《高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 章末小結與測評 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 章末小結與測評 Word版含答案（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、20192019 學年北師大版數(shù)學精品資料學年北師大版數(shù)學精品資料 一、三角恒等變形公式 1同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系：sin2cos21；商數(shù)關系：tan sin cos . (2)應用：已知角的一個三角函數(shù)值可以知一求二，注意依據(jù)三角函數(shù)值確定角的終邊所在的象限在三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明中有三個技巧：“1”的代換，sin2cos21；切化弦；sin cos 平方整體代換 2和(差)角公式 (1)公式 C，C的公式特點：同名相乘，符號相反；公式 S，S的公式特點：異名相乘，符號相同；T的符號規(guī)律為“分子同，分母反” (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函數(shù)的運算
2、規(guī)律，公式成立的條件是相關三角函數(shù)有意義，尤其是正切函數(shù) 3二倍角公式 (1)分別令公式 C，S，T中的，即得公式 C2，S2，T2. (2)“二倍”關系是相對的，只要兩個角滿足比值為 2 即可倍角公式揭示了具有倍角關系的兩個角的三角函數(shù)的運算規(guī)律 (3)公式變形 升冪公式：cos 22cos2112sin2，1cos 22cos2，1cos 22sin2. 降冪公式：cos21cos 22，sin21cos 22. 4半角公式 半角公式實際上是二倍角公式的變形，應用公式求值時要由2所在的象限確定相應三角函數(shù)值的符號 二、公式的應用途徑 (1)正用公式：從題設條件出發(fā)，順著問題的線索，正用三角
3、公式，通過對信息的感知、加工、轉(zhuǎn)換，運用已知條件進行推算逐步達到目的 (2)逆用公式：逆向轉(zhuǎn)換、逆用公式，換個角度思考問題，逆向思維的運用往往會使解題思路茅塞頓開 (3)變形應用公式：思考問題時因勢利導、融會貫通、靈活應用變形結論如 1sin2cos2，1cos2sin2； tan tan tan()(1tan tan )， 1tan tan tan tan tan（）； sin cos 12sin 2，cos sin 22sin ； sin21cos 22，cos21cos 22； 2tan tan 2(1tan2)等 三、常見的三角恒等變形 (1)應用公式進行三角函數(shù)式的求值，包括給角求值
4、和給值求值和給值求角三種類型 (2)應用公式進行三角函數(shù)式的化簡 (3)應用公式進行三角函數(shù)式的證明 注意的問題 (1)“1”的代換 在使用公式進行三角恒等變換的過程中， “1”的代換技巧往往使得變換過程“柳暗花明”例如，1sin2cos2，1tan4，1cos 22sin2，12cos2cos 2等 (2)輔助角公式 輔助角公式幾乎高考必考，即asin bcos a2b2sin()(tan ba)常見的有以下幾個： sin cos 2sin(4)， 3sin cos 2sin(6)， sin 3cos 2sin(3) 四、三角恒等變形技巧 常用的技巧有：從“角”入手，即角的變化；從“名”入手
5、，即函數(shù)名稱的變化；從“冪”入手，即升降冪的變化；從“形”入手，即函數(shù)式結構的變化 典例 1 (江蘇高考)設為銳角，若 cos(6)45，則 sin(212)的值為_ 解析 因為為銳角，cos(6)45， 所以 sin(6)35，sin2(6)2425， cos2(6)725， 所以 sin212sin264 22172517 250. 答案 17 250 借題發(fā)揮 1.當已知條件中的角與所求角不同時，需要通過“拆” “配”等方法實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，一般是尋求它們的和、差、倍、半關系，再通過三角變換得出所要求的結果 2常見的角的變換有：()，2()()，2()，22，(34)(4)2()，(4)(4
6、)，只要對題設條件與結論中所涉及的角進行仔細地觀察，往往會發(fā)現(xiàn)角與角之間的關系，從而簡化解題過程 對點訓練 1已知 sin(4)sin(4)26(02)，求 sin 2的值 解：sin4sin24cos4， 26sin(4)sin(4)sin(4)cos(4) 12sin(22) 12cos 2， cos 223.02，02，sin 273. 典例 2 已知 tan 4 3，cos()1114，090，090，求. 解 090，且 tan sin cos 4 3， sin2cos21， cos 17，sin 4 37. cos()1114，0180， sin() 1（1114）25 314.
7、cos cos() cos()cos sin()sin (1114)175 3144 3712. 又090，60. 借題發(fā)揮 1.“給值求角”的一般規(guī)律是先求出所求角的一種三角函數(shù)值，然后確定所求角的范圍，最后根據(jù)三角函數(shù)值和角的范圍求出角 2確定的所求角的范圍最好是所求三角函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間例如，若所求角的范圍是(0，2)，選擇求所求角的正弦或余弦函數(shù)值均可；若所求角的范圍為(0，)，選擇求所求角的余弦函數(shù)值；若所求角的范圍是(2，2)，選擇求所求角的正弦函數(shù)值 對點訓練 2在ABC中，如果 4sin A2cos B1，2sin B4cos A3 3，則角C的大小為_ 解析：由 4sin A
8、2cos B1， 2sin B4cos A3 3， 兩邊平方相加得 sin(AB)12. 如果AB6，則B12與條件 4sin A2cos B1 矛盾 AB56，C6. 答案：6 典例 3 化簡：2cos212tan（4）sin2（4）. 解 法一：原式2cos212sin（4）cos（4）sin2（4） 2cos212sin（4）cos（4）cos2（4） 2cos21sin（22）cos 2cos 21. 法二：原式cos 221tan 1tan （22sin 22cos ）2 cos 2cos sin cos sin （sin cos ）2 cos 2（cos sin ）（cos sin
9、 ） cos 2cos2sin2cos 2cos 21. 借題發(fā)揮 1三角函數(shù)式的化簡是高考命題的熱點，常常與三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)綜合出題，題型靈活多變化簡三角函數(shù)式的常用方法有：直接應用公式；切化弦；異角化同角；特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化；通分、約分；配方、去根號 2由于三角函數(shù)式中包含著各種不同的角和不同的函數(shù)種類以及不同的式子結構，所以在三角函數(shù)式的化簡與證明中， 應充分利用所學的三角函數(shù)的基本關系式和和、差、倍、半角等公式，首先從角入手，找出待化簡(證明)的式子中的差異，然后選擇適當?shù)墓健盎悶橥?，實現(xiàn)三角函數(shù)式的化簡與證明 對點訓練 3求證：tan（）tan 1tan tan（
10、）sin 22cos2. 證明：tan()tan sin（）cos（）sin cos sin（）cos sin cos（）cos（）cos sin cos（）cos . 1tan tan()1sin cos sin（）cos（） cos cos（）sin sin（）cos cos（） cos（）cos cos（）cos cos cos（）. 左邊sin cos cos（）cos2cos（）sin 22cos2右邊 典例 4 (山東高考)已知向量m m(sin x，1)，n n( 3Acos x，A2cos 2x)(A0)，函數(shù)f(x)mnmn的最大值為 6. (1)求A； (2)將函數(shù)yf(x
11、)的圖像向左平移12個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，得到函數(shù)yg(x)的圖像，求g(x)在0，524上的值域 解 (1)f(x)mnmn 3Asin xcos xA2cos 2x A(32sin 2x12cos 2x) Asin(2x6) 因為A0，由題意知A6. (2)由(1)f(x)6sin(2x6) 將函數(shù)yf(x)的圖像向左平移12個單位后得到 y6sin2x1266sin2x3的圖像； 再將得到圖像上各點橫坐標縮短為原來的12倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)6sin(4x3)的圖像 因此g(x)6sin(4x3) 因為x0，524，所以 4x33，76， 故g
12、(x)在0，524上的值域為3，6 借題發(fā)揮 1以向量為背景，綜合考查向量、三角恒等變形、三角函數(shù)的性質(zhì)是近幾年高考的熱點問題解決此類問題要注意三角恒等變形中由于消項、約分、合并等原因，可能使函數(shù)定義域發(fā)生變化，所以要在變換前注意三角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析問題 2三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容如果給出的三角函數(shù)的表達式較為復雜，我們必須先通過三角恒等變形，將三角函數(shù)的表達式變形化簡轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖像和性質(zhì) 對點訓練 4(廣東高考)已知函數(shù)f(x)Acosx46，xR R，且f3 2. (1)求A的值； (2
13、)設，0，2，f443 3017，f423 85，求 cos()的值 解：(1)因為f3 2，所以Acos1436Acos 422A 2，所以A2. (2)由(1)知f(x)2cosx46， f4432cos362sin 3017，所以 sin 1517，因為0，2，所以 cos 817；又因為f4232cos662cos 85，所以 cos 45，因為0，2， 所以 sin 35.所以 cos()cos cos sin sin 817451517351385. (時間：90 分鐘 滿分：120 分) 一、選擇題(本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題所給的四個選項中，只有
14、一項是符合題目要求的) 1計算 sin 21cos 9sin 69sin 9的結果是( ) A.32 B.12 C12 D32 解析：選 B 原式sin 21cos 9sin(9021)sin 9 sin 21cos 9cos 21sin 9 sin 3012. 2(遼寧高考)已知 sin cos 2，(0，)，則 sin 2( ) A1 B22 C.22 D1 解析：選 A sin cos 2，(sin cos )22， sin 21. 3 (重慶高考)設tan ， tan 是方程x23x20的兩個根， 則tan()的值為( ) A3 B1 C1 D3 解析：選 A 依題意得tan tan
15、3，tan tan 2. 則 tan()tan tan 1tan tan 3123. 4若 tan 2，則2sin cos sin 2cos 的值為( ) A0 B.54 C1 D.34 解析：選 D 原式2tan 1tan 2 2212234. 5(山東高考)若4，2，sin 23 78，則 sin ( ) A.35 B.45 C.74 D.34 解析：選 D 因為4，2，所以 22， ，所以 cos 2sin()35， (2，)， cos()45. cos cos()cos()cos sin sin ()2 525. 8函數(shù)ysin xcos x 3cos2x的圖像的一個對稱中心是( )
16、A(3，32) B(23，32) C(23，32) D(3，32) 解析：選 D y12sin 2x3（1cos 2x）2 12sin 2x32cos 2x32 sin(2x3)32， 當x3時，sin(233)0. (3，32)是函數(shù)圖像的一個對稱中心 9(江西高考)若 tan 1tan 4，則 sin 2( ) A.15 B.14 C.13 D.12 解析：選 D 法一：tan 1tan 1tan2 tan 4， 4tan 1tan2 ， sin 22sin cos 2sin cos sin2 cos2 2tan 1tan22tan 4tan 12. 法二：tan 1tan sin cos
17、 cos sin 1cos sin 2sin 2 42sin 2，故 sin 212. 10函數(shù)ycos 2xcos 52sin xcos xsin 65的遞增區(qū)間是( ) A.k10，k35 (kZ Z) B.k320，k720 (kZ Z) C.2k10，2k35 (kZ Z) D.k25，k10(kZ Z) 解析：選 D ycos 2xcos 5sin 2xsin 5cos(2x5) 2k2x52k，kZ Z. k25xk10，kZ Z. 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上) 11已知 cos 45，(2，)，則 tan(4)等于_ 解析：由
18、已知得 tan 34， 所以 tan(4)13413417. 答案：17 12已知 sin 2cos 22 33，那么 cos 2的值為_ 解析：(sin 2cos 2)21sin 43，sin 13，cos 212sin279. 答案：79 13ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，當A為_時，cos A2cos BC2取得最大值，且這個最大值為_ 解析：cos A2cos BC2cos A2sin A2 12sin2A22sin A2 2sin2A22sin A21 2(sin A212)232， 當 sin A212，即A60時， 得(cos A2cos BC2)max32. 答案：60 32
19、14已知是第二象限角，且 sin 154，則sin（4）sin 2cos 21_ 解析：為第二象限角， cos 1sin214. sin（4）sin 2cos 2122（sin cos ）2cos （sin cos ）222cos 2. 答案： 2 三、解答題(本大題共 4 小題，共 50 分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15(本小題滿分 12 分)化簡sin（2）sin 2cos() 解：法一：原式sin（）sin 2cos() sin（）cos cos（）sin sin 2cos() sin（）cos sin cos() sin（）cos cos（）sin sin s
20、in（）sin sin sin . 法二：原式 sin 2cos cos 2sin 2（cos cos sin sin ）sin sin sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2sin2sin sin . （12sin2）sin 2sin2sin sin sin sin . 16(本小題滿分 12 分)已知 sin(5)35，且(2，)，tan 12. (1)求 tan()的值； (2)求 sin(23)的值 解：(1)由條件得 sin 35. 又(2，)，所以 tan 34. 故 tan ()34121（34）122. (2)由條件得 sin 35. 又(2，)，得 cos
21、45. 所以 sin 2235(45)2425， cos 2(45)2(35)2725. 故 sin(23)242512725327 32450. 17(本小題滿分 12 分)(北京高考)已知函數(shù)f(x)（sin xcos x）sin 2xsin x. (1)求f(x)的定義域及最小正周期； (2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間 解：(1)由 sin x0 得xk(kZ Z)， 故f(x)的定義域為xR R|xk，kZ Z . 因為f(x)(sin xcos x)sin 2xsin x 2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 2sin(2x4)1， 所以f(x)的最小正周期
22、T22. (2)函數(shù)ysin x的單調(diào)遞減區(qū)間為 2k2，2k32(kZ Z) 由 2k22x42k32，xk(kZ Z)， 得k38xk78(kZ Z) 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k38，k78(kZ Z) 18(安徽高考)已知函數(shù)f(x)4cos xsinx4(0)的最小正周期為. (1)求的值； (2)討論f(x)在區(qū)間0，2上的單調(diào)性 解：本題主要考查兩角和的正弦公式、二倍角公式、三角函數(shù)周期公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性等知識，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用 (1)f(x)4cos xsinx4 2 2sin xcos x2 2cos2x 2(sin 2xcos 2x) 22sin2x42
23、. 因為f(x)的最小正周期為，且0，從而有22，故1. (2)由(1)知，f(x)2sin2x4 2.若 0 x2，則42x454. 當42x42，即 0 x8時，f(x)單調(diào)遞增； 當22x454，即8x2時，f(x)單調(diào)遞減 綜上可知，f(x)在區(qū)間0，8上單調(diào)遞增，在區(qū)間8，2上單調(diào)遞減 模塊綜合檢測 (時間：120 分鐘 滿分：150 分) 一、選擇題(本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求) 1已知角的終邊經(jīng)過點P(3，4)，則 sin 的值等于( ) A35 B.35 C.45 D45 解析：選 C sin 4（3）
24、24245. 2已知 cos232且|2，則 tan ( ) A33 B.33 C 3 D. 3 解析： 選 D 由 cos232得 sin 32， 又|2， 所以3， 所以 tan 3. 3已知 cos 35，0，則 tan4( ) A.15 B.17 C1 D7 解析：選 D 因為 cos 350，0，所以 02，sin 0，所以 sin 45，故 tan 43，所以 tan(4)tan tan 41tan tan 44311437. 4要得到函數(shù)ycos(2x1)的圖像，只要將函數(shù)ycos 2x的圖像( ) A向左平移 1 個單位 B向右平移 1 個單位 C向左平移12個單位 D向右平移
25、12個單位 解析：選 C ycos 2x的圖像向左平移12個單位后即變成ycos 2x12cos(2x1)的圖像 5已知向量a a(2，1)，b b(1，k)，且a a與b b的夾角為銳角，則k的取值范圍是( ) A(2，) B.2，1212， C(，2) D(2，2) 解析：選 B 當a a，b b共線時，2k10，k12，此時a a，b b方向相同夾角為 0，所以要使a a與b b的夾角為銳角，則有a ab b0 且a a，b b不共線由a ab b2k0 得k2，且k12，即實數(shù)k的取值范圍是2，1212， ，選 B. 7函數(shù) ysin(x)(xR R，且0，02)的部分圖像如圖所示，則
26、( ) A2，4 B3，6 C4，4 D4，54 解析：選 C T428，4. 又412， 4. 8若2， ，且 sin 45，則 sin422cos()等于( ) A.2 25 B25 C.25 D2 25 解析：選 B sin422cos() 22sin 22cos 22cos 22sin 2cos . sin 45，2， ， cos 35. 22sin 2cos 2245 23525. 10 如圖， 邊長為 1 的正方形 ABCD 的頂點 A， D 分別在 x 軸、 y 軸正半軸上移動， 則的最大值是( ) A2 B1 2 C D4 11 設函數(shù) f(x)sin(x)cos(x)(0，
27、|2)的最小正周期為， 且 f(x)f(x)，則( ) Af(x)在0，2單調(diào)遞減 Bf(x)在4，34單調(diào)遞減 Cf(x)在0，2單調(diào)遞增 Df(x)在4，34單調(diào)遞增 解析：選A ysin(x)cos(x) 2sin(x4)，由最小正周期為得 2，又由 f(x)f(x)可知 f(x)為偶函數(shù)，|2可得 4， 所以 y 2cos 2x，在0，2單調(diào)遞減 . 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填寫在題中的橫線上) 13已知cos x2a34a，x 是第二、三象限的角，則 a 的取值范圍為_ 解析：1cos x0，12a34a0，2a34a0，2a34a1. 1a
28、32. 答案：1，32 14已知e e1、e e2是夾角為23的兩個單位向量，a ae e12e e2，b bke e1e e2.若abab0，則實數(shù)k的值為_ 解析：由題意知：abab(e e12e e2)(ke e1e e2)0，即ke e21e e1e e22ke e1e e22e e220，即kcos 232kcos 2320，化簡可求得k54. 答案：54 15y3 2cos3x6的定義域為_ 解析：2cos3x60， 2k23x62k2， 23k29x23k9(kZ Z)， 函數(shù)的定義域為x|23k29x23k9，kZ Z 答案：x|23k29x23k9，kZ Z 16有下列四個命
29、題： 若，均為第一象限角，且，則 sin sin ； 若函數(shù)y2cosax3的最小正周期是 4，則a12； 函數(shù)ysin2xsin xsin x1是奇函數(shù)； 函數(shù)ysinx2在0，上是增函數(shù) 其中正確命題的序號為_ 解析：39030，但 sin sin ，所以不正確；函數(shù)y2cosax3的最小正周期為T2|a|4，所以|a|12，a12，因此不正確；中函數(shù)定義域是x|x2k2，kZ Z ，顯然不關于原點對稱，所以不正確；由于函數(shù)ysinx2sin(2x)cos x，它在(0，)上單調(diào)遞增，因此正確 答案： 三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟
30、) 17(本小題滿分 10 分)化簡：sin（540 x）tan（900 x） 1tan（450 x）tan（810 x）cos（360 x）sin（x）. 解： 原式sin（180 x）tan（x）1tan（90 x）tan（90 x）cos xsin（x）sin xtan x tan xtan x1tan xsin x. 18(本小題滿分 12 分)已知角的終邊過點P45，35. (1)求 sin 的值； (2)求式子sin2sin()tan（）cos（3）的值 解：(1)|OP|4523521， 點P在單位圓上，由正弦函數(shù)定義得 sin 35. (2)原式cos sin tan cos
31、sin sin cos 1cos . 由(1)得 sin 35，P在單位圓上， 由已知得 cos 45，原式54. 19(本小題滿分 12 分)已知函數(shù)f(x)sin2x6sin(2x6)2cos2x. (1)求f(x)的最小值及最小正周期； (2)求使f(x)3 的x的取值集合 解：(1)f(x)sin2x6sin2x62cos2xsin 2xcos6cos 2xsin6sin 2xcos6cos 2xsin6cos 2x1 3sin 2xcos 2x1 2sin2x61， f(x)min2(1)11， 最小正周期T2|22. (2)f(x)3，2sin2x613， sin2x61， 2x6
32、2k2，kZ Z， xk6，kZ Z， 使f(x)3 的x的取值集合為x|xk6，kZ Z x(2y)(x4)y0，整理得x2y0. y12x. 即(x6)(x2)(y1)(y3)0， 由(1)知x2y，將其代入上式， 整理得y22y30. 解得y13，y21. 當y3 時，x6， 21(本小題滿分 12 分)如圖，函數(shù)y2sin(x)，xR R(其中 02)的圖像與y軸交于點(0，1) (1)求的值； (2)求函數(shù)y2sin(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (3)求使y1 的x的集合 解：(1)因為函數(shù)圖像過點(0，1)， 所以 2sin 1，即 sin 12. 因為 02，所以6. (2)由(1)得
33、y2sinx6， 當22kx622k，kZ Z， 即232kx132k，kZ Z 時，y2sin(x6)是增函數(shù)，故y2sinx6的單調(diào)遞增區(qū)間為232k，132k，kZ Z. (3)由y1，得 sinx612， 62kx6562k，kZ Z， 即 2kx232k，kZ Z， y1 時，x的集合為x|2kx232k，kZ Z 22(本小題滿分 12 分)已知M(1cos 2x，1)，N(1， 3sin 2xa)(xR R，aR R，a是常數(shù))，且y (O為坐標原點) (1)求y關于x的函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)； (2)若x0，2時，f(x)的最大值為 4，求a的值，并說明此時f(x)的圖像可由y2
34、sinx6的圖像經(jīng)過怎樣的變換而得到； (3)函數(shù)yg(x)的圖像和函數(shù)yf(x)的圖像關于直線x1 對稱，求yg(x)的表達式，并比較g(1)和g(2)的大小 解：(1)yf(x)(1cos 2x，1)(1， 3sin 2xa) 3sin 2xcos 2x1a2sin2x61a. (2)x0，2，則2x66，76， 所以f(x)的最大值為 3a4，解得a1， 此時f(x)2sin2x62，其圖像可由y2sin(x6)的圖像經(jīng)縱坐標不變橫坐標縮小為原來的12倍，再將所得圖像向上平移 2 個單位得到 (3)設M(x，y)為yg(x)的圖像上任一點， 由函數(shù)yg(x)的圖像和函數(shù)yf(x)的圖像關于直線x1 對稱，得M(x，y)關于x1 的對稱點M(2x，y)在yf(x)的圖像上，所以yg(x)f(2x)2sin2(2x)61a2sin(2x46)1a，g(1)2sin(26)1a，g(2)2sin61a2sin561a. 22656， g(1)g(2)
高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 章末小結與測評 Word版含答案
