高中數(shù)學(xué)人教A版必修四 第二章 平面向量 第二章 章末檢測(cè)A含答案

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 第二章　平面向量(A) (時(shí)間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1．與向量a＝(1,)的夾角為30的單位向量是(　　) A．(,)或(1,) B．(,) C．(0,1) D．(0,1)或(,) 2．設(shè)向量a＝(1,0),b＝(,),則下列結(jié)論中正確的是(　　) A．|a|＝|b| B．a(chǎn)b＝ C．a(chǎn)－b與b垂直 D．a(chǎn)∥b 3．已知三個(gè)力f1＝(－2,－1),f2＝(－3,2),f3＝(4,

2、－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn),為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個(gè)力f4,則f4等于(　　) A．(－1,－2) B．(1,－2) C．(－1,2) D．(1,2) 4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,＝a,＝b,＝c,則a＋b＋c的模等于(　　) A．0 B．2＋ C. D．2 5．若a與b滿足|a|＝|b|＝1,〈a,b〉＝60,則aa＋ab等于(　　) A. B. C．1＋ D．2 6．若向量a＝(1,1),b＝(1,－1),c＝(－1,2),則c等于(　　

3、) A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b 7．若向量a＝(1,1),b＝(2,5),c＝(3,x),滿足條件(8a－b)c＝30,則x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 8．向量＝(4,－3),向量＝(2,－4),則△ABC的形狀為(　　) A．等腰非直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．設(shè)點(diǎn)A(1,2)、B(3,5),將向量按向量a＝(－1,－1)平移后得到為(　　) A．(1,2) B．

4、(2,3) C．(3,4) D．(4,7) 10．若a＝(λ,2),b＝(－3,5),且a與b的夾角是鈍角,則λ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 11．在菱形ABCD中,若AC＝2,則等于(　　) A．2 B．－2 C．||cos A D．與菱形的邊長(zhǎng)有關(guān) 12．如圖所示,已知正六邊形P1P2P3P4P5P6,下列向量的數(shù)量積中最大的是(　　) A. B. C. D. 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8

5、9 10 11 12 答案 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13．已知向量a＝(2,－1),b＝(－1,m),c＝(－1,2),若(a＋b)∥c,則m＝________. 14．已知向量a和向量b的夾角為30,|a|＝2,|b|＝,則向量a和向量b的數(shù)量積ab＝________. 15．已知非零向量a,b,若|a|＝|b|＝1,且a⊥b,又知(2a＋3b)⊥(ka－4b),則實(shí)數(shù)k的值為________． 16. 如圖所示,半圓的直徑AB＝2,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)

6、,則(＋)的最小值是________． 三、解答題(本大題共6小題,共70分) 17．(10分)已知a,b,c在同一平面內(nèi),且a＝(1,2)． (1)若|c|＝2,且c∥a,求c； (2)若|b|＝,且(a＋2b)⊥(2a－b),求a與b的夾角． 18．(12分)已知|a|＝2,|b|＝3,a與b的夾角為60,c＝5a＋3b,d＝3a＋kb,當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí), (1)c∥d；(2)c⊥d. 19．(12分)已知|a|＝1,ab＝,(a－b)(a＋b)＝,求： (1)a與b的夾角； (2)a－b

7、與a＋b的夾角的余弦值． 20．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(－1,－2),B(2,3),C(－2,－1)． (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)＝0,求t的值． 21．(12分)已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)P.求證： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. 22．(12分)已知向量、、滿足條件＋＋＝0,||＝||＝||＝1. 求證：△P1P2P3是正三角

8、形． 第二章　平面向量(A) 答案 1．D　2.C 3．D　[根據(jù)力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0,∴f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．] 4．D　[|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|2|＝2||＝2.] 5．B　[由題意得aa＋ab＝|a|2＋|a||b|cos 60＝1＋＝,故選B.] 6．B　[令c＝λa＋μb,則　∴∴c＝a－b.] 7．C　[∵a＝(1,1),b＝(2,5),∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)c＝30,∴(6,3)(3,x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.] 8．C　[∵＝(4,－

9、3),＝(2,－4), ∴＝－＝(－2,－1), ∴＝(2,1)(－2,4)＝0, ∴∠C＝90,且||＝,||＝2,||≠|(zhì)|. ∴△ABC是直角非等腰三角形．] 9．B　[∵＝(3,5)－(1,2)＝(2,3),平移向量后得,＝＝(2,3)．] 10．A　[ab＝－3λ＋10<0,∴λ>.當(dāng)a與b共線時(shí),＝,∴λ＝.此時(shí),a與b同向,∴λ>.] 11．B　[ 如圖,設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,∴＝＋. ＝(＋)＝－2＋0＝－2,故選B.] 12．A　[根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)． 〈,〉＝,〈,〉＝, 〈,〉＝,〈,〉＝. ∴<0,＝0, ＝||||cos ＝||

10、2, ＝||2||cos ＝||2.比較可知A正確．] 13．－1 解析　∵a＝(2,－1),b＝(－1,m),∴a＋b＝(1,m－1)． ∵(a＋b)∥c,c＝(－1,2),∴2－(－1)(m－1)＝0.∴m＝－1. 14．3 解析　ab＝|a||b|cos 30＝2cos 30＝3. 15．6 解析　由(2a＋3b)(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0,∴k＝6. 16．－ 解析　因?yàn)辄c(diǎn)O是A,B的中點(diǎn),所以＋＝2,設(shè)||＝x,則||＝1－x(0≤x≤1)． 所以(＋)＝2＝－2x(1－x)＝2(x－)2－. ∴當(dāng)x＝時(shí),(＋)取到最小值－. 17．

11、解　(1)∵c∥a,∴設(shè)c＝λa,則c＝(λ,2λ)． 又|c|＝2,∴λ＝2,∴c＝(2,4)或(－2,－4)． (2)∵⊥(2a－b),∴(a＋2b)(2a－b)＝0. ∵|a|＝,|b|＝,∴ab＝－. ∴cos θ＝＝－1,∴θ＝180. 18．解　由題意得ab＝|a||b|cos 60＝23＝3. (1)當(dāng)c∥d,c＝λd,則5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5,且kλ＝3,∴k＝. (2)當(dāng)c⊥d時(shí),cd＝0,則(5a＋3b)(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)ab＝0,∴k＝－. 19．解　(1)∵(a－b)(a＋b)＝|a|2－|b

12、|2＝1－|b|2＝,∴|b|2＝,∴|b|＝, 設(shè)a與b的夾角為θ,則cos θ＝＝＝.∴θ＝45. (2)∵|a|＝1,|b|＝, ∴|a－b|2＝a2－2ab＋b2＝1－2＋＝.∴|a－b|＝, 又|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝1＋2＋＝.∴|a＋b|＝, 設(shè)a－b與a＋b的夾角為α,則cos α＝＝＝.即a－b與a＋b的夾角的余弦值為. 20．解　(1)＝(3,5),＝(－1,1), 求兩條對(duì)角線的長(zhǎng)即求|＋|與|－|的大小． 由＋＝(2,6),得|＋|＝2, 由－＝(4,4),得|－|＝4. (2)＝(－2,－1),∵(－t)＝－t2,易求＝－11,2＝5,

13、 ∴由(－t)＝0得t＝－. 21．證明　 如圖建立直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB＝2, 則A(0,0),B(2,0),C(2,2), E(1,2),F(0,1)． (1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2), ＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2,－1), ∵＝－1(－2)＋2(－1)＝0, ∴⊥,即BE⊥CF. (2)設(shè)P(x,y),則＝(x,y－1),＝(－2,－1), ∵∥,∴－x＝－2(y－1),即x＝2y－2. 同理由∥,得y＝－2x＋4,代入x＝2y－2. 解得x＝,∴y＝,即P. ∴2＝2＋2＝4＝2, ∴||＝||,即AP＝AB. 22．證明　∵＋＋＝0,∴＋＝－, ∴(＋)2＝(－)2, ∴||2＋||2＋2＝||2, ∴＝－, cos∠P1OP2＝＝－, ∴∠P1OP2＝120.同理,∠P1OP3＝∠P2OP3＝120,即、、中任意兩個(gè)向量的夾角為120,故△P1P2P3是正三角形．