高中數(shù)學導數(shù)及其應用微積分基本定理二 蘇教選修PPT課件

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1、1.理解定積分的幾何意義，會通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積.2.掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法.3.通過具體實例了解定積分在物理中的應用，會求變速直線運動的路程和變力做功的問題.學習目標第1頁/共36頁欄目索引知識梳理 自主學習題型探究 重點突破當堂檢測 自查自糾第2頁/共36頁 知識梳理 自主學習知識點一定積分在求幾何圖形面積方面的應用1.求由一條曲線yf(x)和直線xa，xb(ab)及y0所圍成的平面圖形的面積S.答案第3頁/共36頁答案第4頁/共36頁2.求由兩條曲線f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直線xa，xb (ab)所圍成平面圖形的面積S.(1

2、)如圖，當f(x)g(x)0時，S .答案3.當g(x)f(x)0時，同理得S .第5頁/共36頁思考(1)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？答案求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可.(2)當f(x)0時，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？答案如圖，因為曲邊梯形上邊界函數(shù)為g(x)0，下邊界函數(shù)為f(x)，答案第6頁/共36頁4.利用定積分求平面圖形面積的步驟：(1)畫出圖形：在平面直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象；(2)確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(或縱坐標)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)寫出平面圖形面

3、積的定積分表達式；(5)利用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積，寫出答案.第7頁/共36頁知識點二定積分在物理中的應用1.在變速直線運動中求路程、位移路程是位移的絕對值之和，從時刻ta到時刻tb所經(jīng)過的路程s和位移s分別為：(1)若v(t)0，則s ，s .(2)若v(t)0，則s ，s .(3)若在區(qū)間a，c上v(t)0，在區(qū)間c，b上v(t)0，則s ，s .答案第8頁/共36頁2.定積分在物理中的應用(1)做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a，b上的定積分，即s .(2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著

4、與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所做的功為WFs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間a，b上的定積分，即W .答案第9頁/共36頁思考下列判斷正確的是_.(1)路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念；(2)利用定積分求變速直線運動的路程和位移是同一個式子 (3)利用定積分求變速直線運動的路程和位移不是同一個式子 解析(1)顯然正確.對于(2)(3)兩個判斷，由于當v(t)0時，求某一時間段內的路程和位移均用 求解；當v(t)0時，求某一時間段內的位移用 求解，這一時段的路程是位移的相反數(shù)，即路程為 所以(2)錯(3)正確.21( )d ;ttttv21(

5、 )d .ttttv21( )dttttv21( )dttttv21( )d .ttttv(1)(3)答案返回第10頁/共36頁 題型探究 重點突破解析答案題型一利用定積分求平面圖形的面積問題反思與感悟第11頁/共36頁解在同一個平面直角坐標系上畫出兩個拋物線的大致圖形，如圖.方法一以x為積分變量.設點P(1,0)，則所求面積5544012(d1d )5xSxxx35352424012 5222|(1) | .1533xx解析答案反思與感悟第12頁/共36頁方法二以y為積分變量.設點P(1,0)，則所求面積11223220422(15)d2()|.33Syyyyy 反思與感悟第13頁/共36頁

6、反思與感悟若以x為積分變量，則被積函數(shù)的原函數(shù)不易確定，而且計算也比較麻煩；若以y為積分變量，則可以避免這種情況.選取積分變量有時對解題很關鍵.第14頁/共36頁解析答案跟蹤訓練1在曲線yx2(x0)上的某一點A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為 .試求：切點A的坐標和過切點A的切線方程.解如圖所示，設切點A(x0，y0)，由y2x得過A點的切線方程為yy02x0(xx0)，設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，則SS曲邊AOBSABC. S曲邊AOB0023300011d|,33xxxxxx從而切點為A(1,1)，切線方程為y2x1.第15頁/共36頁解析答案題型二

7、對用定積分解決變速問題的理解例2一點在直線上從時刻t0(s)開始以速度vt24t3(m/s)運動，求：(1)此點在t4 s時的位置；(2)此點在t4 s時運動的路程.反思與感悟第16頁/共36頁解因為位置決定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定積分，而路程是位移的絕對值之和，所以需要判斷在0,4上哪些時間段的位移為負.(2)因為v(t)t24t3(t1)(t3)，所以在區(qū)間0,1及3,4上，v(t)0，在區(qū)間1,3上，v(t)0，所以該點在t4 s時的路程為反思與感悟第17頁/共36頁反思與感悟解決此類問題的一般步驟：(1)求出每一時間段上的速度函數(shù)；(2)根據(jù)定積分的物理意義，求出對應時間

8、段上的定積分.第18頁/共36頁解析答案跟蹤訓練2有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車.設汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？解設從開始剎車到停車，汽車經(jīng)過了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為故從開始剎車到停車，汽車行駛了25 m.第19頁/共36頁解析答案題型三用定積分解決變力做功問題例3設有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功.解設x表示彈簧伸長的長度

9、，f(x)表示加在彈簧上的力，則f(x)kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)).因為當f(x)100時，x5，所以k20.所以f(x)20 x.彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，反思與感悟第20頁/共36頁反思與感悟(1)根據(jù)物理學知識，求出變力f(x)的表達式；(2)由功的物理意義知，物體在變力f(x)的作用下，沿力的方向做直線運動，使物體由一個位置移到另一個位置，因此，求功之前應先求出位移的起始位置和終止位置；(3)根據(jù)變力做功的公式W 求出變力所做的功.第21頁/共36頁解析答案跟蹤訓練3如圖所示，設氣缸內活塞一側存在一定量氣體，氣體做等溫膨脹時推動活

10、塞向右移動一段距離，若氣體體積由V1變?yōu)閂2，求氣體壓力所做的功.解由物理學知識知，氣體膨脹為等溫過程，L表示活塞移動的距離，VLQ). 記L1，L2分別表示活塞的初始位置和終止位置，于是有222211111=( )d =d =d=(ln V)|LLVVVLLVCWF LLLCVCLVC(ln V2ln V1).所以氣體體積由V1變?yōu)閂2，氣體壓力所做的功為C(ln V2ln V1).第22頁/共36頁例4求由拋物線y28x(y0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積.易錯易混用定積分求平面圖形面積時，因對圖形分割不當致誤解析答案返回防范措施第23頁/共36頁錯解由題意，作出圖形如圖所以拋物線

11、y28x(y0)與直線xy60的交點坐標為(2,4)，3242012(62 2)|23xxx324 232 2248416.33 解析答案防范措施第24頁/共36頁322620221( 8)|(6)|32xxx防范措施第25頁/共36頁合理劃分積分上、下限及正確選擇積分變量，最好結合圖形進行處理.返回防范措施第26頁/共36頁 當堂檢測1.在下面所給圖形的面積S及相應表達式中，正確的有_.第27頁/共36頁解析答案第28頁/共36頁和正確.答案第29頁/共36頁解析答案解析32202cos dcos dSx xx x2202=sin|sinxx10113.3第30頁/共36頁3.一列車沿直線軌

12、道前進，剎車后列車速度v(t)270.9t，則列車剎車距離為_.解析停車時v(t)0，由270.9t0，得t30，405解析答案第31頁/共36頁解析答案4.由曲線yx24與直線y5x，x0，x4所圍成平面圖形的面積是_.解析由圖形可得第32頁/共36頁解析答案5.一個彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，把它從自然長度壓縮到比自然長度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功.解設F(x)kx，彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，k4.第33頁/共36頁課堂小結1.利用定積分求平面圖形面積的一般步驟：(1)在平面直角坐標系中畫出圖形；(2)通過解方程求出交點坐標；(3)寫出平面圖形面積的定積分表達式，當被求平面區(qū)域較復雜時，可分割求和；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積.2.路程問題.(1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉化為數(shù)學問題是關鍵.(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內是否恒正，若符號不定，應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算.第34頁/共36頁3.變力做功問題.(1)變力做功問題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關鍵一步.(2)根據(jù)變力做功的公式，將其轉化為求定積分的問題.返回第35頁/共36頁