《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》07.04

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1、全國(guó)2007年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案 課程代碼：04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分） 1 .設(shè)A為3階方陣，且|A|=2，則|2A」I二（D ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 |2A」| = 23 | A廣=8 1 =4 . 2 2.設(shè)矩陣 A= （1, 2）, B= 1 2 i!, C=” 2 3則下列矩陣運(yùn) Q 4丿 嚴(yán)5 6丿 算中有意義的是（ B ） A. ACB B. ABC C. BAC D. CBA 3 .設(shè)A為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是 （B ） A. A+ A B

2、. A- A C. AA D. AA （a—at）t =at—（at）t =at—a_a — at），所以 A-A為反對(duì)稱矩陣. 4 . 設(shè)2階矩陣A= '"a b ),則 * A=( A ) 匹 d丿 A. d T B. -d c ' i C. —d b ! 1 D. (d -c^ (—c a 丿 3 —a丿 < c —a丿 I—b a 丿 5?矩陣?guó)B的逆矩陣是（C ） A. 0 -門 1 B. 巾—3、 1 C. ■0 —們 i 3丿 0 3丿 -i

3、 <3 丿 （1 D 1 3 L 0丿 彳 0 —10、 6.設(shè)矩陣A= o -2 3 4，則A中（D ） ? 0 0 5 J A.所有2階子式都不為零 B.所有2階子式都 為零 C.所有3階子式都不為零 D.存在一個(gè)3階子 式不為零 7 .設(shè)A為mx n矩陣，齊次線性方程組 Ax=0有非零解的充 分必要條件是（A ） A. A的列向量組線性相關(guān) B. A的列向量組線 性無(wú)關(guān) C. A的行向量組線性相關(guān) D. A的行向量組線 性無(wú)關(guān) Ax=0有非零解二r（A） ::: A的列向量組線性相關(guān). 8 .設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解為〉p,0,2）t

4、 , -=（i,-i,3）t，且系數(shù)矩陣A的秩r（ A）=2，則對(duì)于任意常數(shù) k, ki- ,k2，方程組的通解可表為（ C ） A. ki(1,o,2) T+k2(1,-1,3) (1,-1,3) C. (1,0,2) T+k (0,1,-1) B . (1,0,2) T+k D . (1,0,2) T+k (2,-1,5) 1 9.矩陣A= 1 !1 A. 4 :-=（i,0,2）T是Ax=b的特解，一- -（0,1,—i）T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所 以 Ax=b的通解可表為:k^ ：） .（1,0,2） T+k （0,1,-1） T. 1 1 ) D

5、. 1 11的非零特征值為（ 1 b B. 3 C. 2 人―1 -1 -1 —3 九—3 1 1 1 *E - A 匸 -1 九一1 -1 = -1 九 一1 -1 =仏_3) -1 人一1 -1 -1 -1 Z-1 -1 -1 Z-1 -1 -1 Z-1 1 1 1 =(扎—3) 0九0 =九2（扎—3）,非零特征值為人=3 . 0 0九 10 . 4元二 二次型f （為雞兀兇）=X： +2XM2 +2X1X3 +2X1X4的秩為 (C ) A. 4 B

6、. 3 C. 2 D. 1 1 1 1 1 ' 0 1 1 1x *1 0 0 0、 A = 10 0 0 T 10 0 0 T 0 111 ，秩為2. 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Q 0 0 0」 Q 0 0 0丿 e 0 0 0」 、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） 11 .若a^i芒0,i =1,2,3,則行列式 a〔 b a 1 b 2 a〔 b3 a? b〔 a 2 b 2 a 2 a3b1 a3b2 a3b3 =0 . 行成比例值為零. 12.設(shè)矩

7、陣A 1 2) 1 3 4丿 ,則行列式| AA=_4_ . |ATAUAT||A冃 A|2 = 1 2 3 4 2 =(—2) 2=4 ? 13 .若齊次線性方 數(shù)行列式的值為 14.設(shè)矩陣A= 2 . f +a〔2X2 *813X3 =0 廳程組 込劉+a22X2 +a23X3 =0有非零解，則其系 a31X1 *a32X2 *a33X3 =0 0 . ■'101、 0 2 0，矩陣b=a — e，則矩陣B的秩r( B)= e 0 b e ° 1、 B=A—E= 0 1 0 e o o』 ,r( B)=2 . 15. 向量空間V={x=

8、(Xi,X2,0)| xi,X2為實(shí)數(shù)}的維數(shù)為 2 . 16. 設(shè)向量:-(1,2,3) , -(3,2,1),則向量:-,的內(nèi)積(〉「)=__10__. 17. 設(shè)A是4X 3矩陣，若齊次線性方程組 Ax=0只有零解， 則矩陣A的秩r( A)= _3—. 18. 已知某個(gè)3元非齊次線性方程組 Ax=b的增廣矩陣a經(jīng)初 G —23 —1 ' 等行變換化為：入T 0 2 -1 2 ，若方程組無(wú)解，則 a 衛(wèi) 0 a(a _1) a _1 ; 的取值為 _0_ . a=0 時(shí)，r(A)=2 , r(A) =3 . 19 ?設(shè)3元實(shí)二次型f(X!，X2，X3 )的秩為

9、3,正慣性指數(shù)為2,則 此二次型的規(guī)范形是yj ? y；「必. 秩r =3，正慣性指數(shù)k=2，則負(fù)慣性指數(shù)r—k=3 — 2=1 .規(guī)范形 是 y2 y2 - y3 . q 1 0、 20.設(shè)矩陣A= 1 2—a o為正定矩陣，則a的取值范圍是空. e ° 3」 — 1 1 厶=1 >0，占2 = =1 —a>0 , A3 = 1 ， 2 1 2 —a 3 1 1 0 1 2—a 0 =3(1—a) >0 二 a ￡1 . 0 0 3 三、計(jì)算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54 分) 123 23 3 21.計(jì)算3階行列式 249 49 9

10、367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 = 200 40 9 =0 . 367 67 7 300 60 7  廣1 0 1 ' 22 .設(shè) A= 2 1 0，求 a」 1_3 2 -5」 ? ? 解 『1 0 1 1 0 0^ 0 1 1 0 0、 「1 0 1 1 0 0、 2 1 0 0 1 0 T 0 1 -2 -2 1 0 T 0 1 -2 -2 1 0 I-3 2 -5 0 0 b e 2 -2 3

11、 0 b <0 0 2 7 -2 1 ; 0 2 2 0 0^ ■2 0 0 -5 2 -P 1 0 0 -5/2 1 —1/2、 0 1 -2 -2 1 0 T 0 1 0 5 -1 1 T 0 1 0 5 -1 1 e 0 2 7 -2 b e 0 2 7 -2 1 > e 0 1 7/2 -1 1/2 ’ ‘_5/2 1 -1/2 1 A = 5 -1 1 7/2 -1 1/2 23 .設(shè)向量組〉1(1,一1,2,1)丁, ：

12、2(2,-2,4,—2)t , : 3(3,0,6,-1)t , : 4 (0,3,0,-4)丁 . (1)求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組; (2)將其余向量表為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合. 「1 2 3 0 ? ? 解 -1 -2 0 3 T 2 4 6 0 J -2 -1 _4 / 1 2 0 -3X 卩 0 0 1 0 0 0 1 T T 0 0 1 1 0 0 ? 0 0 0」 0 r1 2 3 0 1 2 0 0 3 3

13、 T 0 -4 0 0 0 0 0 0 e -4 -4 -4」 0 0 -3' 0 0 1 1 0 0丿 3 0 「1 2 3 0 -4 -4 T 0 1 1 1 3 3 0 0 1 1 0 0丿 1° 0 0 0丿 (1)〉1，〉2，〉3是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；(2) 4一3〉1 0： 2 ： 3 . 24 .求齊次線性方程組 x

14、 0的基礎(chǔ)解系及通 X3 +X4 性=0 解. *11 0 0 1、 G 1 0 0 1 入 '1 1 0 0 1 ) 解: A = 11-10 0 T 0 0-10-1 T 0 0 -1 0 - -1 ,0 0 1 1 1 ,00111 l0 0 0 1 0 ) I J J % = -x2 一 X5 「廠 〔―1 1 1 0 0 P x2 = x2 1 0 T 0 0 10 1

15、,」 X3 = -x5 , 基礎(chǔ)解系為 0 -1 ?0010, x4 = ：0 0 0 X5 二 X5 0丿 11 二 ki(-1,1,0,0,0)T + k2(_1,0,_1,0,1)T . ,通解 25.設(shè)矩陣 A= 2'求正交矩陣 巳使P'AP為對(duì)角矩陣. 解:| 入E _A| = -2 -1 =(? _1)2 _4 = * 一2?一3=（「1）（?一3），特征值 對(duì)于’1 - -1 ，解齊次線性方程組 (E -A)x =0 : ■E -A = -2 -2

16、-2 it 一2丿 1° X1 = -X2 ■i 0 ' x2 =x2 ，基礎(chǔ)解系為 —，單 位化為'「「2 1= <1丿 對(duì)于’2=3，解齊次線性方程組 CE-A）x=0 : 'EM：；卜（°訂，｛：：：：：，基礎(chǔ)解系為。2=（；）,單位 〉2 「 1 1 令卩=￥哼，則p是正交矩陣，使 < <2 V2 j 1 P AP J1 26.利用施密特正交化

17、方法，將下列向量組化為正交的單位 （1 (1 向量組: 解：正交化，得正交的向量組: ■V ■‘1/2、 1 卩心（。2‘優(yōu)）卩 0 1 1 —1/2 0 ，2 - 2 関 |2 4 - 1 0 1 ?丿 I0丿 1°丿 < 0丿 單位化，得正交的單位向量組: ■1、 R 1 1 1M/2 0 0 6 < 0丿 1 1 HTi *1/2 ' 〔1/康、 2 -1/2 -1/V6 J6 1 2/76 < 0丿 <

18、 0丿 四、證明題（本大題 6分） 27.證明：若A為3階可逆的上三角矩陣，則 a4也是上三角 矩陣. 證：設(shè)A = 其中A12 所以A」 mi 0 0 a23 a33 A11 0 <0 al2 a22 0 A22 0 A13 A1 |A| A21 A23 A A32 ， A33 ； 0 0 A12 ^A13 a11 0 a12 0 =0 A31J A32是上三角矩陣. A33 J