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1、新版數學北師大版精品資料
16 從力做的功到向量的數量積
時間：45分鐘 滿分：80分
班級________ 姓名________ 分數________
一、選擇題：(每小題5分，共56＝30分)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角θ為( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由題意，知ab＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．下列命題正確的是( )
A．若ab＝0，則a＝0或b＝0
B．若ab＝0，則a∥b
C．若a⊥b，則ab＝(ab)2
D．a2＞|a|2
答案：C
解
2、析：ab＝0時，可能為a⊥b的情況；|a|2＝a2，故選C.
3．設向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角為( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2ab＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，則k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案：B
解析：由題意，得(2a＋3b)(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故ab＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
5．在△
3、ABC中，若＝a，＝b，＝c，且ab＝bc＝ca，則△ABC的形狀是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．以上都不對
答案：C
解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c.
又∵ac＝bc，即(a－b)c＝0，
∴－(a－b)(a＋b)＝0，即|a|＝|b|.
同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|.
6．在邊長為的正三角形ABC中，設＝c，＝a，＝b，則ab＋bc＋ca等于( )
A．－3 B．0
C．1 D．2
答案：A
解析：ab＋bc＋ca＝b(a＋c)＋ca＝b(－b)＋ca＝－b2＋ca＝－2＋
4、cos＝－3.
二、填空題：(每小題5分，共53＝15分)
7．已知|a|＝4，a與b的夾角θ為30，則a在b方向上的投影為________．
答案：2
解析：a在b方向上的投影為|a|cosθ＝4cos30＝2.
8．向量a與b滿足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，則|b|＝________.
答案：
解析：|a＋b|2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝9，∴2ab＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.①
|a－b|2＝|a|2－2ab＋|b|2＝9.
∴2ab＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.②
∴|b|＝.
9．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝
5、8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是__________．
答案：22
解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為＝2，所以＝2，即2－－2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以＝22.
三、解答題：(共35分，11＋12＋12)
10．已知e1與e2是兩個夾角為60的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的夾角．
解析：因為|e1|＝|e2|＝1，所以e1e2＝11cos60＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋22(－3)e1e2＝7，故|b|＝，且ab＝－6e＋2e＋e1e2
6、＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a與b的夾角為120.
11．已知|a|＝|b|＝2，ab＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求實數t的值．
解析：由題意，得(a＋b)(a＋tb)＝0，
∴a2＋(t＋1)ab＋tb2＝0，
即4＋(t＋1)(－2)＋4t＝0，
得t＝－1.
12．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夾角為60.
(1)求(2a－b)(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求實數λ的值．
解析：(1)由題意，得ab＝|a||b|cos60＝14＝2.
∴(2a－b)(a＋b)＝2a2＋ab－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)ab－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
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