C方程為 ?
7【答案】⑴⑵於土而（3）.
2 2 /T
【解析】（1） .??雙曲線%一
3、% =">。）的漸近線方程為y = ±欄，左焦點為刊-2,0）,
C/i c? 3
。=2
° =巫 ，解得 c=2,。=右，b=l,
a 3
c 1 1
由①②得KpA,Kpa,= —=—=-—，所以疽=2 ,
x() _ ci ci 2
=a2 +b2
雙曲線的標準方程為
(2)設直線/的方程為x-2 = my , A (xi, yi), B (尤2,叫),
uum uuu
v AQ = 2QB, :. = -2y2 ①，
x-2 = my
聯(lián)立直線與雙曲線方程］尤2 ，化簡整理，可得（矛—3頂+4時+ 1 =0 ,
——y2=l
3 7
由韋達定理
4、，可得乂+力=、^②，乂力=二_7③'
rrT _3 _3
由①②③得m = +
1
此時檢驗得V>0,
直線/方程為' =±而3 —2）?
8.【答案】⑴Z=l； （2）證明見解析.
【解析】（1）設 P（Xo，%）, A（—。，。），6（。,。），
因為直線PA,與PA.的斜率之積為-?，
所以匕「犬外 =旦」.旦」=書』①,
_ x0+a xQ-a x^-a
又￡+就=1,所以 啟心過②，
a a
r2
所以橢圓C的方程為土+尸=1.
2
V 2 =
(2)由(I"*，=，得(1 + 2^2)x2 -+ 2k2-2 = 0,
y =燈尤_1)
5、4爐 2k2 -2
設弓3，乂)，H(x2,y2)9 有吐+花=浦尸，［ + 2k2 '
UUD UUH
EG EH
X2)+
25
16
工內(nèi) +x2)+||+
+
7
16
(5 、
- + k2
3+互)+言+妃
= (W)
Ik2-2
1 + 2化 2
注、
4好
\ + 2k2
+ "
16
UUIU UUU 7
??? EG?EH為定值-—
16
9 .【答案】(1) —+/=1; (2) y = ^x +必或 y =-還 X —必.
2 6 3 6 3
【解析】(1)設切線方程為、=獨+1,則l°-°+1L^l,解得c±i
6、,
VFTT 2
所以切線方程為y = ±x+l,它們與x軸的交點為(-1,0)和(1,0),
2 2
設橢圓方程為二+吝=1,橢圓過點A(0,l),貝"=1, a =』b2+c2= 后〒=也,
a b」
y2
所以橢圓方程為土+尸=1.
2
(2)由(1)知 §(1,0),
直線枷斜率一定存在，設其方程為y = k(x+2)且化尹0,
設M(m)，Ng,%)，記尸(-2,0)，
顯然乂，，2同號，
y =上(工+ 2)
由\ x2 ，得(1 + 2爐)尤2 + 8爐尤 + 2(4好-1) = 0,
—+ y2 =1
〔2
,=64爐—8（1+ 2爐）
7、（4妒—1）= 8（1 —2爐）〉0 ,
2 2
8好
Xi + Xy = ~ ,
1 2 1+2妒
x}x2 =
2（4妒一1）
1 + 2妃
§ F、MN = f?PM -S\ &PN
f2pm
］ 33 /
=5同尸1伯1 一力|=項9 f 2）| = 3閔J（'l +尤2）2 -4尤］尤2
8（4必-1） 也 冬（1 — 2好）
（1 + 2必尸 i + 2k2 ~ \ （1 + 2必滬
設"引1_2土）,設 1 + 2砂=秫，則 me （1,2）,
（1 + 2婦）~
所以 y=（m-l）（2-m）小2+3m-2
2m2
2m2
+ =），
8、m
再設- = t,
m
則捉（］1），
所以 y = -t2+-t-- = -（f--）2+ —
2 2 4 16
時，Xnax
_ 1
= ,
16
3^2
,
所以6灼MN取得最大值為3^2 4
業(yè)匕時直線方程為 y = ± —（x + 2）, 即 y = —x + —y = x- —
6 6 3 6 3
r2
橢圓E的方程膏+寸=1.
（2）①當點P在尤軸上時，由對稱性不妨設點P（-2,0）,此時兩點重合，|斯|=懼8| = 2-
PF\
-PF?
丁
bf2
9、
\AF}\=\PF2\ = 2 + 43 9 所以
=14 ；
②當點P不在工軸上時，由對稱性不妨設戶3。,為）（為＞0）,人（而,乂）,3（花,力），
當X。比土的時，直線PA:】 一
Xq + J3
聯(lián)立方程組v
尤2+4,2 =4
x=X+g y_ 后
y. ,消］侍
xn + a/3
y
〔>。 7
V
-V3 +4y2_4 = 0,
且蚌+4云=4,所以孕典—至箜Wly_i = o,
%
由韋達定理：豚=_并夸說，所以"-并贏,
同理力=——，則
7 — 2】3x（）
PFi
= |a| + |a = 7 + 2
10、&0 + 7 —2 企
\
PF?
.—1 .
PF\
—1 2
PF\
-+ ?
PL
/
bf2
—1 9
—13?
AR
bf2
= 14,
當x°=±V5時，不妨設pf>/3,-
\ 2
PR
._i_.
PF2
bf2
是定值，為14.
綜上,
11.【答案】（1） M的坐標為（4,4）, C的方程為＞2=牝；（2）直線/過定點（0,-4）.
【解析】（1）拋物線C:y2=2px的準線x = -J
于是得\MF\ — x0 + — = ^-,解得 x0=2p ,
而點M在C上，即16 = 4p2,解得p = ±
11、2,
所以肱的坐標為（4,4）, C的方程為y2=4x?
（2）設24（而,乂）,8（工2，、2），直線/的方程為工=吵+ 〃,
X "+ 〃消去尤并整理得,2_4"^一4〃 = 0,
y =4工
貝!)/ = 16(，7?2+〃)>0, V] +力=4m , y{y2 =一4〃,
因k k _乂一4 必―4_ 乂一4 力_4_ 4
因此，力+4
4 4
化簡得y{y2 +4（y +力）=。，即〃 = 4m，代入/方程得x = my + 4m ,即x—m（y+4）= 0,則直線I
過定點（0,-4）,
所以直線/過定點（0,-4）.
2
12 .【答案】(1) —-
12、/=1； (2)存在，直線/為y = 0或—16y + 3 = 0.
4
【解析】（1）由題設，c - ^5 ,
又A（2>/2J）在雙曲線上，.?.<
疽=4
9
b2=\
a2 +b2 =5
8 1 ，可得
=1
M2 b2
r2
.??雙曲線C的方程為廠y =1.
(2)由(1)知：8(0,1),
直線/的斜率一定存在，當直線斜率為。時，直線l:y = 0,符合題意;
3
設直線/為 y = R（x + —）,心（孔乂），N（X2，、2），
聯(lián)立雙曲線方程可得(1-4^2 )x2-Uk2x -(9 k2 +4) = 0,
由題設
. \2k2 弘
13、2+4 niI /z c、 3k
. . X] + = T， 為工2 = ~ , 貝U Vi + V9 — KyXy + + 3) — ~
1 2 1 — 4 好 1 2 1_4好 力刀 \ 1 2 / ]_快2
要使△BMV構(gòu)成以劇V為頂角的等腰三角形，貝\\\BM\=\BN\,
初V的中點坐標為（
6好 3k
1—4好 ‘2（1 —4妒）
），
3k ]
可得C即=_2,
.1_ 2（1_4必）_ _*+3S2
? , 一 Z 一 6 爐 一 12?
1 — 4尸
當k = -2時，zlvO,不合題意,
所以直線/:2x—16y + 3
14、= O,
..?存在直線I為y = O或2x-16y + 3 = 0，使△BMV構(gòu)成以劇V為頂角的等腰三角形.
2 2 2 2
5.已知橢圓C] : — +-^-y = 1(%〉b[〉0)與雙曲線C2 ： Y ^~2 = 1(。2〉。，2 ＞。)有公共的焦點R E，
ax a2 b2
設P是GC的-個交點，G與G的離心率分別是*2,若即嚀則g的最小值為
三、解答題.
2 2
6.在平面直角坐標系iQy中，設雙曲線G以橢圓。2：十+ ； = 1長軸的兩個端點為焦點，以G的
焦點為頂點.
(1) 求q的標準方程；
(2) 過(0,1)的直線Z與G相切于右支，且與G交于點M，N
15、 ,求VO" 的面積.
7.已知雙曲線§ = l(M〉0)的漸近線方程為y = 土g,左焦點為尸(-2,0).
(1) 求雙曲線C的標準方程；
ULUll UUU
(2) 過點。(2, 0)作直線/與雙曲線C右支交于A, B兩點，若AQ = 2QB,求直線/的方程.
8.己知吊、總為橢圓C：E + y2=i（o>i）的左右頂點，P為橢圓C上異于人、總的點，直線PA與
尸盅的斜率之積為-
UUIU UUU
（1）求橢圓C的方程;
（2）已知定點若直線y = A（x-1）（*。0）與C相交于G、H兩點，求證：EG ? EH為定
值.
9.過點A（O,1）作圓+ 的切線，兩切線
16、分別與X軸交于點4,「2頃在「2的左邊），以4,
「2為焦點的橢圓C經(jīng)過點A.
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 若經(jīng)過點(-2,0)的直線/與橢圓C交于M, N兩點，當VLMN的面積取得最大值時，求
直線/的方程.
10.已知橢圓&§ + = = l(Q>b>0)經(jīng)過點且焦距為2右.
(1) 求橢圓E的方程；
(2) P為橢圓E上一點，F(xiàn)i,凡分別為橢圓E的左、右焦點，射線FE, PR分別交橢圓E于點
. -4-?
閣
期
十
旺1
試問
是否為定值？若是,
求出該定值;
若不是，請說明理由.
11.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為
17、F ,點M(x°，4)在C上，且|禎|=里.
(1) 求點M的坐標及C的方程；
(2) 設動直線/與C相交于兩點，且直線M4與MB的斜率互為倒數(shù)，試問直線/是否恒過
定點？若過，求出該點坐標；若不過，請說明理由.
12.
2 2
已知雙曲線C：二-與
cr
=1(。>0,/?〉0)過點人(2扼,1),焦距為2右，B(O,b).
(1) 求雙曲線C的方程；
，3 \
(2) 是否存在過點。-—,0的直線/與雙曲線。交于N兩點，使構(gòu)成以劇V為
\ 2 >
頂角的等腰三角形？若存在，求出所有直線/的方程；若不存在，請說明理由.
參考答案
一、多選題.
1.【
18、答案】ACD
【解析】設橢圓的左焦點為礦,貝BF\,
所以|時| +皿|=|時| + |時，|=6為定值，A正確;
的周長為|A3| + |4/q + |B/q,因為|AP| + |3N| 為定值 6,
所以|AB|的范圍是（0,6）,所以VABF的周長的范圍是（6,12）, B錯誤;
將"斗 與橢圓方程聯(lián)立，可解得A（-孕,g）, B嶺，號）,
2=0,
l uum uun l 3x/3 l
又因為 FgO), :. AF BF = (46 + ^)(V6 -
所以VABF為直角三角形，C正確;
將"1與橢圓方程聯(lián)立，解得A（->/6J） , 所以Svabf='x2$x
19、\ = 4^, D正確,
故選ACD.
2.【答案】AC
【解析】設△捋￡的內(nèi)切圓在鳥g上的切點分別為D,C,B,
設切點8的坐標為研仞,0）,
因為 |評 |-"句=| 叫+|M|-|PC|-|C%| = |M|-|任|
= —|B/s| =（c + m） —（c、—m） = 2m = 2a ,
所以。=m ,
因為內(nèi)切圓圓心為/,所以IBLx軸，
所以內(nèi)切圓圓心/在直線x = a_E,故A正確；
因為=1（"川+ "句+餌川）' = ［（"川+ "川+ 2。）,（〃為內(nèi)切圓的半徑）,
Sg =!|gE|r = ：x2cxr = c7,
s
所以仝也不為定值，故B
20、錯誤；
F2A1PI ,垂足為 A,設 F2AI PF[ = E ,
PA為CRPF?的角平分線，
△PEg為等腰三角形，|明=|明|，|化| = |"|，
因為|捋|—|P§|=|留+|瑋|—”句=|瑋| = 2。，
在VEF}F2中，。4為中位線，
所以網(wǎng)=牛川=。，所以|Q4|為定值，故C正確;
因為A為圓尸+寸=疽在y軸右側(cè)上的動點，
2 2
P在雙曲線二-土 = 1右支上的一個動點，
（T b_
結(jié)合圖象易知|AP|不是定值，
二、填空題.
3.【答案】2^2
【解析】由題意知，p = 2,拋物線C:y2 =4x .
設 Af （x0,y0）（x
21、0 >0）,由題意知 y} =4x0,
貝!| |ACV| =（尤（）一3）+云=（尤（）一3）+4x（）=（x（）—1） +8 > 8,
當工。=1時，|MN「取得最小值8, :. \MN\的最小值為2&
y
12
=1
V2
4.【答案】—+
16
4 4 3
又tanm；，則sinNg；, c5y,
故5睥旺=}網(wǎng)明川x： = 6, .?.|"||PR=15,
則PS灼-16
2x15
2 ?
PF】 +P/V=34,
則(|Pg| + |P§|)2 =\PF^ +|P/^|2 +2|Pf；||P^| = 64 ,.
22、?.2i = 8,q = 4,
貝 lj/=16 — 4 = 12,
2 9 2 2
故橢圓。方程為土 +匕=1,故答案為E +匕=1.
16 12 16 12
5.【答案】雖
2
【解析】設』咿2 = 0 , |*%| = 2c,
Q c'2 = ci； _ b「= a； + b； , /. q《_ ci； = b： + b；,
Q|P*|+|PE| = 2q, \PF}\-\PF2\ = 2a29
令|"|>”烏|,?.」" -ax +a2, |PZs| = q _%，
「柄I網(wǎng)=酒f =* +M ‘則cos。=駕需屎產(chǎn)=喪食，
當 AFxPF2 =—時，cos0
23、= ~ =L,得b； =3b；,
1 2 3 "+房 2
1 3
貝lj q； —c2= 3c2 — 3"； , ― + ― = 4 ；
4 e；
4 + 4 = 4>2 (當且僅當M = 即e2=^ 時取等號)，
el e\ ]/ ex e\ q e2
解得心萼，即烏勺的最小值為手.
y
三、解答題.
2
6.【答案】⑴"—十=1；
⑵普
【解析】（1）由題意得：雙曲線c = 2,q = 1,則屏=3,
2
所以雙曲線的方程為J_fl.
（2）由題意設過（0,1）直線/方程為、=奴
24、+ 1,
與雙曲線方程聯(lián)立｛
y = kx + l
,2 ,得（3_必）尤2_2奴_4 = 0,
T"
9
X"
因為直線/與雙曲線相切,
所以』=4化2+16（3—必） = 0,解得k = d
因為直線/與右支相切，所以直線/方程為y = -2尤+ 1,
與橢圓方程聯(lián)立］
y = -2x +1
v-2 y2 9 得 19J — 16工—8 = 0 ,
—+ ^- = 1
〔4 3
16 8
設肱（而,乂）,》32必），則條+花=訂，扣工2=-仍，
19 19
MN
=Jl +『X]-邑 I = X ~~，
原點到直線/的距離為旦=圣,
所以VQMV的面積為Svomn ：:
2
皿【答案】⑴彳坷」；⑵是，該定值為M.
【解析】（1）依題意c2=a2-b2=39
1 3
又仃礦、聯(lián)立解得〃 =2"，
（新教材）2021-2022學年上學期高二寒假鞏固練習5 圓錐曲線（二） 學生版
