《高等教育自學(xué)考試》《線性代數(shù)》(試題及答案)09.07

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1、 全國2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試 題答案 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 1 .設(shè)A, B , C為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立 的是 ? ? ? (C ) A . (A B)T 二 At Bt B . |AB|=|A||B| C. A(B C)=BA CA D . (AB)T =BTAT A(B C) =AB AC，未必等于 BA CA . an a12 a13 2a11 2a12 2a13 2.已知 a21 a22 a23 =3，那a?1 a22 a23 = ( B ) a31

2、 a32 a33 —2a31 —2a32 —2a33 A . - 24 B . -12 C. - 6 D. 12 2a〔1 2a 12 2a〔3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 =2 x(—2)x a21 a22 a23 =2X(-2)X3 = —12 . 2a31 — 2a32 — 2a33 a31 a32 a33 3.若矩陣a可逆，則下列等式成立的是（ C ） A. A 說 A* B ?內(nèi)=0 C . (A2)—=(a4)2 D . (3A) 4^3A_1 A2(A4)2 =(AA4)^E2 =e

3、, 所以(A2)?(A「2 . .右A = 1 -2 5 2 ， _4 B = —2 ：2 13 1 0 3- - c 2 ；，則下列矩陣運(yùn)算 -1 2 的結(jié)果為3 2矩陣的是（ D ） A . ABC B . ACTBT C. CBA D. ctbtat A與C都是2 3矩陣，由此可以將前三個(gè)選項(xiàng)排除. 5 .設(shè)有向量組 A : 〉1,〉2,〉3,〉4，其中〉1,〉2,〉3線性無關(guān)，則 （A ） A . ：'1, ：'3線性無關(guān) B . ：'1, ：'2/'3/-4線性無關(guān) C. ：j,〉2，〉3，〉4線性相關(guān) D .〉2，〉3，〉4線性相關(guān)

4、整體無關(guān)二.部分無關(guān). 6.若四階方陣A的秩為3,則（ B ） A . A為可逆陣 B .齊次方程組Ax=O有非零 解 C.齊次方程組Ax=0只有零解 D .非齊次方程組 Ax =b必有解 |A|=0 , Ax=0有非零解. 7 .設(shè)A為m n矩陣，則n元齊次線性方程Ax=0存在非零解的 充要條件是（ B ） A . A的行向量組線性相關(guān) B . A的列向量組線 性相關(guān) C. a的行向量組線性無關(guān) 性無關(guān) D. a的列向量組線 Ax =0存在非零解的充要條件是 r（A）

5、 0 0 0【 0 -1 1 .2 j 1 '0 C. COS v |- sin -sin v | cos 「72/2 0 ^2 / 2 1/6 、6/6 、-10/6 V3/3 - -閃/3 -V3/3 10 0 10 0 -1 0 ]0 0 1一衛(wèi) 0-10 0 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0-10 0 0 1 b 0 j一 衛(wèi) 0 1一 二次型f =xtAx （ A為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是 a . a可逆 B. |A|>0 C. a的特征值之和 1大于 0

6、 D . a的特征值全部 大于0 ■k 0 0 ] 10.設(shè)矩陣 a = 0 k -2 正定， 則 ( C ) 0 -2 4 一 A . k>0 B ."0 C k A1 D .心  k 0 2 k 0 0 D1 =k a0 , D2 = 0 k =k >0 , D3 = 0 k -2 = 4k(k —1) >0 二 k >1 . 0 -2 4 、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分）

7、11. 設(shè) A=(1,3,—1)，B=(2,1)，貝廿 AtB= （1、 廣2 1 ' atb = 3 2,1)= 6 3 <1丿 廠2 -1」 2 12.若 1 k 1 0 3 1 =0，貝H k = 2 1 An 2 0 A12 = — = -6 , 0 3 ' - 0 _6 0 1 * A = _6 3 0 2 _1 _4 0 1 A13 1 A”。 =3 , 3 A31 A32 A33 =0 _2 =0 2 1 0 1 3 1 k 2 1 = 2

8、 1 0 1 -k 1 0 k 2 1 I 2 1 = =k+1=0 , k = —1 . 1 -k 1 、 |1 2 0| 13.設(shè) A = 2 0 0 p 1 3 一 ，則 A = . 14.已知 A2—2A—8E=O，貝y (A+E)'= 由 A2-2A-8E=O，得 A2-2A-3E=5E , (A E)( A - 3E) = 5E , (A E) 1A-3E 二 E，所以(A E)4」A-3E . 15 5 丿 5 5 15 . 向量組 冷=(1,1,0,2),〉2 =(1,0,1,0), >3 =(0,1,-1,2)的秩為 1 1 0 2、

9、 1 1 0 2、 1 1 0 2、 1 0 1 0 T 0 -1 1 -2 T 0 -1 1 -2 ，秩為2. e 1 -1 2丿 e 1 -1 2丿 e 0 0 0丿 16.設(shè)齊次線性方程Ax=O有解?，而非齊次線性方程且 Ax=b有 解J則?杓是方程組 的解. 由 A =0 , A =b，可得 AC： -二)=A> …A =0 ■ b = b，即匚一二是 Ax = b 的 解. 17 .方程組的基礎(chǔ)解系為 X2 +X3 =0 / a / 、 Xi = X3 1 A=0

10、1/2 —3/2 0 |T f1 0 一1 1 妝2=-X3，基礎(chǔ)解系為-1 ? e i i 丿 2 1 1 丿'J A= 1/2 2 0 廠3/2 0 -3 iX3 = X3 I 1」 18 .向量〉=(3,2,t,1),，(t,—1,2,1)正交，貝y t 二 . 由 C) =0，即 5t -1 =0 , t =1 . 5 19 .若矩陣A= 1 0與矩陣3 b相似，則x二 0 4 3 X 相似矩陣有相同的跡，所以1 ^3 X , x=2. 20 .二次型 f(X1 ,X2, X3) =X12 2x| - 3x| X1X2 -3X1X3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是

11、 三、計(jì)算題（本大題共 6小題，每小題 共 54 分) 21 .求行列式 1 4 2 7 -3 0 0 6 4 3 2 -2 0 5 -2 2 的值. 解：D 1 -3 4 0 1 -3 4 0 4 3 5 1 3 8 4 0 3 5 4 0 3 5 —-_3)匯 2 2 -2 =3疋 0 2 0 2 0 2 -2 2 0 2 -2 9 6 2 3 6 8 7 6 -2 2 9 0 6 2

12、 =3 2 22 ?已知V 3，-：3 -1 1 -1 2 D」 陣X滿足方程AX ? BX =D -C ，求X . 解：由 AX BX =D -C ,得(A B)X 二 D -C 于是 4 X =(A B) (D -C)二 23 .設(shè)向量組為 ：4 =(4,以,3,-5) 解: 2 1 0 -2 -2 1 3 -1 0 -2 -1 I 1 -3 I 一2 ：1 =(2,0,-1,3) 求向量組的秩， 二3 =(-5,6,-5,9), 并給出一個(gè)極大線性無關(guān)組. 廣2 3 -5 4 廣-1 1 -5

13、 3 1 1 -5 3 ' 0 _2 6 _4 T 0 —2 6 —4 T 0 -2 6 —4 -1 1 -5 3 2 3 -5 4 0 5 -15 10 I3 _1 9 -5丿 <3 _1 9 -5」 <0 2 _6 4丿 巾 -1 5 -3、 r1 0 2 -1 ' 0 1 -3 2 T 0 1 _3 2 0 5 -15 10 0 0 0 0 ?

14、 2 -6 4丿 <0 0 0 °」 向量組的秩為2, ：-1^2是一個(gè)極大線性無關(guān)組. 24.求?取何值時(shí)，齊次方程組 |■■4)x1 3x2 = 0 4x1 x3 =0 有非零解？并 -5咅 x2 - x3 =0 在有非零解時(shí)求出方程組的通解. 解: 3 0 人+ 4 3 0 0 1 = -1

15、丸 0 丸 -1 -5 -1 九+4 |A|= 4 -5 -4 ■ 3)e 1), —3時(shí)， ■■■■■■4 -1 一1時(shí)， 2 =-(■2 4 3) 方程組有非零解; n 3 0、 廣1 3 0、 「1 3 0^ z4 12 0、 A = 4 0 1 T 0 -12 1 T 0 -12 1 T 0 -12 1 r-5 -3 -1」 2 12 -1」 2 0 0」 i0 0 0」 ■ - -3 ^或 ■ 1 X1 '4 0

16、 '1 0 1/4、 T 0 -12 1 T 0 1 —1/12 e 0 °」 1° 0 0」 _4X3 X2 X3 12 3 ,通解為 12 k為任意 X3 X3 實(shí)數(shù); '4 4 0、 '4 0 p '1 0 1/4 ' T 0 -4 1 T 0 -4 1 T 0 1 -1/4 ? 0 °」 e 0 °」 <° 0 0」 1 X-1 X3 1 4 3 4 X2 J3， 通解為 X3 *3

17、 3 0 ” r 1 1 0 1 1 0、 「1 1 0 A = 4 0 1 T 4 0 1 T 0 -4 1 T 0 -4 1 廠5 -1 -b C5 -1 -b <0 4 J <0 0 °」 ■ =-1 時(shí)， l為任意實(shí)數(shù). _1 —6 25.設(shè)矩陣A= 0 -5 0 6 -3 -3 ,求矩陣A的全部特征值和特征向量. 4 九_(tái)1 6 3 九+ 5 3 0 ^+5 3 =仏—1) -6 九—4 0 -6 丸—4 解：| ￡ —

18、A|二 =（九一1）（九2 +幾一 2） =('-1) 2 (“ ;；i，2)，特征'3=-2 , ，1 =，2=1 . ，解齊次線性方程組 (E -A)x =0 : 6 3、 巾 6 3、 Id 1 1/2、 疋—A = 0 6 3 T 0 0 0 T 0 0 0 _1 1 ,0 -6 -3 ,0 0 °丿 ,0 0 0 1 J j x^x1 對(duì)于’1 =，2 =1 冷X3，基礎(chǔ)解 X3 ■1、 『0、 系為 a1 = 0 ，鼻2 =

19、 -1/2 < 1」 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 人：j k2： 2 , k1 ,k2 是任意不全為零的常數(shù); 對(duì)于’3=-2，解齊次線性方程組（?E—A）x=0 : (-3 6 3 \ (-3 0 —3、 卩 0 ：X1 =-x2 AE — A = 0 3 3 T 0 3 3 T 0 1 1 ,

20、26 .用配方法求二次型f區(qū)必風(fēng)）4xf xf -2X1X3 4X2X3的標(biāo)準(zhǔn) 形，并寫出相應(yīng)的線性變換. 解: f (x1 ,x2,x3) =x1 4x； xf -2x^3 亠4x2x3 = (xj - 2xrX3 亠 xj) (4xf 4x2x3 xf) _ xj = (xi - x3) ' (2x2 x3) - x3 作可逆線性變換 yi =為 -X3 y2 二 2Xf X3 , 丫3 二 X3 得標(biāo)準(zhǔn)形 f =y2 yf - yf. 四、證明題(本大題共 1小題，6分) 27.證明：若向量組〉l，〉2，i，〉n線性無關(guān)，而 + —「：n, J 「：'2,飛?

21、>3,…，訂*n , 則向量組+，2：=線性無關(guān)的充要條件是 門為奇數(shù). 證 : 設(shè) k1 k2 - kn 訂=0 , 即 K *2)〉1 化 k3)〉2 「ki kn)〉n 丸, k +k2 =0 由：-i/2/Vn線性無關(guān)，可得齊次方程組 k2 ^^0，其系數(shù) k1 kn =0 行列式 |A| = 1 1 0 0 0 0 1 0… 0 0 0 0 1 1 … 0 0 -- --- +(-1嚴(yán) 0 1 … 0 0 1 1 … --- — --- --- 0 1 0 0… 1 1 =1 (-1)1n, 當(dāng)且僅當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， |A>0，齊次方程組只有零解， j②…，訂線性無關(guān).