【人教A版】高中數(shù)學 第一章 解三角形章末知識整合 新人教A版必修5

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1、 起 高中數(shù)學 第一章 解三角形章末知識整合 新人教A版必修5 一、本章的中心內(nèi)容——如何解三角形 正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上．通過本章的學習應當達到以下學習目標： 1．通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． 2．能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際生活問題． 3．本章的兩個主要數(shù)學結論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結論．在初中，學生已經(jīng)學習了相關邊角關系的定性知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如

2、果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，那么這兩個三角形全等”． 4．在此內(nèi)容之前我們已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力． 5．勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．從上可知，余弦定理是勾股定理的

3、推廣． 二、學數(shù)學的最終目的——應用數(shù)學 能把實際問題抽象成數(shù)學問題，把所學的數(shù)學知識應用到實際問題中去，通過觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題，確定解決問題的科學思維方法，學會把數(shù)學知識應用于實際． 1．正弦定理可建立邊角關系，角的正弦越大所對的邊就越長． 2．由正弦值得出角的大小時特別要注意是一個解還是兩個解．一般地，解三角形時，只有當A為銳角且bsin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解． 3．利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題． (1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角． (2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角． 4．把

4、a＝ksin A，b＝ksin B代入已知等式可將邊角關系全部轉化為三角函數(shù)關系． 5．余弦定理是三角形邊角之間的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例． 6．余弦定理的應用范圍是：①已知三邊，求三角；②已知兩邊及一個內(nèi)角，求第三邊． 7．解斜三角形應用題的一般步驟． (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解． (4)檢驗：檢驗上述所求的解是否有實際意義，從而得出實際問題的解． 8．平面上兩點的

5、距離測量問題一般有如下幾類情況： (1)A、B兩點都在河的兩岸，一點可到達，另一點不可到達．方法是可到達一側再找一點進行測量． (2)A、B兩點都在河的對岸(不可到達)．方法是在可到達一側找兩點進行測量． (3)A、B兩點不可到達(如隔著一座山或建筑)．方法是找一點可同時到達A、B兩點進行測量． 9．利用正弦定理和余弦定理來解高度問題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕? 10．測量高度的一般方法是選擇能觀察到測量物體的兩點，分別測量仰角或俯角，同時測量出兩個觀測點的距離，再利用解三角形的方法進行計算． 11．求三角形的面

6、積的問題，先觀察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面積． 12．利用正弦定理、余弦定理、面積公式將已知條件轉化為方程組是解決復雜問題的常見思路，將方程化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系． 題型1　利用正、余弦定理解三角形 解三角形就是已知三角形中的三個獨立元素(至少一條邊)求出其他元素的過程，三角形中的元素有基本元素(邊和角)和非基本元素(中線、高、角平分線、外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑)，解三角形通常是指求未知的元素，有時也求三角形的面積． 解斜三角形包括四種類型：①已知三角形的兩角和一邊(一般先用內(nèi)角和求角或用正弦

7、定理求邊)；②已知兩邊及夾角(一般先用余弦定理求第三邊)；③已知三邊(先用余弦定理求角)；④已知兩邊和一邊的對角(先用正弦定理求另一邊的對角或先用余弦定理求第三邊，注意討論解的個數(shù))． 例1 在△ABC中，c＝4，b＝7，BC邊上的中線AD長為，求a. 解析：如圖，設CD＝DB＝x， 在△ACD中，cos C＝， 在△ACB中，cos C＝， 所以＝. 解得x＝. 所以a＝2x＝2＝9. 例2 如圖，四邊形ABCD中，B＝C＝120，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于________． 解析：由余弦定理得 BD2＝22＋22－222cos 120＝1

8、2， ∴BD＝2. ∵BC＝CD＝2，C＝120， ∴∠CBD＝30，∴∠ABD＝90， ∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD ＝42sin 90＋22sin 120＝5. 答案：5 題型2　利用正、余弦定理判定三角形的形狀 判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過正弦定理和余弦定理化邊為角，如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等，再利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關系進行判斷，此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關系，如sin A＝sin B?A＝B，sin(A－B)＝0?A＝B，sin 2A＝sin 2B?A＝B或A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦

9、定理化角為邊，如sin A＝，cos A＝等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷． 例3　在△ABC中，若B＝60，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀． 解析：方法一　由正弦定理可得2sin B＝sin A＋sin C， ∵B＝60，∴A＋C＝120，A＝120－C， 將其代入上式，得2sin 60＝sin(120－C)＋sin C， 展開整理，得sin C＋cos C＝1， ∴sin(C＋30)＝1，∴C＋30＝90. ∴C＝60，故A＝60， ∴△ABC是正三角形． 方法二　由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B， ∵B＝60，b＝， ∴＝a2＋

10、c2－2accos 60. ∴(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴a＝b＝c，∴△ABC為正三角形． 題型3　三角形解的個數(shù)的確定 (1)利用正弦定理討論：若已知a，b，A，由正弦定理＝，得sin B＝.若sin B＞1，則無解；若sin B＝1，則有一解；若sin B＜1，則可能有兩解． (2)利用余弦定理討論：已知a，b，A，由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcos A，即c2－(2bcos A)c＋b2－a2＝0.若方程無解或無正數(shù)解，則三角形無解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；若方程有兩個不同正數(shù)解，則三角形有兩解． 　例4 在△ABC中，若a＝2，A＝30，則b為何值時

11、，三角形有一解，兩解，無解？ 解析：由正弦定理＝得： ①當bsin A＜a＜b時，有兩解，此時2＜b＜4； ②當a≥b時或B為90(b為斜邊)時，有一解，此時b≤2或b＝4； ③當a＜bsin A時無解，此時b＞4. 題型4　正、余弦定理在實際問題中的應用 　例5 如圖，為了解某海域海底構造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進行測量，已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝80 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值． 解析：如下圖，作DM∥AC交BE于N，交CF于M， DF＝＝＝10， DE＝＝＝130， EF＝＝＝150. 在△DEF中，由余弦定理得： cos∠DEF＝ ＝＝.