《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》07.10

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1、全國2007年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案 課程代碼：04184 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分） 1.設(shè)行列式 a2 b2 =1 , a〔 C[ a2 C2 =2, 則 a1 a2 b| +c) b2 +c2 =(D ) A . -3 B. -1 C. 1 D. 3 a1 b| — a1 b| + a1 C1 =1+2=3. a 2 b? * C2 a2 b2 a? C2 2 .設(shè)A為3階方陣，且已知|-2A| = 2，則|A|= （ B ）

2、 A ? -1 B ? V C 寸 D - 1 3 i -AR , (I)〔AH , |A一 4 . 3.設(shè)矩陣A, B , C為同階方陣，則（ABC）— （ B ） A . AtBtCt B. CtBtAt C. CtAtBt D. AtCtBt 4.設(shè)A為2階可逆矩陣，且已知（2A）』」2],則A=（ D 住4丿 (2 A) ■1 2] <3 4丿 ■1 2、 2 <3 4 丿 C. ■1 2] <3 4丿 (1 2^ 2A= J， A =「 2 <3 4) 5 .設(shè)向量組〉1,〉2,i,〉s線性相關(guān)，則必可推出（ C ）

3、 A . ：-1^-2^-,：s中至少有一個向量為零向量 B .宀宀,…宀中至少有兩個向量成比例 C . ：-1^-2，…宀中至少有一個向量可以表示為其余向量的線性 組合 D . ：-1^-2^',：-s中每一個向量都可以表示為其余向量的線性組 合 6. 設(shè)A為m^n矩陣，則齊次線性方程組 Ax=0僅有零解的 充分必要條件是（ A ） A . A的列向量組線性無關(guān) B . A的列向量組線 性相關(guān) C. A的行向量組線性無關(guān) D . A的行向量組線 性相關(guān) Ax= 0僅有零解二r（A）二n二A的列向量組線性無關(guān). 7. 已知1「2是非齊次線性方程組 Ax=b的兩個不同的

4、解，：-1/-2 是其導(dǎo)出組 Ax=0的一個基礎(chǔ)解系， Ci,C2為任意常數(shù)，則方 程組Ax=b的通解可以表為（ A ） 1 A . 2（丹■血 ）+& a^i +C2（ a + a2） B . 1 2 （ b 一 隔）+G a +C2（ai+ a2） 1 C . 2（ 卩2： ）Ci a C2（目一役） D . 1 2（目一卩2） +C1 a +C2（ B + 禺）  2（已+卩2）是Ax=b的特解，8,8 +%是Ax=0的基礎(chǔ)解系. &設(shè)3階矩陣A與B相似，且已知 A的特征值為2,2,3，貝U 9.設(shè)A為3階矩陣， 值為（B ） 且已知|3A

5、 2E| = 0，則A必有一個特征 C. |3A +2E| = 0 二 2 ——E —A 3 宀A必有一個特征值為-1 . 10 .二次型 f（X1, X2，X3）=xj * X； x3 2X1X2 4X1X3 的矩陣為（C ） |3A+2EU—IE"""必有一個特征值為 冷? A .丄 B. 1 C. 7 12 7 *2 0 0 * 2 0 0 B相似于 0 2 0 ,|B|= 0 2 0 =12 , |B」冃B|」 1° 0 3 丿 0 0 3 1 12 q 2 4" '^12

6、4^ 1 2、 ?1 1 0' A . 2 1 0 B. 0 1 0 C . 1 1 0 D . 1 1 2 計0 0 b <2 0 <0 2 b 、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） *120" ,Z1 0 0x 勺2 0" 11 .設(shè)矩陣A= 2 1 0 ,B= 0 2 1 ，貝》A+2B= 2 5 2 Q 0 1丿 <0 1 3」 <0 2 7」 ■0 1 3" ■' 0 -5 2、 12 .設(shè)3階矩陣A= 0 2 5 ，貝y（

7、at），= 0 3 -1 <2 0 0丿 Q/2 0 0」  巾 0 2 1 0 0^ ■1 2 0 0 1 0叫 ■1 2 0 0 1 0、 (AT,E)t 1 2 0 0 1 0 T 3 5 0 0 0 1 T 0 -1 0 0 -3 1 <3 5 0 0 0 1丿 1° 0 2 1 0 0丿 0 2 1 0 0丿 1 0 0 0 -5 2 ' 0 0 0 -5 2、 廣0 -5

8、2、 T 0 -1 0 0 -3 1 T 0 1 0 0 3 -1 ,(AT 宀 0 3 -1 0 2 1 0 0丿 e 0 1 1/2 0 °」 J/2 0 °」 ‘1 0 0 * ■令 0 0、 13 .設(shè)3階矩陣A= 2 2 0 ，貝y a*a= 0 6 0 <3 3 3 丿 e 0 6丿 1 0 0 乞0 0入 A*A 斗A|E = 2 2 0 E =6E = 0 6 0 ? 3 3 3 0 6 丿 14.設(shè)A為

9、mxn矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r, 則矩陣B=AC的秩為 r . B=AC，其中C可逆，則A經(jīng)過有限次初等變換得到 B，它 們的秩相等. 15 .設(shè)向量。=(1,1,1)，則它的單位化向量為 冷土丄I 16 .設(shè)向量 ％ =(1,1,1)T，口2 =(1,1,0)T , ?3 =(1,0,0)T , P =(0,1,1)T，則 R 由 〉1，〉2，〉3線性表出的表示式為7 =：1 0〉2 -〉3 . V V k1 + k2 + k3 =0 設(shè) P =&% +k2^2 +k3°3 ,即 1 =k[ 1 * 1 0 ,"I

10、 k1 + k2 =1 , 7丿 1丿 ?丿 ?丿 k =1  ki =1 k2 = 0 ? k3 = -1 Jxi X2 - X3 = 0 17 .已知3元齊次線性方程組 2X1 3X2 *X3=0有非零解，則 x1 2x2 3x3 =0 a=__2__ 1 1 -1 1 0 0 1 a+2 2 3 a = 2 1 a十2 — =2 —a =0 , a =2 . 1 4 7 1 2 3 1 1 4 1

11、8.設(shè)A為n階可逆矩陣，已知A有一個特征值為2,則(2A)」 必有一個特征值為1. 4 -=2是A的特征值，則(2 ?廠」是(2A)」的特征值. 4 勺a 0) 19.若實(shí)對稱矩陣 A= a 1 0為正定矩陣，則 a的取值應(yīng)滿 I。0 a』 '2 1 1 Z1 -1 1 -門 A = !T ! J -1丿 <2 1丿 <0 3丿 ,秩為2. 足 0 ：：： a ：：： ? 3 . 3 a 2 △1 =3 >0，也2 = =3 —a >0，也3 = a 1 3 a 0 a 1 0 0 0a = a(3-a

12、2)〉0n 0￡a“3 . 20 . 一 次型 f(X1,X2)=2xj +2X1X2 -X；的秩為 2 三、計算題(本大題共 6小題，每小題9分，共54分) 21 .求4階行列式 的值. 解: 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 0 3 1 0 0 0 1 1 3 1 1 0 2 0 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 2 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3

13、 = (123,4), 22 .設(shè)向量 — (1,—1,2,0),求(1)矩陣嚴(yán)；(2 )向 量〉與］的內(nèi)積(：」). 解: (1) ￡ '1 -12 0、 2 2-240 1,-1,2,0 }= 3 3—360 盼丿 宀 -4 8 0』 A4 (2) (:,J =1 -2 6 0=5 . 23. 設(shè)2階矩陣A可逆，且 ?1 a2 b2 F2 - & J令 B=P1AP2 '求B」 解: 『1 -2 I 1 ,P2J B4 =P/a」p/ = 1］何 0丿占 a?)。 b2 .丿 ? -

14、2 = b \_a1 b2〕0 a2 L0 b2 -2b1 a2 -紹 24 求向量 組：1 =(1,1,1,3)T ：2 *1,-3,5,1)丁 , = (3,2-1,4)t , ：4 =(-2^6,10,2)T的秩和一個極大線性無關(guān)組. 解: 1 -1 3 -2 1-3 2-6 T 15-110 3 14 2 1-13-2 0 -2 -1 -4 0 6 -4 12 1-13-2 0 -2 -1 -4 0 0—70 1 -1 3 -2 0 -2 -1 -4 0 0-70 衛(wèi) 0 0 0

15、 秩為3, ：-1^-2,： 3是一個極大線性無關(guān)組. x1 x2 x3 = a - 3 25 .給定線性方程組T Xi +ax2 +X3 =-2 . Xr +x2 +ax3 = —2 (1) 問a為何值時，方程組有無窮多個解； (2) 當(dāng)方程組有無窮多個解時，求出其通解(用一個特解 和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示) 解: 1 1 1 a -3、 廣1 1 1 a -3、 1 a 1 -2 T 0

16、a -1 0 1 — a 1 a 一2」 1° 0 a -1 1 -a」 a=1時，方程組 '0 26.求矩陣A= -1 有無窮多解; 1 1 1 —2、 X1 —_2 — x? — X3 A T 0 0 0 0 ,彳X2 =X2 ，通解為 <0 0 0 0 > ― x3 S cr 0 1 + k2 0 <0」 3」 0 -1的全部特征值及對應(yīng)的全部特征向 —1 0」 解: Z 1 1 人+ 2 1 1 1

17、1 1 1 1 1 |矩—A| = 1 丸 1 = 丸+ 2 & 1 =(九 +2) 1 丸 1 =仏 +2) 0 丸一1 0 1 1 f. 丸+ 2 1 1 1 扎 0 0 丸-1 =('-1)2 (- 2),特征值 - -2 , ' 2 蟲3 =1 .  對于’1二二，解齊次線性方程組 CE—A）x=0 : ‘1 1 _2、 ■1 0 -1 卜1 =X3 ■1) T 0 1 -1 T 0 1 -1 ,

18、 e 0 0丿 卜3 =X3 k,z 對應(yīng)的全 部特征向量為 （k是任意非零常數(shù)）； r_2 1 1 廣 1 1 —2、 q 1 —2、 q 1 —2' 止—A = 1 -2 1 T 1 -2 1 T 0 -3 3 T 0 -3 3 J 1 -2> <-2 1 1」 e 3 -3」 1° 0 °」 解齊次線性方程組（七— A）x=O : ，對應(yīng)的全部特征向量為 k^ i k^ 2 ( ki,k2是不全為零的 ?111、 ?111、 X1 = —x2 — x3 p-n ?￡ -A = 1 1 1 T 0 0 0 ,