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1、
第八章 彎 曲 變 形
一、教學(xué)目標(biāo)
掌握求梁變形的兩種方法：積分法和疊加法，明確疊加原理的使用條件，掌握用變形比較法求解靜不定梁。
二、教學(xué)內(nèi)容
彎曲變形的量度及符號(hào)規(guī)定；
撓曲線近似微分方程及其積分；
計(jì)算彎曲變形的兩種方法；
用變形比較法解簡(jiǎn)單的超靜定梁
三、重點(diǎn)難點(diǎn)
梁的變形分析。
撓曲線近似微分方程。
積分法求梁的變形。
疊加法求梁的變形。
用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁。
四、教學(xué)方式
采用啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn)題。
五、計(jì)劃學(xué)時(shí)
4 學(xué)時(shí)
六、實(shí)施學(xué)時(shí)
七、講課提綱
回顧：
彎
2、曲內(nèi)力——在外力作用下，梁的內(nèi)力沿軸線的變化規(guī)律。
彎曲應(yīng)力——在外力作用下，梁內(nèi)應(yīng)力沿橫截面高度的分布規(guī)律。
本章
彎曲變形——在外力作用下，梁在空間位置的變化規(guī)律。
研究彎曲變形的目的
★剛度計(jì)算；
★解簡(jiǎn)單的超靜定梁。
本章的基本內(nèi)容
★彎曲變形的量度及符號(hào)規(guī)定；
★撓曲線近似微分方程及其積分；
★計(jì)算彎曲變形的兩種方法；
★用變形比較法解簡(jiǎn)單的超靜定梁。
（一）、彎曲變形的量度及其符號(hào)規(guī)定
1、度量彎曲變形的兩個(gè)量：
⑴撓度：梁軸線上的點(diǎn)在垂直于梁軸線方向的所發(fā)生的線位移ω稱為撓度。（工程上的一般忽略水平線位移）
圖8-1
⑵
3、轉(zhuǎn)角：梁變形后的橫截面相對(duì)于原來(lái)橫截面繞中性軸所轉(zhuǎn)過(guò)的角位移θ稱為轉(zhuǎn)角。
2、符號(hào)規(guī)定：
⑴坐標(biāo)系的建立：坐標(biāo)原點(diǎn)一般設(shè)在梁的左端，并規(guī)定：以變形前的梁軸線為x軸，向右為正；以y軸代表曲線的縱坐標(biāo)（撓度），向上為正。
⑵撓度的符號(hào)規(guī)定：向上為正，向下為負(fù)。
⑶轉(zhuǎn)角的符號(hào)規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為正；
順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。
（二）、撓曲線近似微分方程及其積分
1、撓曲線
在平面彎曲的情況下，梁變形后的軸線在彎曲平面內(nèi)成為一條曲線，這條曲線稱為撓曲線。
圖8-2
2、撓曲線近似微分方程
數(shù)學(xué)上：曲線的曲率與曲線方程間的關(guān)系
材力上
4、：撓曲線的曲率與梁上彎矩和抗彎剛度間的關(guān)系
顯然，撓曲線的曲線方程與梁的彎矩剛度間的關(guān)系可以用下式表示：
這個(gè)等式稱為撓曲線近似微分方程
近似解釋：
⑴忽略了剪力的影響；
⑵由于小變形，略去了曲線方程中的高次項(xiàng)。
3、撓曲線近似微分方程的積分
⑴轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程
對(duì)撓曲線近似微分方程積分一次，得轉(zhuǎn)角方程：
再積分一次，得撓曲線方程：
⑵積分常數(shù)的確定及其物理意義和幾何意義
①積分常數(shù)的數(shù)目——取決于的分段數(shù)
——n段
積分常數(shù)——2n個(gè)
舉例：
圖8-3
分2段，則積分常數(shù)2x2=4個(gè)
②積分常數(shù)的確定——邊界條件和
5、連續(xù)條件：
邊界條件：梁在其支承處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，這樣的已知條件稱為邊界條件。
連續(xù)條件：梁的撓曲線是一條連續(xù)、光滑、平坦的曲線。因此，在梁的同一截面上不可能有兩個(gè)不同的撓度值或轉(zhuǎn)角值，這樣的已知條件稱為連續(xù)條件。
③積分常數(shù)與邊界條件、連續(xù)條件之間的關(guān)系：
積分常數(shù)2n個(gè)=2n個(gè) 邊界條件
連續(xù)條件
圖8-3所示的例題中：
邊界條件：
連續(xù)條件：
例題： 列出圖8-4所示結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)條件。
圖80-4
解：邊界條件： 連續(xù)條件：
④積分常數(shù)的物理意義和幾何意義
物理意義：將x=0代入轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，得
6、即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的轉(zhuǎn)角，它的EI倍就是積分常數(shù)C；
即坐標(biāo)原點(diǎn)處梁的撓度的EI倍就是積分常數(shù)D。
幾何意義：C——轉(zhuǎn)角
D——撓度
舉例：
（三）、計(jì)算彎曲變形的兩種方法
1、積分法——基本辦法
利用積
7、分法求梁變形的一般步驟：
⑴建立坐標(biāo)系（一般：坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在梁的左端），求支座反力，分段列彎矩方程；
⑵分段列出梁的撓曲線近似微分方程，并對(duì)其積分兩次；
⑶利用邊界條件，連續(xù)條件確定積分常數(shù)；
⑷建立轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程；
⑸計(jì)算指定截面的轉(zhuǎn)角和撓度值，特別注意和及其所在截面。
積分法求梁變形舉例：用積分法求圖示梁、、、：
圖8-5
解：⑴分段建立彎矩方程
AB段： （0
8、──⑴
───────────────⑵
BC段：
─────────────⑶
──────────⑷
⑶利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)
由邊界條件確定C1、D1：
當(dāng)時(shí)，， 由（1）式得 C1=0 ；
當(dāng)時(shí)，， 由（2）式得 D1=0 。
由連續(xù)條件確定C2、D2：
當(dāng)時(shí)，，即聯(lián)立⑴、⑶式子：
得
當(dāng)時(shí)，，即聯(lián)立⑵、⑷式：
得 D2=0
⑷分段建立轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程：
AB段： ──────────────────────⑸
──────────────────────⑹
BC段：──────────────
9、────⑺
─────────────────⑻
⑸求梁指定截面上的轉(zhuǎn)角和撓度
當(dāng)時(shí)，由⑸式得， ；
由⑹式得，
當(dāng)時(shí)，由⑺式得， ；
由⑻式得，
2、疊加法——簡(jiǎn)捷方法
記住梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的變形——撓曲線方程、轉(zhuǎn)角、撓度計(jì)算方式。
疊加法的兩種處理方法：
⑴荷載疊加
圖10-6
⑵變形疊加
圖8-7
荷載疊加法求梁變形舉例：
圖8-8
⑴求、（圖8-8，b）
∴
則
⑵求、（圖8-8，b）
⑶求、
10、（圖8-8，c）
⑷求、（圖8-8，c）
，
=
最后：
求 、 、 、
（四）、用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁
1、超靜定的概念
2、用變形比較法解簡(jiǎn)單超靜定梁的基本思想：
⑴解除多余約束，變超靜定梁為靜定梁；
⑵用靜定梁與超靜定梁在解除約束處的變形比較，建立協(xié)調(diào)方程；
⑶通過(guò)協(xié)調(diào)方程（即補(bǔ)充方程），求出多余的約束反力。
3、簡(jiǎn)單超靜定梁求解舉列。
求圖示梁的FQ、M圖
圖8-9(a)示結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單（一次）超靜定梁
圖8-9(a)
解：⑴選基本靜定梁
圖8-9(b
11、)解除c端約束，代之以約束力Fc
圖8-9(b)
⑵建立變形協(xié)調(diào)條件
⑶采用荷載疊加法，并對(duì)原梁做如下圖8-9(c)等效變換：
圖8-9(c)
此時(shí)的變形協(xié)調(diào)條件可以寫成：
─────────────────────⑴
查表得：
將查表所得結(jié)果代入⑴式，解出
⑷求A端的約束反力
⑸作該梁的FQ、M圖
用變形比較法解超靜定梁舉例
兩端固定的水平梁AB，在其左端轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度θ，如圖所示，試求其約束反力。
圖8-10
12、
解：⑴解除A端約束，使超靜梁變成靜定梁——基本靜定梁
⑵把解除的多余約束用約束反力來(lái)代替：
⑶列出基本靜定梁在多余約束反力作用處梁變形的計(jì)算式：
在MA的作用下，
在FA的作用下，
并與原超靜定梁在該約束處的變形進(jìn)行比較，建立變形協(xié)調(diào)方程，求出多余約束反力：
比較：
則 ───────────────────────⑴
───────────────────────⑵
聯(lián)立解⑴、⑵式，得；
13、
材料力學(xué)講稿：第8章彎曲變形
