物理第一章 運動的描述 勻變速直線運動研究 1.3 運動圖象 追及相遇問題

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1、第3講運動圖象追及相遇問題 【知識導(dǎo)圖】位移速度靜止勻速直線勻速直線勻變速直線不小于最小初始間距【微點撥】1.識圖常見錯誤類型:(1)錯誤地認(rèn)為圖象就是質(zhì)點的運動軌跡。(2)錯將圖線的交點都當(dāng)成相遇,而v-t圖線的交點表示該時刻速度相同。(3)錯誤理解圖線斜率的意義,比如認(rèn)為v-t圖象斜率為正,則質(zhì)點一定做加速運動,斜率為負(fù),則質(zhì)點一定做減速運動。2.追及相遇問題:分兩類,一類為一定能追上,直接列位移方程,找位移關(guān)系;另一類為可能追上,需根據(jù)速度關(guān)系判斷能否追上?！净垩奂m錯】(1)位移時間圖象如果是曲線,則物體做曲線運動。糾錯:_位移時間圖象中的位移只有正負(fù),因此只能表示正負(fù)兩個方向的運動,只

2、能是直線運動。(2)速度時間圖象如果是曲線,則物體做曲線運動。糾錯:_速度時間圖象中速度只有正負(fù)兩個方向,因此只能描述直線運動。(3)x-t圖象圍成的面積表示該過程物體的位移。糾錯:_x-t圖象圍成的面積沒有物理意義,v-t圖象圍成的面積表示位移。(4)兩物體的v-t圖象圍成的面積相等,則兩物體一定相遇。糾錯:_v-t圖象不能反映物體的出發(fā)位置,因此圍成的面積相等,只能是位移相等,若出發(fā)位置不同,也不會相遇。(5)兩物體在追及過程中,物體之間的距離總是逐漸減小的。糾錯:_兩物體追及過程中,它們之間的距離大小與速度有關(guān),若被追的物體速度大于追的物體,它們之間的距離在逐漸變大,反之,它們之間的距離

3、逐漸減小?？键c1運動圖象的理解及應(yīng)用【典題探究】 【典例1】一質(zhì)點沿x軸做直線運動,其v-t圖象如圖所示。質(zhì)點在t=0時位于x=5 m處,開始沿x軸正向運動。當(dāng)t=8 s時,質(zhì)點在x軸上的位置為導(dǎo)學(xué)號04450012()A.x=3 m B.x=8 m C.x=9 m D.x=14 m【解析】選B。圖象的“面積”大小等于位移大小,圖象在時間軸上方“面積”表示的位移為正,圖象在時間軸下方“面積”表示的位移為負(fù),故8 s時位移為:s= =3 m,由于質(zhì)點在t=0時位于x=5 m處,故當(dāng)t=8 s時,質(zhì)點在x軸上的位置為8 m,故A、C、D錯誤,B正確。22 412 4 m m22【通關(guān)秘籍】 1.消

4、除對運動學(xué)圖象的“誤會”:(1)無論x-t圖象、v-t圖象是直線還是曲線,所描述的運動情況都是直線運動,即x-t圖象、v-t圖象都不是物體運動的軌跡。(2)x-t圖象、v-t圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關(guān)系決定,圖象中各點的坐標(biāo)值x、v與t一一對應(yīng)。2.圖象分析標(biāo)準(zhǔn)化程序:【考點沖關(guān)】 1.(多選)如圖,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置-時間(x-t)圖線。由圖可知()A.在時刻t1,a車追上b車B.在時刻t2,a、b兩車運動方向相反C.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率先減小后增加D.在t1到t2這段時間內(nèi),b車的速率一直比a車的大【解析】選B、C。在時刻t1,a、

5、b兩車的位置坐標(biāo)相同,開始a的位移大于b的位移,知b追上a,故A錯誤。在時刻t2,a的位移增大,b的位移減小,知兩車運動方向相反,故B正確。圖線切線的斜率表示速度,在t1到t2這段時間內(nèi),b車圖線斜率先減小后增大,則b車的速率先減小后增加,故C正確。在t1到t2這段時間內(nèi),b圖線的斜率不是一直大于a圖線的斜率,所以b車的速率不是一直比a車大,故D錯誤。2.如圖所示的位移時間(x-t)圖象和速度時間(v-t)圖象中給出四條圖線,甲、乙、丙、丁代表四輛車由同一地點向同一方向運動的情況,則下列說法正確的是 ()A.甲車做直線運動,乙車做曲線運動B.0t1時間內(nèi),甲車通過的路程大于乙車通過的路程C.0

6、t2時間內(nèi),丙、丁兩車在t2時刻相距最遠(yuǎn)D.0t2時間內(nèi),丙、丁兩車的平均速度相等【解析】選C。在x-t圖象中表示的是做直線運動的物體的位移隨時間的變化情況,而不是物體運動的軌跡。由于甲、乙兩車在0t1時間內(nèi)做單向的直線運動,故在這段時間內(nèi)兩車通過的位移和路程均相等,A、B均錯。在v-t圖象中,t2時刻丙、丁兩車的速度相等,故兩車相距最遠(yuǎn),C正確。由圖線可知,0t2時間內(nèi)丙車的位移小于丁車的位移,故丙車的平均速度小于丁車的平均速度,D錯誤?！炯庸逃?xùn)練】(多選)(2018興慶模擬)物體在x軸上做直線運動,則上下兩圖對應(yīng)關(guān)系正確的是(圖中F表示物體所受的合外力,a表示物體的加速度,v表示物體的速度

7、,x表示物體的位移,C、D圖中曲線為拋物線)() 【解析】選B、D。對于F-t圖象可以看出,力F隨時間成線性關(guān)系,根據(jù)牛頓第二定律得:a= ,所以加速度a也隨時間成線性關(guān)系,在前半個周期內(nèi)F為正值,加速度也為正值,故A錯誤。對于a-t圖象可以看出前半段時間加速度恒定,后半段時間加速度反向大小恒定,對于v-t圖象可以看出前半段時間圖象是直線,斜率是正值,后半Fm段時間圖象也是直線,斜率是負(fù)值,速度時間圖象,其斜率代表物體的加速度,故B正確。x-t圖象,其斜率代表物體的速度,由x-t圖象斜率看出,物體的速度增大,而v-t圖象的速度在減小,故C錯誤。x-t圖象,其斜率代表物體的速度,對于x-t圖象可

8、以看出整段時間圖象的斜率增大,說明物體的速度增大,若速度均勻增大,加速度不變,故D正確?？键c2追及和相遇問題 【典題探究】 【典例2】(多選)(2016全國卷)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛,其v-t圖象如圖所示。已知兩車在t=3 s時并排行駛,則 導(dǎo)學(xué)號04450013()A.在t=1 s時,甲車在乙車后B.在t=0時,甲車在乙車前7.5 mC.兩車另一次并排行駛的時刻是t=2 sD.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m【題眼直擊】(1)v-t圖象。(2)t=3 s時并排行駛?！窘馕觥窟xB、D。據(jù)圖象可知,t=1 s到t=3 s,甲和乙運動位移都等于40 m,因此在t=1

9、 s時兩車另一次并排行駛,A、C錯,D對;t=0到t=1 s,乙的位移為12.5 m,甲的位移為5 m,在t=0時,甲車在乙車前7.5 m,B對。故選B、D?！具w移訓(xùn)練】 遷移1:勻速追勻加速一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車,在跑到距汽車25 m處時,綠燈亮了,汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動前進(jìn),則()A.人能追上公共汽車,追趕過程中人跑了36 mB.人不能追上公共汽車,人、車最近距離為7 mC.人能追上公共汽車,追上車前人共跑了43 mD.人不能追上公共汽車,且車開動后,人車距離越來越遠(yuǎn)【解析】選B。在跑到距汽車25 m處時,綠燈亮了,汽車以1.0 m/s

10、2的加速度勻加速啟動前進(jìn),當(dāng)汽車加速到6.0 m/s時二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時間t=6 s,人運動距離為66 m=36 m,汽車運動距離為18 m,二者最近距離為18 m+25 m-36 m=7 m,A、C錯誤,B正確;人不能追上公共汽車,且車開動后,人車距離先減小后增大,D錯誤。遷移2:多種方法解決勻減速追勻加速在水平軌道上有兩列火車A和B相距x,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動,兩車運動方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度v0滿足什么條件。(可用多種方法)【解析】兩車不相撞的臨界條件是,A

11、車追上B車時其速度與B車相等。設(shè)A、B兩車從相距x到A車追上B車時,A車的位移為xA、末速度為vA、所用時間為t;B車的位移為xB、末速度為vB,運動過程如圖所示,常見的方法有三種:(一)分析法利用位移公式、速度公式求解,對A車有xA=v0t+ (-2a)t2,vA=v0+(-2a)t對B車有xB= at2,vB=at兩車位移關(guān)系有x=xA-xB追上時,兩車不相撞的臨界條件是vA=vB聯(lián)立以上各式解得v0= ,故要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0 。12126ax6ax(二)函數(shù)法利用判別式求解,由解法一可知xA=x+xB,即v0t+ (-2a)t2=x+ at2整理得3at2

12、-2v0t+2x=0這是一個關(guān)于時間t的一元二次方程,當(dāng)根的判別式=(-2v0)2-43a2x=0時,兩車剛好不相撞,所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0 。 12126ax(三)圖象法利用v-t圖象求解,先作A、B兩車的v-t圖象,如圖所示,設(shè)經(jīng)過t時間兩車剛好不相撞,則對A車有vA=v=v0-2at對B車有vB=v=at以上兩式聯(lián)立解得t= ,經(jīng)t時間兩車發(fā)生的位移之差為原來兩車間距離x,它可用圖中的陰影面積表示,由圖象可知x= v0t= v0 ,所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0 。答案:v0 0v3a1212200vv3a6a6ax6ax遷移3:與

13、圖象結(jié)合的追及相遇問題(多選)入冬以來,全國多地多次發(fā)生霧霾天氣,能見度不足20 m,在這樣的惡劣天氣中,甲、乙兩汽車在一條平直的單行道上,乙在前、甲在后同向行駛。某時刻兩車司機(jī)同時聽到前方有事故發(fā)生的警笛提示,同時開始剎車。兩輛車剎車時的v-t圖象如圖,則導(dǎo)學(xué)號04450014()A.若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定小于100 mB.若兩車發(fā)生碰撞,開始剎車時兩輛車的間距一定小于200 mC.若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20 s以內(nèi)的某時刻發(fā)生相撞D.若兩車發(fā)生碰撞,則一定是在剎車后20 s以后的某時刻發(fā)生相撞【解析】選A、C。由圖可知,兩車速度相等經(jīng)歷的時間為20 s,甲車的

14、加速度a1= m/s2=-1 m/s2,乙車的加速度a2= m/s2=-0.5 m/s2,此時甲車的位移x甲=v甲t+ a1t2=2520 m- 1400 m=300 m,乙車的位移x乙=v乙t+ a2t2=1520 m- 0.5400 m=200 m,可知要不相撞,則兩車間的最小距離x=300 m-200 m2525153012121212=100 m,因為兩車發(fā)生碰撞,則兩車的距離小于100 m,故A正確,B錯誤;因為速度相等后,若不相撞,兩者的距離又逐漸增大,可知兩輛車一定是在剎車后的20 s之內(nèi)的某時刻發(fā)生相撞的,故C正確,D錯誤。【通關(guān)秘籍】 求解追及和相遇問題的兩點技巧【加固訓(xùn)練】

15、A、B兩車在同一直線上運動,A在后,B在前。當(dāng)它們相距x0=8 m時,A在水平拉力和摩擦力的作用下,正以vA=8 m/s的速度向右做勻速運動,而物體B此時速度vB=10 m/s向右,它在摩擦力作用下以a=-2 m/s2做勻減速運動,求:(1)A未追上B之前,兩車的最遠(yuǎn)距離為多少?(2)經(jīng)過多長時間A追上B?(3)若vA=3 m/s,其他條件不變,求經(jīng)過多長時間A追上B? 【解析】(1)設(shè)時間t1時兩車速度相同,此時相距最遠(yuǎn),則有vA=vB+at1代入數(shù)據(jù)解得t1=1 s兩車最遠(yuǎn)距離x=xB+x0-xA=vBt1+ at12+x0-vAt1= 101 m- 21 m+8 m-81 m=9 m。1

16、212(2)設(shè)A追上B時為t2由vAt2=vBt2+ at22+x0代入數(shù)據(jù)解得t2=4 s,B速度減為零的時間t0= s=5 s,可知此時B還未停止。 12102(3)B勻減速到停止的時間為:t0= s=5 s。在5秒內(nèi)A運動的位移:xA=vAt0=35 m=15 m在5秒內(nèi)B運動的位移:xB=vBt0+ at02=105 m- 252 m=25 m因為:xAxB+x0,即:B停止運動時,A還沒有追上B。1021212A追上B的時間為:t3=t0+ 答案:(1)9 m(2)4 s(3)11 sB0AAxxx25 8 155 s s 11 sv3 。勻變速直線運動規(guī)律的綜合應(yīng)用【經(jīng)典案例】(2

17、0分)(2018滄州模擬)現(xiàn)有A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛,A車在前,其速度vA=10 m/s,B車速度vB=30 m/s。因大霧能見度低,B車在距A車600 m時才發(fā)現(xiàn)A車,此時B車立即剎車,但B車要減速1 800 m才能夠停止。(1)求B車剎車后減速運動的加速度多大?(2)A車若仍按原速度前進(jìn),兩車是否會相撞?若會相撞,將在何時何地發(fā)生?(3)若B車剎車8 s后,A車以加速度a1=0.5 m/s2加速前進(jìn),問能否避免事故?若能夠避免,則兩車最近時相距多遠(yuǎn)? 【思維軌跡】 【規(guī)范解答】解:(1)設(shè)B車減速運動的加速度大小為a,有:0-vB2=-2ax1, (2分)代入數(shù)據(jù)解得:a=0.

18、25 m/s2。 (1分)(2)設(shè)B車減速t秒時兩車的速度相同,有:vB-at=vA (2分)解得t=80 s在此過程中B車前進(jìn)的位移為xB=vBt- at2=1 600 m(1分) 12A前進(jìn)位移為xA=vAt=800 m(1分)由于800 m+600 mxB,故不會發(fā)生撞車事故,此時x=xA+x-xB=232 m。(2分) 12【答題規(guī)則】規(guī)則1:把復(fù)雜問題拆解為簡單問題,分步處理本題研究對象有A、B兩車,可以分別研究運動過程。規(guī)則2:根據(jù)實際情況確定研究對象和研究過程之間的聯(lián)系在追及相遇問題中,速度關(guān)系是尋找碰與不碰的重要條件,若相遇則位移關(guān)系是核心關(guān)系。規(guī)則3:計算后要根據(jù)實際情況進(jìn)行物理過程的判斷部分問題根據(jù)數(shù)學(xué)計算可以得到結(jié)論,但有的數(shù)學(xué)解無物理意義,則需要舍掉。