物理第一章 直線運(yùn)動(dòng) 第3講 運(yùn)動(dòng)圖像、追及相遇問(wèn)題

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1、第3講運(yùn)動(dòng)圖像、追及相遇問(wèn)題知識(shí)梳理知識(shí)梳理一、運(yùn)動(dòng)圖像一、運(yùn)動(dòng)圖像1.x-t圖像和圖像和v-t圖像的比較圖像的比較 x-t圖像v-t圖像圖像示例 軸橫軸為時(shí)間t,縱軸為位移x橫軸為時(shí)間t,縱軸為速度v線傾斜直線表示勻速直線運(yùn)動(dòng)傾斜直線表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)斜率表示速度速度表示加速度加速度面積無(wú)實(shí)際意義圖線和時(shí)間軸圍成的面積表示位移位移,時(shí)間軸上方面積表示位移為正,下方面積表示位移為負(fù)縱截距表示初位置表示初速度特殊點(diǎn)拐點(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪环N運(yùn)動(dòng),交點(diǎn)表示相遇拐點(diǎn)表示從一種運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱硪环N運(yùn)動(dòng),交點(diǎn)表示速度相等2.a-t圖像圖像(1)圖像的意義(a)物理意義:反映加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。(b)圖線

2、斜率的意義:加速度隨時(shí)間的變化率。(c)圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”的意義:反映對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)的速度速度變化變化。(2)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的a-t圖像是一條與時(shí)間軸平行的直線一條與時(shí)間軸平行的直線。1.追及問(wèn)題的兩種類型追及問(wèn)題的兩種類型(1)落后者能追上前者兩者速度相等時(shí),相距最遠(yuǎn),追上時(shí),兩者處于同一同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。(2)落后者追不上前者,則當(dāng)兩者速度相等相等時(shí),兩者相距最近。二、追及相遇問(wèn)題二、追及相遇問(wèn)題2.相遇問(wèn)題相遇問(wèn)題相向運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于等于開(kāi)始時(shí)兩物體間距離時(shí)即相遇。 1.某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移x和時(shí)間t的關(guān)系如圖所示,那么該質(zhì)點(diǎn)在 3 s

3、 內(nèi)通過(guò)的路程是()A.3 mB.2 mC.1 mD.0.5 mC答案答案 C由圖像可知,在01 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)靜止在位移為1 m的地方;12 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)從位移為1 m的地方勻速運(yùn)動(dòng)到位移為2 m的地方;在23 s 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)靜止在位移為2 m的地方,因而質(zhì)點(diǎn)在3 s內(nèi)的位移即在12 s內(nèi)通過(guò)的位移,應(yīng)為1 m。2.(多選)某物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示,則下列說(shuō)法正確的是()A.物體在第1 s末運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生改變B.物體在第2 s內(nèi)、第3 s內(nèi)的加速度是相同的C.物體在第4 s末返回出發(fā)點(diǎn)D.物體在第5 s末離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn),且最大位移為0.5 mBC答案答案 BC物體在第1 s內(nèi)做勻加速運(yùn)動(dòng),第2 s內(nèi)做勻

4、減速運(yùn)動(dòng),第3 s內(nèi)做反向的勻加速運(yùn)動(dòng),第4 s內(nèi)做反向的勻減速運(yùn)動(dòng)物體在第 2 s 末、第4 s末速度方向發(fā)生改變,在第2 s 內(nèi)和第3 s內(nèi)的加速度相同均為a=-1 m/s2,在第4 s末物體返回出發(fā)點(diǎn)且速度為零。物體在第2 s末、第6 s末離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn),且最大位移為1 m。3.一物體由靜止開(kāi)始沿直線運(yùn)動(dòng),其加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖所示,取開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?則物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖像正確的是() C答案答案 C本題考查加速度在v-t圖像中的表示。在01 s內(nèi),a=1 m/s2,物體從靜止開(kāi)始做正向勻加速運(yùn)動(dòng),速度圖線是一條傾斜直線,1 s末速度v1=at=1 m/s,在1 2 s內(nèi),a

5、2=-1 m/s2,物體將仍沿正方向運(yùn)動(dòng),但加速度為負(fù)要減速,2 s末時(shí)速度v2=v1+a2t=0,23 s內(nèi)重復(fù)01 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)情況,3 4 s內(nèi)重復(fù)1 2 s 內(nèi)運(yùn)動(dòng)情況,故選C項(xiàng)。4.甲、乙兩車在平直公路上比賽,某一時(shí)刻,乙車在甲車前方L1=11 m處,乙車速度v乙=60 m/s,甲車速度 v甲=50 m/s,此時(shí)乙車離終點(diǎn)線尚有L2=600 m,如圖所示,若甲車加速運(yùn)動(dòng),加速度a=2 m/s2,乙車速度不變,不計(jì)車長(zhǎng)。求:(1)經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩車間距離最大,最大距離是多少?(2)到達(dá)終點(diǎn)線時(shí)甲車能否超過(guò)乙車? 答案答案(1)5 s36 m(2)不能解析解析(1)當(dāng)甲、乙兩車速度相等時(shí)

6、,兩車間距離最大,則v甲+at1=v乙得t1= s=5 s甲車位移x甲=v甲t1+a=275 m乙車位移x乙=v乙t1=605 m=300 m此時(shí)兩車間距離x=x乙+L1-x甲=36 m(2)甲車追上乙車時(shí),位移關(guān)系 x甲=x乙+L1甲車位移x甲=v甲t2+a乙車位移x乙=v乙t2將x甲、x乙代入位移關(guān)系式得v甲t2+a=v乙t2+L1,vva乙甲605021221t1222t1222t代入數(shù)值并整理得-10t2-11=0,解得t2=-1 s(舍去)或t2=11 s此時(shí)乙車位移x乙=v乙t2=660 m,因x乙L2,故乙車已沖過(guò)終點(diǎn)線,即到達(dá)終點(diǎn)線時(shí)甲車不能追上乙車。22t深化拓展深化拓展考點(diǎn)

7、一考點(diǎn)一運(yùn)動(dòng)圖像的分析與運(yùn)用運(yùn)動(dòng)圖像的分析與運(yùn)用考點(diǎn)二考點(diǎn)二追及相遇問(wèn)題追及相遇問(wèn)題深化拓展深化拓展考點(diǎn)一運(yùn)動(dòng)圖像的分析與運(yùn)用考點(diǎn)一運(yùn)動(dòng)圖像的分析與運(yùn)用1.運(yùn)動(dòng)圖像主要有x-t圖像和v-t圖像,運(yùn)用運(yùn)動(dòng)圖像解題可總結(jié)為六看:一看“軸”,二看“線”,三看“斜率”,四看“面積”,五看“截距”,六看“特殊點(diǎn)”。2.圖像既反映出運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)特征,也是提供信息和解決問(wèn)題的重要手段。在許多問(wèn)題中若能運(yùn)用圖像進(jìn)行分析,對(duì)解決問(wèn)題會(huì)起到事半功倍的效果。 軸先要看清兩軸所代表的物理量,即圖像是描述哪兩個(gè)物理量之間的關(guān)系線表示研究對(duì)象的變化過(guò)程和規(guī)律,如v-t圖像中圖線若為傾斜直線,則表示物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)斜

8、率表示縱、橫坐標(biāo)兩物理量的比值,常有一個(gè)重要的物理量與之對(duì)應(yīng),用于定量計(jì)算對(duì)應(yīng)物理量的大小和定性分析變化的快慢。如x-t圖像的斜率表示速度,v-t圖像的斜率表示加速度面積圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積常與某一表示過(guò)程的物理量相對(duì)應(yīng)。如v-t圖線與t軸所圍的面積表示位移截距表示橫、縱坐標(biāo)兩物理量在“邊界”條件下的大小。由此往往能得到一個(gè)很有意義的物理量特殊點(diǎn)如交點(diǎn)、拐點(diǎn)(轉(zhuǎn)折點(diǎn))等,如x-t圖像的交點(diǎn)表示兩質(zhì)點(diǎn)相遇,v-t圖像的交點(diǎn)只表示速度相等1-1(多選)如圖,直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位置-時(shí)間(x-t)圖線。由圖可知()A.在時(shí)刻t1,a車追上b車B.在時(shí)刻t2,a、b兩

9、車運(yùn)動(dòng)方向相反C.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi),b車的速率先減少后增加D.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi),b車的速率一直比a車的大BC答案答案 BC在位置-時(shí)間圖像中,圖線斜率的絕對(duì)值表示速度大小,斜率的正負(fù)表示速度的方向,兩圖線的交點(diǎn)表示同一時(shí)刻處于同一位置即追及或相遇。由圖可知,t1時(shí)刻前b的斜率大于a的斜率,b車速度大于a車的速度,b車處于a車的后方,故t1時(shí)刻應(yīng)是b車追上a車,A錯(cuò)誤;t2時(shí)刻,b圖線斜率小于零,即b沿負(fù)向運(yùn)動(dòng),而a圖線斜率始終大于零,即a車一直沿正向運(yùn)動(dòng),因此兩車速度方向相反,故B正確;由t1t2時(shí)間內(nèi)b圖線斜率的絕對(duì)值可知C正確;在b圖線的頂點(diǎn)處切線水平、斜率為零,即此時(shí)b車瞬時(shí)

10、速度為零,可見(jiàn)D錯(cuò)誤。1-2 (2018北京朝陽(yáng)期中)如圖為一個(gè)物體做直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像。關(guān)于物體的運(yùn)動(dòng),下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A.01 s內(nèi)和23 s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方向相同B.23 s內(nèi)和34 s內(nèi)的加速度相同C.02 s內(nèi)和04 s內(nèi)的位移相同D.01 s內(nèi)和23 s內(nèi)的速度變化量相同D答案答案 D v-t圖線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)的正、負(fù)代表物體運(yùn)動(dòng)方向,故A項(xiàng)正確;v-t圖線的斜率代表加速度,故B項(xiàng)正確;v-t圖線跟橫軸所圍的面積表示物體的位移,02 s內(nèi)的位移為(1+2)1 m=1.5 m,04 s內(nèi)的位移為(1+3)1 m-11 m=1.5 m,故C項(xiàng)正確;01 s內(nèi)和23 s內(nèi)速度變化量分別為

11、v1=1 m/s-0=1 m/s和v2=0-1 m/s=-1 m/s,它們的方向相反,故D項(xiàng)錯(cuò)誤,故D符合題意。1212121-3甲、乙、丙三輛汽車以相同的速度同時(shí)經(jīng)過(guò)某一路標(biāo),以后甲車一直做勻速直線運(yùn)動(dòng),乙車先加速后減速,丙車先減速后加速,它們經(jīng)過(guò)下一路標(biāo)時(shí)的速度又相同,則()A.甲車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)B.乙車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)C.丙車先通過(guò)下一個(gè)路標(biāo)D.三車同時(shí)到達(dá)下一個(gè)路標(biāo)答案答案 B 根據(jù)題意,甲、乙、丙三車的初、末速度均相同,通過(guò)的位移也相同,這在速度-時(shí)間圖像上表現(xiàn)為v-t圖線與時(shí)間軸包圍的面積相等,它們的v-t圖像大致如圖所示,由圖像易知B選項(xiàng)正確。B考點(diǎn)二追及相遇問(wèn)題考點(diǎn)二追及相遇

12、問(wèn)題一、追及相遇問(wèn)題的分析要點(diǎn)一、追及相遇問(wèn)題的分析要點(diǎn)1.分析追及問(wèn)題的方法技巧可概括為分析追及問(wèn)題的方法技巧可概括為“一個(gè)臨界條件一個(gè)臨界條件”、“兩個(gè)等兩個(gè)等量關(guān)系量關(guān)系”。(1)一個(gè)臨界條件速度相等。它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷問(wèn)題的切入點(diǎn)(2)兩個(gè)等量關(guān)系:時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系,通過(guò)畫草圖找出兩物體的位移關(guān)系是解題的突破口。2.能否追上的判斷方法能否追上的判斷方法物體B追趕物體A:開(kāi)始時(shí),兩個(gè)物體相距x0,若vA=vB時(shí),xA+x0 xB,則不能追上。3.若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng),一定要注意判斷追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng)。 2-1汽車A

13、在紅燈前停住,綠燈亮?xí)r啟動(dòng),以0.4 m/s2的加速度做勻加速運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)30 s后以該時(shí)刻的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)在綠燈亮的同時(shí),汽車B以8 m/s的速度從A車旁邊駛過(guò),且一直以相同的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向與A車相同,則從綠燈亮?xí)r開(kāi)始()A.A車在加速過(guò)程中與B車相遇B.A、B相遇時(shí)速度相同C.相遇時(shí)A車做勻速運(yùn)動(dòng)D.兩車不可能相遇C答案答案 C作出A、B兩車運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖所示。v-t圖線與時(shí)間軸所包圍的“面積”表示位移,經(jīng)過(guò)30 s時(shí),B車的v-t圖線與時(shí)間軸所圍面積比A車的大,所以在A車加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,兩車并未相遇,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;30 s后A車以 12 m/s 的速度做勻速

14、直線運(yùn)動(dòng),隨著圖線與時(shí)間軸所圍“面積”越來(lái)越大,可以判斷在30 s后某時(shí)刻兩車圖線與時(shí)間軸所圍面積會(huì)相等,即兩車會(huì)相遇,此時(shí)A車的速度要大于B車的速度,所以兩車不可能再次相遇,選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤。2-2甲車以10 m/s的速度在平直的公路上勻速行駛,乙車以 4 m/s 的速度與甲車平行同向做勻速直線運(yùn)動(dòng),甲車經(jīng)過(guò)乙車旁邊開(kāi)始以0.5 m/s2的加速度剎車,從甲車剎車開(kāi)始計(jì)時(shí),求:(1)乙車在追上甲車前,兩車相距的最大距離;(2)乙車追上甲車所用的時(shí)間。答案答案(1)36 m(2)25 s解析解析(1)當(dāng)甲車速度減至等于乙車速度時(shí)兩車的距離最大,設(shè)該減速過(guò)程經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t,則v乙=v甲-

15、at解得:t=12 s此時(shí)甲、乙間距離為x=v甲t-at2-v乙t=1012 m-0.5122 m-412 m=36 m。(2)設(shè)甲車減速到零所需時(shí)間為t1,則有:t1=20 st1時(shí)間內(nèi),x甲=t1=20 m=100 mx乙=v乙t1=420 m=80 m1212va甲2v甲102此后乙車運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2= s=5 s故乙車追上甲車所用時(shí)間:t=t1+t2=25 s。xxv乙甲乙204二、分析追及相遇問(wèn)題的常用方法二、分析追及相遇問(wèn)題的常用方法1.物理分析法物理分析法:抓好“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵,認(rèn)真審題,挖掘題中的隱含條件,在頭腦中建立起一幅物體運(yùn)動(dòng)的圖景。2.相對(duì)運(yùn)動(dòng)法相對(duì)

16、運(yùn)動(dòng)法:巧妙地選取參考系,然后找出兩物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。3.數(shù)學(xué)分析法數(shù)學(xué)分析法:設(shè)相遇時(shí)間為t,根據(jù)條件列方程,得到關(guān)于t的一元二次方程,用判別式進(jìn)行討論,若0,即有兩個(gè)解,說(shuō)明可以相遇兩次;若=0,說(shuō)明剛好追上或相遇;若0,說(shuō)明追不上或不能相遇。4.圖像分析法圖像分析法:將兩者的速度-時(shí)間圖像在同一坐標(biāo)系中畫出,然后利用圖像分析求解。 2-3在水平軌道上有兩列火車A和B相距s,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng),而B車同時(shí)做初速度為零、加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。要使兩車不相撞,求A車的初速度v0滿足什么條件。答案答案 v0 6as解析解析 方法一

17、方法一:(物理分析法)A、B車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程(如圖甲)甲利用位移公式、速度公式求解對(duì)A車有sA=v0t+(-2a)t2vA=v0+(-2a)t對(duì)B車有sB=at2,vB=at兩車有s=sA-sB1212追上時(shí),兩車不相撞的臨界條件是vA=vB聯(lián)立以上各式解得v0=故要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。方法二方法二:(數(shù)學(xué)分析法)利用判別式求解,由方法一可知sA=s+sB,即v0t+(-2a)t2=s+at2 6as6as1212整理得3at2-2v0t+2s=0這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程,當(dāng)根的判別式=(2v0)2-43a2s0時(shí),t無(wú)實(shí)數(shù)解,即兩車不相撞,所以要使兩車不相

18、撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。6as乙方法三方法三:(圖像分析法)利用速度-時(shí)間圖像求解,先作A、B兩車的速度-時(shí)間圖像,其圖像如圖乙所示,設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間兩車剛好不相撞,則對(duì)A車有vA=v=v0-2at對(duì)B車有vB=v=at以上兩式聯(lián)立解得t=經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移之差,即原來(lái)兩車間的距離s,它可用圖中的陰影面積表示,由圖像可知s=v0t=v0=所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。方法四方法四:(相對(duì)運(yùn)動(dòng)法)巧選參考系求解。以B車為參考系,A車的初速度為v0,加速度為a=-2a-a=-3a。A車剛好追上B車的條件是:vt=0,這一過(guò)程A車相對(duì)于B車的位移為s,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式-=2as得:02-=2(-3a)s所以v0=。03va121203va206va6as2tv20v20v6as即要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是 v0。6as