離子晶體的長波近似物理教學(xué)課件PPT

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1、Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University 離子晶體在做長光學(xué)波振動時，由于原胞內(nèi)正負(fù)離子作相離子晶體在做長光學(xué)波振動時，由于原胞內(nèi)正負(fù)離子作相對運(yùn)動，因而產(chǎn)生宏觀極化（出現(xiàn)宏觀電偶極矩），從而可對運(yùn)動，因而產(chǎn)生宏觀極化（出現(xiàn)宏觀電偶極矩），從而可以和電磁波發(fā)生強(qiáng)烈相互作用。所以以和電磁波發(fā)生強(qiáng)烈相互作用。所以長光學(xué)波與離子晶體的長光學(xué)波與離子晶體的電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)。電學(xué)、光學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)。 對于長聲學(xué)波：可以看作連續(xù)介質(zhì)彈性波，它滿足在彈性對于長聲學(xué)波：可以看作連續(xù)介質(zhì)彈性波，它滿足在彈性理論基礎(chǔ)上建立的宏觀運(yùn)動

2、方程，因此由宏觀彈性介質(zhì)理論理論基礎(chǔ)上建立的宏觀運(yùn)動方程，因此由宏觀彈性介質(zhì)理論即可得到長聲學(xué)格波解。即可得到長聲學(xué)格波解。 對于長光學(xué)波：也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行近似處理，對于長光學(xué)波：也可以在宏觀理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行近似處理，這就是我國著名的物理學(xué)家黃昆于這就是我國著名的物理學(xué)家黃昆于19511951年提出的方法。年提出的方法。 本節(jié)的基本思路是：本節(jié)的基本思路是：先建立長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程，先建立長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程，確定其系數(shù)；給出長光學(xué)波的縱波頻率和橫波頻率之間的關(guān)確定其系數(shù)；給出長光學(xué)波的縱波頻率和橫波頻率之間的關(guān)系；最后介紹離子晶體的光學(xué)性質(zhì)以及極化激元的概念。系；最后介紹離

3、子晶體的光學(xué)性質(zhì)以及極化激元的概念。 45 離子晶體的長波近似離子晶體的長波近似(long wave proximity of ionic crystal)Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University45 離子晶體的長波近似離子晶體的長波近似(long wave proximity of ionic crystal)一、一、 長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程 (macroscopic equation of long optic wave )二、二、 長光學(xué)波的橫波頻率長光學(xué)波的橫波頻率TO與縱波頻率與縱波頻率

4、LO （transverse and longitudinal frequency of long optic wave）三、三、 離子晶體的光學(xué)性質(zhì)離子晶體的光學(xué)性質(zhì) （optic properties of ionic crystal）四、四、 極化激元極化激元 (polaritons )Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University 離子晶體的光學(xué)波描述離子晶體的光學(xué)波描述原胞中正負(fù)離子的相對運(yùn)動。原胞中正負(fù)離子的相對運(yùn)動。在波長較長時，半個波長的在波長較長時，半個波長的范圍內(nèi)包含很多原胞。范圍內(nèi)包含很多原胞。 在兩個

5、波節(jié)之間，同種在兩個波節(jié)之間，同種離子的位移方向相同異種離離子的位移方向相同異種離子位移方向相反，而波節(jié)兩子位移方向相反，而波節(jié)兩邊，同種離子位移方向相反。邊，同種離子位移方向相反。 這樣波節(jié)面將晶體分成這樣波節(jié)面將晶體分成許多個薄層，在每個薄層里許多個薄層，在每個薄層里正負(fù)離于位移相反，每個薄正負(fù)離于位移相反，每個薄層里產(chǎn)生退極化場，整個晶層里產(chǎn)生退極化場，整個晶體被分層極化，所以離子晶體被分層極化，所以離子晶體的光學(xué)波又稱為極化波。體的光學(xué)波又稱為極化波。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University一、一、 長光學(xué)波的

6、宏觀運(yùn)動方程長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動方程 (macroscopic equation of long optic wave )(macroscopic equation of long optic wave ) 1 1、長光學(xué)晶格振動產(chǎn)生的內(nèi)場長光學(xué)晶格振動產(chǎn)生的內(nèi)場 長光學(xué)波相鄰的不同離子振動方向相反，設(shè)正、負(fù)離長光學(xué)波相鄰的不同離子振動方向相反，設(shè)正、負(fù)離子之間的相對位移為子之間的相對位移為 ，產(chǎn)生的極化強(qiáng)度矢量為，產(chǎn)生的極化強(qiáng)度矢量為()1*()q+P其中其中 是離子的有效電荷，是離子的有效電荷， 是原胞體積。因?yàn)闃O化強(qiáng)是原胞體積。因?yàn)闃O化強(qiáng)度與相對位移有關(guān)，所以它將以格波的頻率度與相對位移有

7、關(guān)，所以它將以格波的頻率 和波矢和波矢 為周為周期變化，產(chǎn)生極化波期變化，產(chǎn)生極化波*qq()0ite q rPPSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University極化產(chǎn)生的宏觀內(nèi)場可以由電動力學(xué)得出：極化產(chǎn)生的宏觀內(nèi)場可以由電動力學(xué)得出：222220()(/)cqcPq q PEc0其中其中和和是真空中的光速和介電常數(shù)。是真空中的光速和介電常數(shù)。Pq對于對于縱?？v模，極化強(qiáng)度矢量，極化強(qiáng)度矢量與波矢與波矢的方向平行，的方向平行，22222222222000()(/)(/)LqPqccqcqc PqPPPE內(nèi)場的方向與波矢的方向

8、平行，即縱模產(chǎn)生的內(nèi)場是內(nèi)場的方向與波矢的方向平行，即縱模產(chǎn)生的內(nèi)場是縱向的，是縱向的，是沒有磁場伴隨的無旋場，與靜電場類似沒有磁場伴隨的無旋場，與靜電場類似。 Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversityPq對于對于橫模橫模，極化強(qiáng)度矢量，極化強(qiáng)度矢量與波矢與波矢的方向垂直，的方向垂直，22222222200(/)()Tcqcc qPPE內(nèi)場的方向與波矢的方向垂直，即橫模產(chǎn)生的內(nèi)場是橫波，內(nèi)場的方向與波矢的方向垂直，即橫模產(chǎn)生的內(nèi)場是橫波，是一種有電磁場相伴的有旋場。是一種有電磁場相伴的有旋場。 由于有這種電磁場的存在，

9、由于有這種電磁場的存在，晶格振動的橫模和外電磁晶格振動的橫模和外電磁場之間會發(fā)生強(qiáng)耦合，影響電磁波在晶體中傳播的性質(zhì)場之間會發(fā)生強(qiáng)耦合，影響電磁波在晶體中傳播的性質(zhì)。當(dāng)電磁波的頻率和波矢與橫光學(xué)波振動頻率和波矢相等，當(dāng)電磁波的頻率和波矢與橫光學(xué)波振動頻率和波矢相等，即即 時，發(fā)生共振，耦合最為強(qiáng)烈。時，發(fā)生共振，耦合最為強(qiáng)烈。cqSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University2、方程的建立、方程的建立 長光學(xué)波與長聲學(xué)波不同，相鄰的不同離子振動方向相反，即長光學(xué)波與長聲學(xué)波不同，相鄰的不同離子振動方向相反，即正、負(fù)離子之間做

10、相對運(yùn)動；在正、負(fù)離子之間做相對運(yùn)動；在q0時，則是正、負(fù)離子組成的兩時，則是正、負(fù)離子組成的兩個格子之間的相對振動，振動中保持它們的質(zhì)心不變。個格子之間的相對振動，振動中保持它們的質(zhì)心不變。限定晶體為雙離子晶體，并且晶體是各向同性的。限定晶體為雙離子晶體，并且晶體是各向同性的。用一個反映正負(fù)離子相對位移的矢量用一個反映正負(fù)離子相對位移的矢量W（稱為折合位移）（稱為折合位移）來描述長光學(xué)波振動來描述長光學(xué)波振動1/2()MW（1）其中其中MMMMM是約化質(zhì)量（折合質(zhì)量）；是約化質(zhì)量（折合質(zhì)量）；為原胞體積；為原胞體積；,為正負(fù)離子的位移。為正負(fù)離子的位移。Solid State Physics

11、School of Physics, Northwest University選擇選擇W作為宏觀量后，黃昆建立了一對方程，稱為黃昆方程：作為宏觀量后，黃昆建立了一對方程，稱為黃昆方程：1112Wb WbE（2）2122Pb Wb E（3）這里這里 是宏觀極化強(qiáng)度，是宏觀極化強(qiáng)度， 是宏觀電場強(qiáng)度。其中，方程（是宏觀電場強(qiáng)度。其中，方程（2）是決定離子相對振動的動力學(xué)方程，稱為是決定離子相對振動的動力學(xué)方程，稱為振動方程振動方程(vibration equation)；PE方程（方程（3）表示除去正負(fù)離子相對位移產(chǎn)生極化，還要考慮宏觀）表示除去正負(fù)離子相對位移產(chǎn)生極化，還要考慮宏觀電場存在時的附

12、加極化，稱為電場存在時的附加極化，稱為極化方程極化方程(polarization equation)。這兩個方程中系數(shù)并不都是無關(guān)的，可以證明這兩個方程中系數(shù)并不都是無關(guān)的，可以證明b12b21。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University 事實(shí)上，在有宏觀電場事實(shí)上，在有宏觀電場E存在時，系統(tǒng)的勢能密度可以寫成存在時，系統(tǒng)的勢能密度可以寫成 221112221(2)2Ubbb WW EE其中其中 是待定參數(shù)。勢能項(xiàng)分別是諧振動能量、是待定參數(shù)。勢能項(xiàng)分別是諧振動能量、諧振動與宏觀電場的耦合能量以及宏觀電場的能量。諧振動與

13、宏觀電場的耦合能量以及宏觀電場的能量。ijb由式（由式（* *）可以求得）可以求得 （* *）211122dUbbdt WWWEW2122Ubb PWEE可見可見1221bb下面結(jié)合具體的微觀模型，給出各個系數(shù)的表示式。下面結(jié)合具體的微觀模型，給出各個系數(shù)的表示式。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University3 3、系數(shù)的確定、系數(shù)的確定 (1) (1) 靜電場情況下，晶體的介電極化靜電場情況下，晶體的介電極化在恒定的靜電場下，正負(fù)離子將發(fā)生相對位移在恒定的靜電場下，正負(fù)離子將發(fā)生相對位移W令（令（2 2）式中的）式中的0

14、W，就得到，就得到1211bWEb 再代入到（再代入到（3 3）式中，得）式中，得21212222211()bPb Wb EbEb（4）由靜電學(xué)知由靜電學(xué)知00(0)DEPE或或0 (0) 1PE（5）其中其中0為真空中的介電常數(shù)，為真空中的介電常數(shù)，（0）為靜電介電常數(shù)。）為靜電介電常數(shù)。比較（比較（4 4）（）（5 5）兩式，得）兩式，得11212220 1)0(bbb（6）Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University(2)(2)高頻電場情況下的介電極化高頻電場情況下的介電極化 如果電場的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動頻率，晶格的

15、位移遠(yuǎn)跟不上電場如果電場的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動頻率，晶格的位移遠(yuǎn)跟不上電場的變化，有的變化，有0W , ,則由（則由（4 4）式得到）式得到 22Pb E與介電常數(shù)的的定義與介電常數(shù)的的定義0 ( ) 1PE 相比較，相比較，得到得到220 1)(b（7） 其中其中（）是高頻介電常數(shù)。）是高頻介電常數(shù)。將（將（7 7）式代入（）式代入（6 6）式得）式得112120)()0(bb（8）Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University且對于長光學(xué)振動，有且對于長光學(xué)振動，有2011b0是橫光學(xué)波的頻率，可以從晶體的紅外吸收譜測量中

16、得到是橫光學(xué)波的頻率，可以從晶體的紅外吸收譜測量中得到.為準(zhǔn)彈性力，為準(zhǔn)彈性力，b11相當(dāng)于（相當(dāng)于（02）11b W（其實(shí)（其實(shí)由上面的討論，我們得到由上面的討論，我們得到2011b02/102/12112)()0( bb022 1)(b（9）這就求出了方程中的各個系數(shù)的表示式這就求出了方程中的各個系數(shù)的表示式. .Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University 二、二、 長光學(xué)波的橫波頻率長光學(xué)波的橫波頻率TO與縱波頻率與縱波頻率LO（LST關(guān)系）關(guān)系） （transverse and longitudinal freq

17、uency of long optic wave） 對于有帶電粒子的晶格振動，在求解其振動情況時，必須對于有帶電粒子的晶格振動，在求解其振動情況時，必須考慮它們之間的電磁相互作用；而且往往只限于計(jì)算它們之間考慮它們之間的電磁相互作用；而且往往只限于計(jì)算它們之間的庫侖作用。的庫侖作用。 對于長光學(xué)波，可以用上面介紹的宏觀運(yùn)動方程求其晶格對于長光學(xué)波，可以用上面介紹的宏觀運(yùn)動方程求其晶格振動。只須把靜電學(xué)方程與黃昆方程中的極化方程結(jié)合起來，振動。只須把靜電學(xué)方程與黃昆方程中的極化方程結(jié)合起來，就相當(dāng)于考慮了離子晶體中帶電粒子之間的庫侖作用。就相當(dāng)于考慮了離子晶體中帶電粒子之間的庫侖作用。 求解長光

18、學(xué)波的橫波與縱波頻率，就以此為基礎(chǔ)。求解長光學(xué)波的橫波與縱波頻率，就以此為基礎(chǔ)。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University1 1、橫波和縱波滿足的方程、橫波和縱波滿足的方程長光學(xué)波有橫波和縱波，其相對位移分別用長光學(xué)波有橫波和縱波，其相對位移分別用TWLW和和表示表示而橫向位移散度為零，縱向位移旋度為零而橫向位移散度為零，縱向位移旋度為零，即，即LTWWW則則0TW0LW（10）0LW0TW（11）又電場滿足靜電方程又電場滿足靜電方程0()0DEP （12）0E（13）對（對（2 2）式取旋度，有）式取旋度，有1112W

19、bWbESolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University利用（利用（1313）式，即有）式，即有221122()()LTLTd Wd WbWWdtdt再利用（再利用（1111）式，則有）式，則有2112TTd Wb Wdt（14）這是橫波滿足的方程。這是橫波滿足的方程。再對（再對（2 2）式取散度，并利用（）式取散度，并利用（1010）和（）和（1212）式，得）式，得211122LLd Wb Wb Edt（15）對（對（3 3）式取散度有，）式取散度有， 即即1222PbWbE01222()LTEbWWbESolid Sta

20、te PhysicsSchool of Physics, Northwest University注意到（注意到（1010）式，則有）式，則有02212LbWEb 因而因而02212LbWEb 代入（代入（1515）式，得）式，得2212112022LLd WbbWdtb（16）這是縱波滿足的方程。這是縱波滿足的方程。2 2、橫波與縱波的頻率比、橫波與縱波的頻率比 由（由（1414）式可知，橫波頻率為）式可知，橫波頻率為11202bTO（17）Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University前面已經(jīng)證明了前面已經(jīng)證明了022

21、1)(b以及以及112120)()0(bb而且而且2011b代入（代入（1616）式有）式有2202(0)()LLd WWdt 所以所以202)()0(LO因此有因此有2/1)()0(TOLO（18）這被稱作為這被稱作為LST（Lyddano-Sachs-Teller）關(guān)系）關(guān)系，是一個很重要的結(jié)果，是一個很重要的結(jié)果.Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University由由LST關(guān)系，有以下結(jié)論：關(guān)系，有以下結(jié)論： （1）由于靜電介電常數(shù)由于靜電介電常數(shù)（0）一般總是大于高頻介電常數(shù)）一般總是大于高頻介電常數(shù)（），所），所以，長

22、光學(xué)縱波的頻率以，長光學(xué)縱波的頻率LO總是大于長光學(xué)橫波的頻率總是大于長光學(xué)橫波的頻率TO。 這是因?yàn)樵陔x子性晶體中長光學(xué)波產(chǎn)生極化電場，增加了縱波的這是因?yàn)樵陔x子性晶體中長光學(xué)波產(chǎn)生極化電場，增加了縱波的恢復(fù)力，從而提高了縱波的頻率。極化電場的大小與正負(fù)離子的有效恢復(fù)力，從而提高了縱波的頻率。極化電場的大小與正負(fù)離子的有效電荷有關(guān)。一般地，有效電荷越大，兩者的差值越大。而對非離子性電荷有關(guān)。一般地，有效電荷越大，兩者的差值越大。而對非離子性晶體，橫波與縱波頻率相同。晶體，橫波與縱波頻率相同。 （2）當(dāng)當(dāng)TO 0時，時，（0），這意味著晶體內(nèi)部出現(xiàn)自極化。，這意味著晶體內(nèi)部出現(xiàn)自極化。把把TO

23、趨于零的振動模式稱為光學(xué)軟膜。趨于零的振動模式稱為光學(xué)軟膜。 由于長光學(xué)波是極化波，所以，長光學(xué)波聲子稱為極化聲子。由于長光學(xué)波是極化波，所以，長光學(xué)波聲子稱為極化聲子。 Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University三、三、 離子晶體的光學(xué)性質(zhì)離子晶體的光學(xué)性質(zhì) （optic properties of ionic crystal） 正負(fù)離子間的相對振動產(chǎn)生一定的電偶極矩，從而可以和電磁波正負(fù)離子間的相對振動產(chǎn)生一定的電偶極矩，從而可以和電磁波相互作用，引起遠(yuǎn)紅外區(qū)的強(qiáng)烈吸收。也就是說，當(dāng)長光學(xué)波和與它相互作用，引起遠(yuǎn)紅外

24、區(qū)的強(qiáng)烈吸收。也就是說，當(dāng)長光學(xué)波和與它頻率相同的電磁波相互作用時，可以發(fā)生頻率相同的電磁波相互作用時，可以發(fā)生共振吸收共振吸收。 下面我們討論這種吸收現(xiàn)象。下面我們討論這種吸收現(xiàn)象。在運(yùn)動方程中引入耗散項(xiàng)，表達(dá)能量的損耗，則有在運(yùn)動方程中引入耗散項(xiàng)，表達(dá)能量的損耗，則有211122d WdWb Wb Erdtdt（19）方程右端最后一項(xiàng)即為耗散項(xiàng)，方程右端最后一項(xiàng)即為耗散項(xiàng)，r 是一個為正值的系數(shù)。是一個為正值的系數(shù)。 取復(fù)數(shù)形式的解：取復(fù)數(shù)形式的解：0i tEE e0i tWW eSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest Univers

25、ity將復(fù)數(shù)解代入（將復(fù)數(shù)解代入（1919）式，得）式，得21112()WbirWb E12211bWEbi r（20）將上式代入（將上式代入（3 3）式，有）式，有212122222211bPb Wb EbEbi r（21）把前面求得的把前面求得的b11，b12，b22的式子代入上式的式子代入上式并利用并利用00(0)DEPE就得到就得到20220(0)( )( )( )i r （22）上式中右端第二項(xiàng)就是晶格振動對介電常數(shù)的貢獻(xiàn)。上式中右端第二項(xiàng)就是晶格振動對介電常數(shù)的貢獻(xiàn)。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University

26、介電常數(shù)可以分為實(shí)部和虛部介電常數(shù)可以分為實(shí)部和虛部( )( )( )i 將（將（2222）式化簡，把實(shí)部與虛部分開，有）式化簡，把實(shí)部與虛部分開，有20222220220)()0()()()( r20222220)()0()()( rr吸收功率正比于介電常數(shù)的虛部吸收功率正比于介電常數(shù)的虛部，可以看出，可以看出，在在0處有一個吸收峰，處有一個吸收峰，寬度為寬度為r。這意味著橫波的光波激勵了橫光學(xué)波的格波。這意味著橫波的光波激勵了橫光學(xué)波的格波。 這實(shí)際上就是前面介紹的長光學(xué)波在離子晶體中的重要性。也正是這實(shí)際上就是前面介紹的長光學(xué)波在離子晶體中的重要性。也正是由于長光學(xué)波的這種特點(diǎn)，一維雙原

27、子鏈色散關(guān)系的由于長光學(xué)波的這種特點(diǎn)，一維雙原子鏈色散關(guān)系的一支才被稱為光一支才被稱為光學(xué)波。學(xué)波。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University四、四、 極化激元極化激元(polaritons ) 由于光子是橫向電磁場的量子，光照射離子晶體時將激由于光子是橫向電磁場的量子，光照射離子晶體時將激發(fā)橫向的電磁場，從而對離子晶體中光頻支橫波振動產(chǎn)生影發(fā)橫向的電磁場，從而對離子晶體中光頻支橫波振動產(chǎn)生影響響. 當(dāng)光子頻率與橫波光學(xué)模聲子的頻率相近時當(dāng)光子頻率與橫波光學(xué)模聲子的頻率相近時(共振條件共振條件下下) ，兩者的耦合很強(qiáng)，其

28、結(jié)果將導(dǎo)致全新的色散關(guān)系，兩者的耦合很強(qiáng)，其結(jié)果將導(dǎo)致全新的色散關(guān)系, 完全完全改變電磁波的傳播特性，形成改變電磁波的傳播特性，形成光子光子-橫光學(xué)模聲子的耦合模式，橫光學(xué)模聲子的耦合模式，其量子稱為極化激元。其量子稱為極化激元。 不僅格波有這樣的耦合模式，等離子振蕩、激子、自旋不僅格波有這樣的耦合模式，等離子振蕩、激子、自旋波等也都有類似的現(xiàn)象，統(tǒng)稱為極化激元。波等也都有類似的現(xiàn)象，統(tǒng)稱為極化激元。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University1 1、運(yùn)動方程及其解、運(yùn)動方程及其解 在討論聲子與光子的耦合問題時，外電磁場是

29、有旋場，在討論聲子與光子的耦合問題時，外電磁場是有旋場，橫振動伴隨的電磁場也是有旋場，必須用麥克斯韋方程與橫振動伴隨的電磁場也是有旋場，必須用麥克斯韋方程與黃昆方程聯(lián)立求解。對于非磁性絕緣晶體，磁導(dǎo)率黃昆方程聯(lián)立求解。對于非磁性絕緣晶體，磁導(dǎo)率 ，空間電流空間電流 ，自由電荷密度，自由電荷密度 ，這些方程如下：，這些方程如下：10J000011122122()()00ttbbbb HEHEPDEPHWWEPWESolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University設(shè)解的形式為設(shè)解的形式為()0()0()0()0ititititeee

30、e q rq rq rq rWWPPEEHH把解代入原方程組中，得到把解代入原方程組中，得到00000000000201101200210220()()00tbbbb q EHqHEPqEPq HWWEPWESolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University從后兩式可得從后兩式可得2120220211bbbPE代入到第三式，得到代入到第三式，得到2120022211()0bbbq E這時有兩種情況：這時有兩種情況：00q E2120222110bbb （1 1）對于縱波）對于縱波2解出解出，有，有 22221211022(0)(

31、)( )LOTObbb 正是我們前面得到的正是我們前面得到的LST關(guān)系。從中可見，關(guān)系。從中可見， 與波矢無關(guān)，縱聲子并不與與波矢無關(guān)，縱聲子并不與電磁場耦合。電磁場耦合。 LOSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University00q E0qE00,q E H（2 2）對于橫波，）對于橫波，即，即。注意到。注意到三者是相互垂直的三者是相互垂直的 并由右式的第一、二兩式，并由右式的第一、二兩式，00000000000201101200210220()()00tbbbb q EHq HEPqEPq HWWEPWE得到得到000212

32、00000220211()qEHbqHEPbEtb Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University02120222110()qbbqb 這兩個式子聯(lián)立求解，有解的條件是這兩個式子聯(lián)立求解，有解的條件是221202222011bqbb 得到得到 111222,bbb2001/c 利用系數(shù)利用系數(shù)的表達(dá)式和的表達(dá)式和LST關(guān)系，并注意關(guān)系，并注意222022220(0)( )( )()cq 2222( )LOTOSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University4

33、2222222( ) ( )0LOTOc qc q由此得到由此得到 有上式給出極化激元的色散關(guān)系：有上式給出極化激元的色散關(guān)系：224422224221/2212(2)2( )( )( )LOLOLOTOc qc qc q2 2、色散關(guān)系、色散關(guān)系Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University22LO222(0)c q( )q0q 它分為它分為兩支。在波矢較小的區(qū)域，當(dāng)兩支。在波矢較小的區(qū)域，當(dāng)時，時， 222( )c q22TO( )LOqc當(dāng)當(dāng)時，時， ( )q有兩重根，說明存在兩種橫波，它們的偏振方向不同，但頻率相同。

34、有兩重根，說明存在兩種橫波，它們的偏振方向不同，但頻率相同。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University下圖所示是極化激元的色散曲線，虛線表示未耦合的橫光學(xué)波下圖所示是極化激元的色散曲線，虛線表示未耦合的橫光學(xué)波（TO）聲子、橫聲學(xué)波）聲子、橫聲學(xué)波(LO)聲子和光子的色散曲線，實(shí)線表示極聲子和光子的色散曲線，實(shí)線表示極化激元的色散關(guān)系，它們分布在化激元的色散關(guān)系，它們分布在0( ),( )TOLOqq Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University從圖

35、中可見：從圖中可見：（1 1）在高波矢區(qū)域，橫振動產(chǎn)生的電場趨于零，振動頻率近似為無）在高波矢區(qū)域，橫振動產(chǎn)生的電場趨于零，振動頻率近似為無耦合時的頻率，即耦合時的頻率，即解是原來的解是原來的TO聲子頻率聲子頻率22TO，稱為類聲子；，稱為類聲子；( )c222( )c q解則代表光速為解則代表光速為的光子頻率，的光子頻率，是高頻光子的色散關(guān)系，稱為類光子。是高頻光子的色散關(guān)系，稱為類光子。0/P( )c（2 2）在低頻波矢區(qū)，橫振動和縱振動的恢復(fù)力幾乎都等于）在低頻波矢區(qū)，橫振動和縱振動的恢復(fù)力幾乎都等于這時，這時，解代表介質(zhì)中光速為解代表介質(zhì)中光速為的光子頻率，稱為類光子；的光子頻率，稱為

36、類光子；解與原來的解與原來的TOTO聲子頻率類似，稱為類聲子。聲子頻率類似，稱為類聲子。（3 3）在共振區(qū)，耦合很強(qiáng)）在共振區(qū)，耦合很強(qiáng), ,橫光學(xué)聲子與光子都不再是獨(dú)立的元激發(fā)，橫光學(xué)聲子與光子都不再是獨(dú)立的元激發(fā)，從從和不能認(rèn)定哪一支類聲，哪一支類光，出現(xiàn)光子與聲子的混合模式。不能認(rèn)定哪一支類聲，哪一支類光，出現(xiàn)光子與聲子的混合模式。整個曲線看整個曲線看Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University222( )c q 考慮介電函數(shù)考慮介電函數(shù)由式由式222cq2222( )LOTO( ) LOTO函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)在的零點(diǎn)在

37、處，極值點(diǎn)在處，極值點(diǎn)在處。處。 2222222( )( )LOTOc q 有有（*）（4）在在 頻率范圍內(nèi)不存在耦合模的傳播解，頻率范圍內(nèi)不存在耦合模的傳播解，在這個區(qū)域不存在激化激元模式。因此，在此頻率范圍內(nèi)的在這個區(qū)域不存在激化激元模式。因此，在此頻率范圍內(nèi)的電磁波不能在晶體中傳播。電磁波不能在晶體中傳播。 TOLOSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University顯然，在顯然，在TOLO頻率范圍內(nèi)，介電函數(shù)取負(fù)值，正好與耦合模的禁帶相重合。頻率范圍內(nèi)，介電函數(shù)取負(fù)值，正好與耦合模的禁帶相重合。 代表指數(shù)衰減解，說明入射光

38、不能在離子晶體中傳播，與此代表指數(shù)衰減解，說明入射光不能在離子晶體中傳播，與此同時實(shí)驗(yàn)上將觀察到強(qiáng)烈的反射現(xiàn)象。此時晶體的反射率同時實(shí)驗(yàn)上將觀察到強(qiáng)烈的反射現(xiàn)象。此時晶體的反射率( )0 q當(dāng)當(dāng)時，由式（時，由式（ *）求得的）求得的是純虛數(shù)，是純虛數(shù)，( )11( )1R 也就是說，也就是說，頻率落在禁區(qū)中的電磁波不能在一塊厚的晶體中頻率落在禁區(qū)中的電磁波不能在一塊厚的晶體中傳播，幾乎全部在晶體表面反射掉。傳播，幾乎全部在晶體表面反射掉。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University思考題思考題: : 1 1什么是什么是L

39、STLST關(guān)系？關(guān)系？ 你如何理解這個關(guān)系？你如何理解這個關(guān)系？ 2 2什么是激化激元？它的色散關(guān)系有什么特點(diǎn)？什么是激化激元？它的色散關(guān)系有什么特點(diǎn)？為什么離子晶體的長光學(xué)波中的橫波可以和光波耦為什么離子晶體的長光學(xué)波中的橫波可以和光波耦合而縱波不能和光波耦合？合而縱波不能和光波耦合？ 3 3長光學(xué)波和紅外光波的耦合對離子晶體的光長光學(xué)波和紅外光波的耦合對離子晶體的光學(xué)性質(zhì)有什么影響？學(xué)性質(zhì)有什么影響？Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitynSummarynmacroscopic equation of long

40、optic wave ntransverse and longitudinal frequency of long optic wavenoptic properties of ionic crystalnconcept of polaritons Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University46 局域振動局域振動(localized vibration)一、局域振動的概念一、局域振動的概念 (concept of localized vibration)二、高頻模和共振模二、高頻模和共振模 (high frequency

41、 mode and sympathetic vibration mode)三、隙模三、隙模 (interval mode)Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University 一、一、 局域振動的概念局域振動的概念 (concept of localized vibration) 理想完整晶體的晶格振動，其本征振動模是一系列格理想完整晶體的晶格振動，其本征振動模是一系列格波，每一個格波描述的是晶體中所有原子的一種集體運(yùn)動，波，每一個格波描述的是晶體中所有原子的一種集體運(yùn)動，所以說格波是可以在整個晶體中傳播的。所以說格波是可以在整個

42、晶體中傳播的。 當(dāng)晶體中存在有雜質(zhì)或缺陷時，就可能產(chǎn)生局域振動，當(dāng)晶體中存在有雜質(zhì)或缺陷時，就可能產(chǎn)生局域振動，這種局域振動只是局限在雜質(zhì)（或缺陷）的附近，其振幅這種局域振動只是局限在雜質(zhì)（或缺陷）的附近，其振幅隨著與雜質(zhì)（或缺陷）的距離增大而指數(shù)的衰減。隨著與雜質(zhì)（或缺陷）的距離增大而指數(shù)的衰減。 局域振動局域振動局限在雜質(zhì)（或缺陷）附近的晶格振動局限在雜質(zhì)（或缺陷）附近的晶格振動稱為局域振動（稱為局域振動（localized vibration）。）。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University二、二、 高頻模和共振模

43、高頻模和共振模 (high frequency mode and sympathetic vibration mode)1、高頻模、高頻模 已知一維單原子鏈原子質(zhì)量為已知一維單原子鏈原子質(zhì)量為m，間距為，間距為a，其格波解的色散關(guān)系為，其格波解的色散關(guān)系為aqm21sin2格波振動頻率取值在格波振動頻率取值在 0 0 和和mm2之間，構(gòu)成一個頻帶。之間，構(gòu)成一個頻帶。 如果一個質(zhì)量為如果一個質(zhì)量為m 的雜質(zhì)原子替代了一維單原子鏈本身原子的位置，的雜質(zhì)原子替代了一維單原子鏈本身原子的位置，并且假定原子之間的力常數(shù)不變?？梢越獬觯s質(zhì)對整個頻譜的影響并且假定原子之間的力常數(shù)不變?？梢越獬?，雜質(zhì)對整

44、個頻譜的影響是很小的，但會出現(xiàn)局域振動模。是很小的，但會出現(xiàn)局域振動模。 如果雜質(zhì)原子比所替代的原子質(zhì)量輕時，即如果雜質(zhì)原子比所替代的原子質(zhì)量輕時，即mm，就會出現(xiàn)新的，就會出現(xiàn)新的局域振動，其頻率局域振動，其頻率I比原來格波振動的最高頻率比原來格波振動的最高頻率m更高。更高。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University當(dāng)當(dāng)mm，將會出現(xiàn)共振模，將會出現(xiàn)共振模(sympathetic vibration mode)，這是一種準(zhǔn)局域的振動。，這是一種準(zhǔn)局域的振動。 這時與雜質(zhì)原子相聯(lián)系的振動的特征頻率落在了頻帶之中，這種頻這

45、時與雜質(zhì)原子相聯(lián)系的振動的特征頻率落在了頻帶之中，這種頻率的振動模雖不是局域的，但在雜質(zhì)附近表現(xiàn)得特別強(qiáng)。率的振動模雖不是局域的，但在雜質(zhì)附近表現(xiàn)得特別強(qiáng)。三、三、 隙模隙模(interval mode) 如果晶體原胞中有多于一個原子格波振動就不僅有聲學(xué)支，還如果晶體原胞中有多于一個原子格波振動就不僅有聲學(xué)支，還有光學(xué)支，它們分別形成頻帶，在頻帶之間可能有帶隙，或者成為有光學(xué)支，它們分別形成頻帶，在頻帶之間可能有帶隙，或者成為頻隙。頻隙。如右圖所示為一共振模：如右圖所示為一共振模：mSolid State PhysicsSchool of Physics, Northwest Universi

46、ty 這時這時，晶體中雜質(zhì)或缺陷可能引入一些新的振動模式頻率落，晶體中雜質(zhì)或缺陷可能引入一些新的振動模式頻率落在頻隙之間，稱為隙模在頻隙之間，稱為隙模。 以一維雙原子鏈為例。以一維雙原子鏈為例。 設(shè)兩種原子的質(zhì)量分別為設(shè)兩種原子的質(zhì)量分別為m1 和和m2 ，而且，而且m2m1 ；雜質(zhì)原子的；雜質(zhì)原子的質(zhì)量為質(zhì)量為m 。 當(dāng)雜質(zhì)原子替代當(dāng)雜質(zhì)原子替代m1 原子（輕的）位置時，若原子（輕的）位置時，若mm1 就可能出就可能出現(xiàn)隙模；若現(xiàn)隙模；若mm1 時則出現(xiàn)高頻模。時則出現(xiàn)高頻模。 當(dāng)雜質(zhì)原子替代當(dāng)雜質(zhì)原子替代m2 原子（重的）位置時，如原子（重的）位置時，如mm2 則出現(xiàn)共振模。則出現(xiàn)共振模。

47、 實(shí)際晶體中局域振動遠(yuǎn)比上述的簡單模型復(fù)雜。實(shí)際晶體中局域振動遠(yuǎn)比上述的簡單模型復(fù)雜。 晶體的表面或界面會出現(xiàn)另一種形式的局域振動，它是局限在晶體的表面或界面會出現(xiàn)另一種形式的局域振動，它是局限在表面附近的一種波，其傳播方向沿著表面，振幅則隨著與垂直表表面附近的一種波，其傳播方向沿著表面，振幅則隨著與垂直表面的距離的增加而指數(shù)減小。面的距離的增加而指數(shù)減小。Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest University局域模：局域模：雙原子鏈雙原子鏈gap模：模：雙原子鏈聲學(xué)共振模：雙原子鏈聲學(xué)共振模：Solid State PhysicsSchool of Physics, Northwest UniversitySummary concept of localized vibrationhigh frequency mode and sympathetic vibration modeinterval mode