《《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)08.10》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)08.10（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、全國2008年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案
課程代碼：04184
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20 分）
1 .設(shè)A為3階方陣，且中=1，則內(nèi)二（A ）
2 .設(shè)A、B為n階方陣，滿足a^b2，則必有（D ）
A . A = B
C. |A|=|B|
A . -9 B. -3 C. -1 D . 9
B . A = -B
D . |A|2=|B|2
貝U AB -BA =
‘1 0 ]
<0
3.已知矩陣A= ? 1」，B= e j丿
A *10\ D G 1 'I
A . B.
「2 —1.丿 <0 —1丿
0 0)
2、
? 0丿
設(shè)A是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與
A等價的矩陣是
(
D
)
0
0、
■q 0)
A .
1
B .
i
0丿
<0 0丿
4 .
5.設(shè)向量-：? = (a1, b1 ,c1), - (a2, b2 , C2),
a 1、
C . 10 0.J
■‘1 1]
<0 1丿
-^ = (a1 ,b1,c1, d1), - 2 - (a2 , b2 ,c2 , d2 ),
1 0、
1
q 0)
■1 1、
1 —
(2 1 )
n
■1 1、
1 —
（1 0、
Q 1廠
3、j 1丿
e -1廠
I-1 -1廠
Q 0廠
(-2 -1丿.
& 1 |!
I。-1丿
F列命題中正確的是（ B ）
若〉1,〉2線性相關(guān)，則必有
線性相關(guān)
若：-1^2線性無關(guān)，則必有
C.
若"「2線性相關(guān)，則必有
若『2線性無關(guān)，則必有
1
2
-1
可為(A
A . (52-1)
6.已知
是齊次線性方程組 Ax=0的兩個解，則矩陣 A
-3 1
I
1 1
C.
‘1 2 -3''
<2 -1 7 丿
p、
(5,-3,-1)
2
=0 , (5,-3 -D
3
=0
4、.
cb
I1丿
D.
-1
-2
1丿
1 2
-1 2
-5 3
7.設(shè)mx n矩陣A的秩r（A）= n-3 （ n>3）, ?，為丫是齊次線性方
程組Ax=0的三個線性無關(guān)的解向量， 則方程組Ax=0的基礎(chǔ) 解系為（D ）
A a B a 十 0 B B Y f _ 0 C a - 0 0 一？？ -a
D .a ,a+B,ct + 0+了
其中只有二J 7很亠）亠，線性無關(guān).
0
0 '
8.已知矩陣
A與對角矩陣D=
0
-1
0
相似，則A2 =
?
0
T」
(C )
5、
A . A
B. D C. E
D . - E
存在 P，使 P」AP=D , AuPDP」,A2 =PD2P」=PEP」=PP」=E . -001、
9.設(shè)矩陣A= o 1 o，貝V A的特征值為（D ）
0 o」
A . 1, 1, 0 B. -1 , 1, 1 C. 1, 1, 1
D. 1, -1 , -1
| 丸E -A| =
X 0 -1
0 Z-1 0
-1 0 九
九一1 o O
=（九 _1） =（九—1）（九2 —1）=（九一1）2 伍+1）.
-1 人
10.設(shè)A為n （ n_2）階矩陣，且a2=e，則必有（C ）
A
6、 . A的行列式等于1 B . A的逆矩陣等于
E
C. A的秩等于n D . A的特征值均為1
|A|2’ |A|=o, A 的秩等于 n.
、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）
11.已知行列式
a 2 1
2 3 0
1 -1 1
=0，則數(shù) a = 3 .
a 2 1
2 3 0
1 -1 1
=
a -1 3 0
2 3 0
1 -1 1
a —1 3
= =3（a —3） =0 , a =3 .
2 3
12?設(shè)方程組2瓷弓0有非零解，則數(shù)k = __4__
1 2
2 k
=k 一4 =0 , k =
7、4 .
'1 0 2
'1 0 2、
'1 0 2
0 1 1
T
0 1 1
T
0 1 1
，秩為2,則t=3 .
0 5 t +2
0 5 t +2
0 0 t —3
a 0 4丿
? 0 0 y
卩 0 0 y
13.設(shè)矩陣A=
21 0 -3，B=
；57［則心
-3 3 -3
3 5 7
-9 -11 -19 ;
‘2
0
1
-1
1
-3
?42 L
3
-3
3
—9
3
5
-11
-3
7
-19
14.已知向量組
■Z1、
8、
廣2、
0
s =
1
,。3 =
1
0
5
t +2
J
1。」
I 4丿
的秩為2,則數(shù)t=__3
15.設(shè)向量。=（2,一1,右1）,則。的長度為一5/2.
16 .設(shè)向量組：1=(123) , : 2 =(4,5,6) ,： 3 =(3,3,3)與向量組 he等
價，則向量組P1^2,?3的秩為 2
q
2
3 '
q
2
3 '
Z1
2
3、
4
5
6
T
0
-3
-6
T
0
-3
-6
e
3
3丿
<0
-3
-6丿
<0
0
0丿
9、
,秩為2.
17 .已知3階矩陣A的3個特征值為1,2,3，則|a*__36.
| A |=|A|nJl 斗 A|2 =(1 2 3)2=36 .
18.設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值為、「2二3宀=0，則r（A）=
'3 0 0 '
A 相似于 0 3 0 , r(A)=2.
2 0 0 J
19
矩陣 A=
廣1
2
4
2
2
-1
4
-1
3」
2 2 2
=x1 2x2 3x3 4x1 x2 8x1x3 - 2x2x3 .
20.設(shè)矩陣A=
f_2 0、
I。1丿
，則二次型
xT Ax的規(guī)范形是y； _ y2 .
10、xTAx =—2xj x； -yf，其中 y^X2 , 屮 =、2x1
三、計(jì)算題（本大題共
6小題，
每小題
54分)
21.計(jì)算行列式
1
1
3
1
2
0
-1
2
3
1
-1
0
4
2
0
—5
的值.
解:
1
2
3
4
1
2
2
2
2
2
2
2
0 0
1
0
1
2
1
0
0
0
=
=-
-1
-4
-6
=-
-1
-3 -5
11、
3
-1
-1
0
3
-1
-4
-6
2
-1
-7
2
-3 -9
1
2
0
-5
1
2
-1
-7
-3
-3
二-2(27 -15^-24 .
22.已知
A=
「1 4]
-1 2丿
B=
2
-1
0,C=
'3
:，矩陣X滿足AXB=C,
求解
解:
(AE)
1
-1
1
4 1
0)(
|T
6 1
1丿I
12
6
0
1 '
1 -2
1 1
1
12、/3
1/6
-2/3
1/6 ，
A，
1/3
1/6
-2/3 .
1/6 ；
Z2
0
1
0)
It
-1
1
0
1丿I
(BE)
2 0
-2 2
2
<0
0
It
2
1
<0
1/2 0
,
1/2 1
ba
'1/2
Q/2
1/3
J/6
_2/3]f3
1/6 .L0
13、
1 V1/2
0} 1 '2 _4稈3
I ^=
1廠12 V 1丿芒
Of1
-1 丿 I1
1
12
6)
1
0)
1
'12 12、
1 —
5
0丿
I1
l~
2丿
12
2 o丿
山4
-1 1\1/2
■6
<3
1
0
g =(1,1,1)T 下的
23 .求向量]=(3,-1,2)T 在基：1 =(1,1,2)T , ： 2 =(-1,3,1)丁 , 坐標(biāo)，并將1用此基線性表示.
解：設(shè) 1 =x^1 x^ 2 x^ 3，即(3,-1,2)丁 =為(1,1
14、,2)丁 x2^1,3,1)T X3(1,1,1)T，
得
x1 -x2 +x3 =3
1
-1
1
3 '
1
-1
1
3 '
1
-1
1
3 '
x1 +3x2 + x3 = -1 ,
A =
1
3
1
-1
T
0
4
0
-4
T
0
1
0
-1
2禺 +x2 +x3 =2
<2
1
1
2」
1°
3
-1
一4」
1°
3
-1
一4」
1
-1
1
3、
'1
-1
1
3 '
Z1
-1
0
2 '
'1
0
15、
0
1、
T
0
1
0
-1
T
0
1
0
-1
T
0
1
0
-1
T
0
1
0
-1
0
-1
-b
<0
0
1
1 >
<0
0
1
1 >
<0
0
1
1 >
X1 =1， X2 - -1， X3 =1 .
:在基〉1,〉2,〉3 下的坐標(biāo)是（1,-1,1） , 2=：1-〉2*3 .
24 .設(shè)向量組〉1，〉2，〉3 線性無關(guān)，令：1 =Y1 ? >3 , 一 2=2, 2 - 2、3 ,
飛=2〉1 -5〉2 3匕，試確定向量組-1, -2, -3的線性相關(guān)性. 解
16、：設(shè) k1 ：1 - k2 -2 k3 -3 =0，即
&(-： 1 ： 3) k2(2： 2 -2： 3) k3(2： 1 -5： 2 3 3)=0 ,
(* 2k3)：1 (2k2-5k3)： 2 (k1-2k2 3k3)： 3=0 ,
由：-1^-2^-3線性無關(guān)，得
2k3 =0
-10 2
0-2 5
-2 5
0 2-5
=
0 2-5
=
2 -5
1 -2 3
1 -2 3
=0，有非零解，％,%,曳線性
2k2 - 5k^ = 0 ， ki -2k2 +3k3 =0
相關(guān).
17、
25.已知線性方程組
x1 x2 ：：；■ ‘x3 = -2
x^' ,.x2 x3 = -2 ，
■ x1 x2 x3 - ■ -3
（1）討論?為何值時，方程組無解、有惟一解、有無窮多個
解.
（2）在方程組有無窮多個解時，求出方程組的通解（用一
個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）
q 1^-2^
q
1 九
-2、
解:
A =
1X1 -2
T
0
Z-1 1—人
0
& 1 1九-3』
<0 1
—九1—幾2
3k -3 /
1
1
&
_：
2 "
T
0
x -1
1 一
18、 二
0
?
0
(1—対(丸+2) 3(丸-
一1）」
（1 ） ，一2時無解，一且時惟一解， 時有無窮多個
解.
'1 1 1 -2
(2 ) h =1 時，AT 0 0 0 0
? 0 0 0
X1 = -2 - X2 _ X3
x2 = x2
通解為
X3
G
0
+ ki
i
+ k2
J
i0」
I0」
J」
26.已知矩陣
1 i r
A= i i i，求正交矩陣
I i i』
P和對角矩陣上，使
解:
九—i
-i
-i
人—3
19、
-i
-i
i
-i
-i
*E —A| =
-i
丸—i
-i
=
人—3
丸—i
-i
= (k—3)
i
丸—i
-i
-i
-i
九—i
k—3
-i
丸—i
i
-i
丸—i
i 0 0
=(九—3) i九0 =泊(九—3)，特征^值 扎="扎2 = 0 ,
i 0 k
E —A =
-i
=0
-i
-i
，解齊次線性方程組
(E - A)x=0 :
-i
-i
Xi
-X3
X2
X3
X2
,基礎(chǔ)解系為
s
r-r
i
, ^2 =
0
, 正交化
20、：令?i =
1
1°丿
U丿
-i
-i
0
0
0
：i
G'2, -i)
SI2
1
r-i>
l'-i/2 A
0
1
-i/2
2
J丿
i°丿
I 1丿
'i
〔—i/Q
1
=
i/VF
<0丿
< 0丿
i
■. 2
，Z-i/2 '
i/V6'
2
-i/2
—
-im/6
V6
L 1丿
2/76
< j
2
對于'3=3，解齊次線性方程組
(E -A)x =0 :
21、
-1
-P
廣2
-1
-1、
‘2
-1
-P
-1
-1、
入E — A =
-1
2
-1
T
-2
4
-2
T
0
3
-3
T
0
3
-3
L_1
-1
2>
i_2
I
-2
4」
.0
I
_3
3」
.0
\、一
0
°」
%
◎
-1
0
-2、
「1
0
-p
22、
j
X1
T
0
1
-1
T
0
1
-1
T
0
1
-1
,丿
x2
e
0
°」
<0
0
°」
<0
0
°」
二 X3
基礎(chǔ)解系為
V
1
a」
單位化:
n3
a
U'3 |
1
.3
1/V3 .
'-1^;2 -1/46 1/*W
■b 0 0、
令P =
1/42 -1/46 1/J3
,人=
0 0 0
0 2 M/6 1/V3
< j
e 0 3丿
，則
是正交矩陣，
使P」AP -A.
四、證明題（本題 6分）
27.設(shè)為
23、非齊次線性方程組
Ax=b
的一個解，
1, 2/'，r 是其
導(dǎo)出組
Ax=0的一個基礎(chǔ)解系.
證明
,1, 2,…，r線性無關(guān).
證：設(shè)
k 幻 1 k2 2 亠 亠 kr r = 0 ,
A(k & ] k2 2 亠 亠 kr r) =0 ,
kA k1A 1 k2A 2 肚7'krA r =0 ,
kb k10 k20Z」^kr0=0 ,
kb=0 ,
k =0
(1)
從而
ki 1 * k2 -2 ： : k「= 0 ,
由1, 2,…，r線性無關(guān)，得
(2)
由（1） （ 2）可知 —2,…，「線性無關(guān).
《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)08.10
