高中數(shù)學(xué)人教A版必修四 第二章 平面向量 2．5.1 課時(shí)作業(yè)含答案

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 §2.5　平面向量應(yīng)用舉例 2．5.1　平面幾何中的向量方法 課時(shí)目標(biāo)　經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題及其他一些實(shí)際問題的過程,體會(huì)向量是一種處理幾何問題等的工具,發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力． 1．向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題,包括相似問題,常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?________?______________________. (2)證明垂直問題,如證明四邊形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a,b,a⊥b?____________?_______

2、_______. (3)求夾角問題,往往利用向量的夾角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等,可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝_______ 2．直線的方向向量和法向量 (1)直線y＝kx＋b的方向向量為________,法向量為________． (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為________,法向量為________． 一、選擇題 1．在△ABC中,已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7),則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是(　　) A．2 B.

3、 C．3 D. 2．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),滿足·＝·＝·,則點(diǎn)O是△ABC的(　　) A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn) 3．已知直線l1：3x＋4y－12＝0,l2：7x＋y－28＝0,則直線l1與l2的夾角是(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 4．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足|－|＝|＋－2|,則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形

4、 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 5．已知點(diǎn)A(,1),B(0,0),C(,0),設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E,那么有＝λ,其中λ等于(　　) A．2 B. C．－3 D．－ 6．已知非零向量與滿足·＝0且·＝,則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填

5、空題 7．如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩 點(diǎn)M、N,若＝m,＝n,則m＋n的值為__________________． 8．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||＝3,||＝4,||＝5.則·＋·＋·＝________________. 9．設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D,已知(＋－2)·(－)＝0,則△ABC的形狀一定是__________． 10．在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4),若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||＝2,則＝__________________.

6、 三、解答題 11．在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(－4,7),求∠A的平分線的方程． 12．P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn),PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF. 能力提升 13．已知點(diǎn)O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||＝||＝||,＋＋＝0,·＝PB·＝·,則點(diǎn)O,N,P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 14．求證：

7、△ABC的三條高線交于一點(diǎn)． 1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時(shí),有兩種思路：一種思路是選擇一組基底,利用基向量表示涉及的向量,一種思路是建立坐標(biāo)系,求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明． 2．在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量．所以,一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)多個(gè),它們都共線．同理,與直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量．

8、一條直線的法向量也有無(wú)數(shù)多個(gè)．熟知以下結(jié)論,在解題時(shí)可以直接應(yīng)用． ①y＝kx＋b的方向向量v＝(1,k),法向量為n＝(k,－1)． ②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B,－A),法向量n＝(A,B)． §2.5　平面向量應(yīng)用舉例 2．5.1　平面幾何中的向量方法 答案 知識(shí)梳理 1．(1)a＝λb　x1y2－x2y1＝0　(2)a·b＝0　x1x2＋y1y2＝0(3)　　(4) 2．(1)(1,k)　(k,－1)　(2)(B,－A)　(A,B) 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．B　[BC中點(diǎn)為D,＝, ∴||＝.] 2．D　[∵

9、3;＝·, ∴(－)·＝0. ∴·＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB, ∴O為垂心．] 3．B　[設(shè)l1、l2的方向向量為v1,v2,則 v1＝(4,－3),v2＝(1,－7), ∴|cos〈v1,v2〉|＝＝＝. ∴l(xiāng)1與l2的夾角為45°.] 4．B　[∵|－|＝||＝|－|, |＋－2|＝|＋|, ∴|－|＝|＋|, ∴四邊形ABDC是矩形,且∠BAC＝90°. ∴△ABC是直角三角形．] 5．C [如圖所示,由題知∠ABC＝30°,∠AEC＝60°,CE＝,∴＝3,∴＝

10、－3.] 6．D　[由·＝0,得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC. 而·＝cos〈,〉＝,又〈,〉∈[0°,180°],∴∠BAC＝60°. 故△ABC為正三角形,選D.] 7．2 解析　∵O是BC的中點(diǎn), ∴＝(＋)＝＋, ∴＝－＝(－1)＋. 又∵＝－,∥, ∴存在實(shí)數(shù)λ,使得＝λ,即 化簡(jiǎn)得m＋n＝2. 8．－25 解析　△ABC中,B＝90°,cos A＝,cos C＝, ∴·＝0,·＝4×5×＝－16, ·＝5×3×＝－9.

11、 ∴·＋·＋·＝－25. 9．等腰三角形 解析　∵(＋－2)·(－) ＝[(－)＋(－)]·(－) ＝(＋)·(－)＝2－2 ＝||2－||2＝0, ∴||＝||,∴△ABC是等腰三角形． 10. 解析　 已知A(0,1),B(－3,4), 設(shè)E(0,5),D(－3,9), ∴四邊形OBDE為菱形． ∴∠AOB的角平分線是菱形OBDE的對(duì)角線OD. 設(shè)C(x1,y1),||＝3, ∴＝. ∴(x1,y1)＝×(－3,9)＝, 即＝. 11．解　＝(3,4),＝(－8,6), ∠A的平

12、分線的一個(gè)方向向量為： ＋＝＋＝. ∵∠A的平分線過點(diǎn)A. ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得：7x＋y－29＝0. 12．證明　以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC所在直線為x軸,DA所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,||＝λ,則A(0,1), P,E,F, 于是＝,＝. ∴||＝＝, 同理||＝, ∴||＝||,∴PA＝EF. ∴·＝＋＝0, ∴⊥.∴PA⊥EF. 13．C 　[如圖,∵＋＋＝0, ∴＋＝－.依向量加法的平行四邊形法則,知|N|＝2||,故點(diǎn)N為△ABC的重心． ∵·＝·, ∴(－)·＝·＝0. 同理·＝0,·＝0, ∴點(diǎn)P為△ABC的垂心． 由||＝||＝||,知點(diǎn)O為△ABC的外心．] 14．證明　 如圖所示,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高． 設(shè)BE,CF交于H點(diǎn), 令＝b,＝c,＝h, 則＝h－b,＝h－c,＝c－b. ∵⊥,⊥, ∴(h－b)·c＝0,(h－c)·b＝0, 即(h－b)·c＝(h－c)·b 整理得h·(c－b)＝0,∴·＝0 ∴AH⊥BC,∴與共線． AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H.