關于矩陣逆的判定及求逆矩陣方法的探討數學畢業(yè)論文

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1、 關于矩陣逆的判定及求逆矩陣方法的探討 摘 要：矩陣的可逆性判定及逆矩陣的求解是高等代數的主要內容之一。本文給出 判定矩陣是否可逆及求逆矩陣的幾種方法。 關鍵詞：逆矩陣 伴隨矩陣 初等矩陣 分塊矩陣 矩陣理論是線性代數的一個主要內容，也是處理實際問題的重要工具，而逆矩陣在矩陣的理論和應用中占有相當重要的地位。下面通過引入逆矩陣的定義，就矩陣可逆性判定及求逆矩陣的方法進行探討。 定義1 n級方陣A稱為可逆的，如果n級方陣B，使得 AB=BA=E （1）

2、 這里E是n級單位矩陣。 定義2 如果B適合（1），那么B就稱為A的逆矩陣，記作。 定理1 如果A有逆矩陣，則逆矩陣是唯一的。 逆矩陣的基本性質： 性質1 當A為可逆陣，則. 性質2 若A為可逆陣，則為任意一個非零的數都是可逆陣，且 . 性質3 ，其中A，B均為n階可逆陣. 性質4 . 由性質3有 定理2 若是同階可逆陣，則是可逆陣，且 下面給出幾種判定方陣的可逆性及求逆矩陣的方法： 方法一 定義法 利用定義1，即找一個矩陣B，使AB=E，則A可逆，并且。 方法二 伴隨矩陣法 定義3 設是n級方陣，用表

3、示A的元的代數余子式， 矩陣稱為A的伴隨矩陣，記作A*。 定理3 矩陣A可逆的充分必要條件是，并且當A可逆時,有 。 定理證明見[1]. 定理3不僅給出了判斷一個矩陣是否可逆的一種方法，并且給出了求逆矩陣的一種方法，但是這種方法主要用在理論上以及2級或3級矩陣的情形，如果階數較大，那么使用此方法計算量太大。 由定理3逆矩陣判定的方法還有： 推論3.1 n級矩陣A可逆的充要條件是矩陣A的秩為n。 推論3.2 矩陣A可逆的充要條件是它的特征值都不為0。 推論3.3 n級矩陣A可逆的充分必要條件是它的行或列向量組線性無關。 方法三 初等變換法 定義4

4、對矩陣施行以下三種變換稱為矩陣的初等變換： 交換矩陣的兩行列； 以一個非零的數乘矩陣的某一行列； 把矩陣的某一行（列的倍加到另一行列。 定理4 方陣A可逆的充分必要條件是A可表示為若干個同階初等矩陣的乘積。 具體方法是：欲求A的逆矩陣時，首先由A作出一個矩陣，即，其次對這個矩陣施以行初等變換且只能用行初等變換，將它的左半部的矩陣A化為單位矩陣，那么原來右半部的單位矩陣就同時化為： 或者 例1 求矩陣A的逆矩陣，已知。 解： 注：在事先不知道n階矩陣是可逆

5、的情況下，也可直接用此方法。如果在初等變換過程中發(fā)現左邊的矩陣有一行元素全為0，則意味著A不可逆。 方法四 利用解線性方程組來求逆矩陣 若階矩陣A可逆，則，于是的第列是線性方程組的 解，.因此我們可以去解線性方程組，其，把所得的解的公式中的分別用；；…；代替，便可求得的第列，這種方法在某些時候可能比用初等變換法求逆矩陣稍微簡單一點。 例2 求矩陣A=的逆矩陣。 解： 設 解方程組AX=B 即 解得 然后把列，分別用 代入得到矩陣的第行，分別用 即 這種方法特別適用于線性方程組

6、AX=B的解容易求解的情形。 方法五 分塊求逆法 當一個可逆矩陣的階數較大時，即使用初等變換求它的逆矩陣仍然計算量較大。如果把該矩陣分塊，再對分塊矩陣求逆矩陣，則能減少計算量。而且形如 的分塊矩陣，使用分塊矩陣較方便?，F用為例，來說明求逆矩陣的方法，其它的矩陣可依此類推。 設有n階可逆矩陣，其中為階可逆方陣，求。 解：設，則與有相同分法，則 得一個線性方程組為 由于可逆，故存在，解得 從而 方法六 利用哈密爾頓—凱萊定理求逆矩陣法 哈密爾頓—凱萊定理

7、設A是數域P上一個矩陣，是A的特征多項式，則。 如果A可逆，則A的特征多項式的常數項，由定理知 于是 因此得 此式給出了的多項式計算方法。 例3 已知，求。 解：矩陣A的特征多項式為： 因，所以矩陣A可逆，由式知 = 方法七 “和化積”法 有時遇到這樣的問題：要求判斷方陣之和A+B的可逆性并求逆矩陣，此時可將A+B直接化為，由此有A+B可逆，且，或將方陣之和A+B表為若干個已知的可逆陣之積，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩陣。 例4 證明：若，則是可逆陣，并求。 證明： E-A

8、是可逆矩陣且 總之，矩陣可逆性的判斷及求逆矩陣的方法很多，不僅僅只是以上列舉的幾種方法，大家在做題過程中，可根據題目的需要靈活選用方法來求解。 參考文獻： [1]丘維聲. 高等代數[M]. 高等教育出版社，1985. [2]北京大學數學系. 高等代數[M]. 高等教育出版社，1988. [3]楊明順. 三角矩陣求逆的一種方法. 渭南師范學院學報，2003. [4]楊彗. 矩陣的非奇異性判定及求逆矩陣的幾種方法. 云南師范大學學報，2002. The ones that go against matrix judge and ask the discussion g

9、oing against the matrix method ABSTRACT: Judging reversibly and against the asking and solving one of the main contents that is higher algebra of matrix. This text provides and judges whether matrix is reversible and asks several kinds of methods to go against matrix. KEYWORDS: Inverse matrix Adjoint matrix Elementary matrix Partitioned matrix 7