【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其表示訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、 【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其表示訓(xùn)練 理 新人教A版 第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念． 2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)． 3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用. 1.考查方式多為選擇題或填空題． 2.函數(shù)的表示方法是高考的?？純?nèi)容，特別是圖象法與解析式更是高考的?？停?012年新課標(biāo)全國T10等． 3.分段函數(shù)是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)，常以求解函數(shù)值，由函數(shù)值求自變量以及與不等式相關(guān)的問題為主，如201

2、2年江西T3等. [歸納知識(shí)整合] 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B A，B是兩個(gè)非空數(shù)集 A，B是兩個(gè)非空集合 對應(yīng)關(guān)系f：A→B 按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng) 按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個(gè)元素x在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng) 名稱 f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù) 對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射 記法 y＝f(x)，x∈A 對應(yīng)f：A→B是一個(gè)映射 [探究]　1.函數(shù)和映射的區(qū)別與聯(lián)系是什么？ 提示：二者的

3、區(qū)別在于映射定義中的兩個(gè)集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個(gè)集合必須是非空數(shù)集，二者的聯(lián)系是函數(shù)是特殊的映射． 2．函數(shù)的有關(guān)概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集． (2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系． 3．相等函數(shù) 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)． [探究]　2.若兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域都相同，它們是否是同一個(gè)函數(shù)？ 提示：不一定．如函數(shù)y＝

4、x與y＝x＋1，其定義域與值域完全相同，但不是同一個(gè)函數(shù)；再如y＝sin x與y＝cos x，其定義域都為R，值域都為[－1,1]，顯然不是同一個(gè)函數(shù)．因?yàn)槎x域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個(gè)函數(shù)的值域也相同，所以定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)． 4．函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法和圖象法． 5．分段函數(shù) 若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． [自測牛刀小試] 1．(

5、教材習(xí)題改編)給出下列五個(gè)命題，正確的有(　　) ①函數(shù)是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系； ②函數(shù)f(x)＝＋； ③f(x)＝5，因這個(gè)函數(shù)的值不隨x的變化而變化，所以f(t2＋1)也等于5； ④y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線； ⑤f(x)＝1與g(x)＝x0表示同一個(gè)函數(shù)． A．1個(gè)　　　 B．2個(gè)　　　 C．3個(gè)　　　 D．4個(gè) 解析：選B　由函數(shù)的定義知①正確；②錯(cuò)誤；由得定義域?yàn)?，所以不是函數(shù)；因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝5為常數(shù)函數(shù)，所以f(t2＋1)＝5，故③正確；因?yàn)閤∈N，所以函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一些離散的點(diǎn)，故④錯(cuò)誤；由于函數(shù)f(x)＝1的定義域?yàn)镽，函數(shù)g(x

6、)＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}，故⑤錯(cuò)誤．綜上分析，可知正確的個(gè)數(shù)是2. 2．(教材習(xí)題改編)以下給出的對應(yīng)是從集合A到B的映射的有(　　) ①集合A＝{P|P是數(shù)軸上的點(diǎn)}，集合B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點(diǎn)與它所代表的實(shí)數(shù)對應(yīng)． ②集合A＝{P|P是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與它的坐標(biāo)對應(yīng)； ③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓； ④集合A＝{x|x是新華中學(xué)的班級}，集合B＝{x|x是新華中學(xué)的學(xué)生}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)班級都對應(yīng)班里的學(xué)生． A．

7、1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選C　由于新華中學(xué)的每一個(gè)班級里的學(xué)生都不止一個(gè)，即一個(gè)班級對應(yīng)的學(xué)生不止一個(gè)，所以④不是從集合A到集合B的映射． 3．(2012江西高考)若函數(shù)f(x)＝則f(f(10))＝(　　) A．lg 101 B．2 C．1 D．0 解析：選B　f(10)＝lg 10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2. 4．(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(4))＝________；若f(a)＝2，則a＝________. 解析：∵f(x)＝，∴f(4)＝＝－3. ∴f(f(4))＝f(－3)＝＝. ∵f(a

8、)＝2，即＝2， 解得a＝14. 答案：　14 5．(教材習(xí)題改編)A＝{x|x是銳角}，B＝(0,1)，從A到B的映射是“求余弦”，與A中元素60相對應(yīng)的B中的元素是________；與B中元素相對應(yīng)的A中的元素是________． 解析：∵cos 60＝，∴與A中元素60相對應(yīng)的B中的元素是. 又∵cos 30＝ ，∴與B中元素相對應(yīng)的A中的元素是30. 答案：　30 函數(shù)與映射的概念 [例1]　有以下判斷： (1)f(x)＝與g(x)＝表示同一個(gè)函數(shù)． (2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的交點(diǎn)最多有1個(gè)． (3)f(x)＝x2－2x＋1與g

9、(t)＝t2－2t＋1是同一函數(shù)． (4)若f(x)＝|x－1|－|x|，則f＝0. 其中正確判斷的序號是________． [自主解答]　對于(1)，函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)＝的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，則直線x＝1與y＝f(x)的圖象沒有交點(diǎn)，若x＝1是y＝f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)的定義可知，直線x＝1與y＝f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y＝f(x)的圖象與直線x＝1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)與g(t)表示同一函數(shù)；對于(

10、4)，由于f＝－＝0， 所以f＝f(0)＝1. 綜上可知，正確的判斷是(2)(3)． [答案]　(2)(3) ——————————————————— 1．判斷兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系的方法 要檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，只需檢驗(yàn)：(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系是否給出；(2)根據(jù)給出的對應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值，是否都能找到唯一的函數(shù)值y與之對應(yīng)． 2．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的方法 判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，要先看定義域是否一致，若定義域一致，再看對應(yīng)法則是否一致，由此即可判斷． 1．(1)以下給出的同組函數(shù)中，是否表示同一函數(shù)？為什么？ ①f1：

11、y＝；f2：y＝1.②f1：y＝ f2： x x≤1 1＜x＜2 x≥2 y 1 2 3 ③f1：y＝2x；f2：如圖所示． 解：①不同函數(shù)．f1(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，f2(x)的定義域?yàn)镽. ②同一函數(shù)．x與y的對應(yīng)關(guān)系完全相同且定義域相同，它們是同一函數(shù)的不同表示方式． ③同一函數(shù)．理由同②. (2)已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：x→y＝－x2＋2x，對于實(shí)數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對應(yīng)，則k的取值范圍是(　　) A．k>1　　　 B．k≥1　　　 C．k<1　　　 D．k≤1 解析：選A　由題意知，方程－x2＋

12、2x＝k無實(shí)數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無實(shí)數(shù)根． 所以Δ＝4(1－k)<0，解得k>1時(shí)滿足題意. 求函數(shù)的解析式 [例2]　(1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9.求f(x)． [自主解答]　(1)法一：(換元法)設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函數(shù)為f(x)＝x2＋2x－2. 法二：(配湊法)∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x＋1)2＋ 2(x＋1)－2， ∴所求函數(shù)為f(x)＝x2

13、＋2x－2. (2)(待定系數(shù)法)由題意，設(shè)函數(shù)為f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， ∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9. 由恒等式性質(zhì)，得 解得a＝1，b＝3. ∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x＋3. 若將本例(1)中“f(x＋1)＝x2＋4x＋1”改為“f＝lg x”，如何求解？ 解：令＋1＝t，∵x>0， ∴t>1且x＝. ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．　　　　 ——————————————————— 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x

14、))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式； (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍； (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程求出f(x)． 2．給出下列兩個(gè)條件： (1)f(＋1)＝x＋2； (2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2. 試分別求出f(x)的解析式． 解：(1)令t＝

15、＋1， ∴t≥1，x＝(t－1)2. 則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c，又∵f(0)＝c＝3. ∴f(x)＝ax2＋bx＋3， ∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴解得∴f(x)＝x2－x＋3. 分段函數(shù)求值 [例3]　已知函數(shù)f(x)＝則f(2＋log23)的值為(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. [解析]　∵2＋log23<4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．

16、∵3＋log23>4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝3＋log23＝log23＝＝. [答案]　A ——————————————————— 解決分段函數(shù)求值問題的方法 (1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求值． (2)若給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量值是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍，做到分段函數(shù)分段解決． 3．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A. B. C．2 D．9 解析：選C　∵

17、x<1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2. 由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax， ∴4a＝4＋2a，解得a＝2. 4種方法——函數(shù)解析式的求法 求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)解方程組法．具體內(nèi)容見例2[方法規(guī)律]． 2兩個(gè)易誤點(diǎn)——映射的概念及分段函數(shù)求值問題中的易誤點(diǎn) (1)判斷對應(yīng)是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；②B中元素可無原象，即B中元素可有剩余． (2)求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 在

18、求分段函數(shù)的值f(x0)時(shí)，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域是其定義域內(nèi)不同子集上對應(yīng)的各關(guān)系式的值域的并集. 數(shù)學(xué)思想——分類討論思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用 當(dāng)數(shù)學(xué)問題不宜用統(tǒng)一的方法處理時(shí)，我們常常根據(jù)研究對象的差異，按照一定的分類方法或標(biāo)準(zhǔn)，將問題分為“全而不重，廣而不漏”的若干類，然后逐類分別討論，再把結(jié)論匯總，得出問題答案的思想，這就是主要考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，由于分段函數(shù)在不同定義區(qū)間上具有不同的解析式，在處理分段函數(shù)問題時(shí)應(yīng)對不同的區(qū)間進(jìn)行分類求解，然后整合，這恰好是分類討論的一種體現(xiàn)． [典例]　(2011江蘇高

19、考)已知實(shí)數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________． [解析]?、佼?dāng)1－a＜1，即a＞0時(shí)，此時(shí)a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，計(jì)算得a＝－(舍去)；②當(dāng)1－a＞1，即a＜0時(shí)，此時(shí)a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，計(jì)算得a＝－，符合題意，所以綜上所述，a＝－. [答案]?。? 1．在解決本題時(shí)，由于a的取值不同限制了1－a及1＋a的取值，從而應(yīng)對a進(jìn)行分類討論． 2．運(yùn)用分類討論的思想解題的基本步驟 (1)確定討論對象和確定研究的區(qū)域； (2

20、)對所討論的問題進(jìn)行合理的分類(分類時(shí)需要做到不重不漏，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、分層不越級)； (3)逐類討論：即對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決； (4)歸納總結(jié)，整合得出結(jié)論． 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1)　　　　 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 解析：選C?、佼?dāng)a>0時(shí)，∵f(a)>f(－a)， ∴l(xiāng)og2a>loga＝log2 . ∴a>，得a>1. ②當(dāng)a<0時(shí)，∵f(a)>f(－a)， ∴l(xiāng)og(－a)>log2(－a)＝log.

21、∴－a<得－14，則x的取值范圍是________________． 解析：當(dāng)x<1時(shí)，由f(x)>4得2－x>4，即x<－2； 當(dāng)x≥1時(shí)，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，但由于x≥1，所以x>2. 綜上，x的取值范圍是x<－2或x>2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．下列各組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是(　　) A．y＝與y＝ B．y＝ln ex與y＝eln x C．y＝與y＝x＋3 D．y＝x0與y＝ 解析：選D　y＝＝x，y

22、＝＝|x|，故y＝與y＝不表示相等函數(shù)；B、C選項(xiàng)中的兩函數(shù)定義域不同；D選項(xiàng)中的兩函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)． 2．設(shè)A＝{0,1,2,4}，B＝，則下列對應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成A到B的映射的是(　　) A．f：x→x3－1　　　　　　 B．f：x→(x－1)2 C．f：x→2x－1 D．f：x→2x 解析：選C　對于A，由于集合A中x＝0時(shí)，x3－1＝－1?B，即A中元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以選項(xiàng)A不符合；同理可知B、D兩選項(xiàng)均不能構(gòu)成A到B的映射，C符合． 3．已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－10))＝(　　) A. B. C．1 D．－ 解析：選A　依題意可知f(－1

23、0)＝lg 10＝1， f(1)＝21－2＝. 4．(2013杭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，則a＝(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．1 解析：選D　∵f(a)＋f(－1)＝2，且f(－1)＝ ＝1， ∴f(a)＝1，當(dāng)a≥0時(shí)，f(a)＝ ＝1，∴a＝1； 當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝ ＝1，∴a＝－1. 5．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為(　　) A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝x2－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3 解析：選B　由f(x)＋2f(

24、3－x)＝x2可得f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2，由以上兩式解得f(x)＝x2－4x＋6. 6．(2013泰安模擬)具有性質(zhì)：f＝－f(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”交換的函數(shù)，下列函數(shù)： ①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是(　　) A．①②　　　 B．①③　　　 C．②③　　　 D．只有① 解析：選B?、賔＝－x＝－f(x)滿足． ②f＝＋x＝f(x)不滿足． ③01時(shí)，f＝＝－f(x)滿足． 二、填空題 7．已知f＝x2＋，則函數(shù)f(3)＝_____

25、___. 解析：∵f＝x2＋＝2＋2， ∴f(x)＝x2＋2.∴f(3)＝32＋2＝11. 答案：11 8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)且f(1)＝1，則＋＋…＋＝________. 解析：令b＝1，∵＝f(1)＝1， ∴＋＋…＋＝2 011. 答案：2 011 9．已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是________． 解析：畫出f(x)＝的圖象， 如圖． 由圖象可知，若f(1－x2)>f(2x)， 則 即 得x∈(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．已知f

26、(x)＝x2－1，g(x)＝ (1)求f(g(2))和g(f(2))的值； (2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式． 解：(1)由已知，g(2)＝1，f(2)＝3， 因此f(g(2))＝f(1)＝0， g(f(2))＝g(3)＝2. (2)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝x－1， 故f(g(x))＝(x－1)2－1＝x2－2x； 當(dāng)x<0時(shí)，g(x)＝2－x， 故f(g(x))＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3. 所以f(g(x))＝ 當(dāng)x>1或x<－1時(shí)，f(x)>0， 故g(f(x))＝f(x)－1＝x2－2； 當(dāng)－1

27、2－f(x)＝3－x2. 所以g(f(x))＝ 11．二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2x＋5. 解：(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 把f(x)的表達(dá)式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x. ∴2ax＋a＋b＝2x. ∴a＝1，b＝－1. ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0， 解得x>4或x<－1. 故原不等式解集為{x|

28、x>4或x<－1}． 12．規(guī)定[t]為不超過t的最大整數(shù)，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，對任意實(shí)數(shù)x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，進(jìn)一步令f2(x)＝f1[g(x)]． (1)若x＝，分別求f1(x)和f2(x)； (2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同時(shí)滿足，求x的取值范圍． 解：(1)∵x＝時(shí)，4x＝， ∴f1(x)＝＝1. ∵g(x)＝－＝. ∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3. (2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1， ∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3. ∴∴≤x<. 1．“

29、龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到達(dá)終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…，用s1，s2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是(　　) 解析：選B　根據(jù)故事的描述，烏龜是先于兔子到達(dá)終點(diǎn)，到達(dá)終點(diǎn)的最后時(shí)刻烏龜?shù)穆烦檀笥谕米拥穆烦?，并且兔子中間有一段路程為零，分析知B圖象與事實(shí)相吻合． 2．下列對應(yīng)關(guān)系是集合P上的函數(shù)的是________． (1)P＝Z，Q＝N*，對應(yīng)關(guān)系f：對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應(yīng)； (2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,

30、4}，對應(yīng)關(guān)系：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q； (3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，對應(yīng)關(guān)系f：對P中三角形求面積與集合Q中元素對應(yīng)． 解析：對于(1)，集合P中元素0在集合Q中沒有對應(yīng)元素，故(1)不是函數(shù)；對于(3)集合P不是數(shù)集，故(3)不是函數(shù)；(2)正確． 答案：(2) 3．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)： (1)y＝，y＝； (2)y＝x，y＝； (3)y＝|x|，y＝()2. 解：∵y＝的定義域?yàn)閧x|x≥2}， y＝的定義域?yàn)閧x|x≥2或x≤－2}， ∴它們不是同一函數(shù)． (2)∵它們的定義域相同，且y＝＝t， ∴y＝x與y＝是同一函數(shù)．

31、 (3)∵y＝|x|的定義域?yàn)镽，y＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥0}， ∴它們不是同一函數(shù)． 4．已知f(x)＝且f(a)＝3，求a的值． 解：①當(dāng)a≤－1時(shí)，f(a)＝a＋2， 由a＋2＝3，得a＝1，與a≤－1相矛盾，應(yīng)舍去． ②當(dāng)－1

32、多與集合問題相交匯，考查與對數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)、根式函數(shù)有關(guān)的定義域問題．如2012年江西T2，江蘇T5等． 2.函數(shù)的值域或最值問題很少單獨(dú)考查，通常與不等式恒成立等問題相結(jié)合作為函數(shù)綜合問題中的某一問出現(xiàn)在試卷中. [歸納知識(shí)整合] 1．常見基本初等函數(shù)的定義域 (1)分式函數(shù)中分母不等于零． (2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0. (3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定義域均為R. (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域?yàn)?0，＋∞)． (6)y＝tan x的定義域?yàn)? (

33、7)實(shí)際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題對函數(shù)自變量的制約． 2．基本初等函數(shù)的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是： 當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋? 當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)? (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是{y|y>0}． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R. (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． (7)y＝tan x的值域是R. [探究]　1.若函數(shù)y＝f(x)的定義域和值域相同，則稱函數(shù)y＝f(x)是圓

34、滿函數(shù)，則函數(shù)①y＝；②y＝2x；③y＝ ；④y＝x2中是圓滿函數(shù)的有哪幾個(gè)？ 提示：①y＝的定義域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函數(shù)y＝是圓滿函數(shù)；②y＝2x的定義域和值域都是R，故函數(shù)y＝2x是圓滿函數(shù)；③y＝ 的定義域和值域都是[0，＋∞)，故y＝ 是圓滿函數(shù)；④y＝x2的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，＋∞)，故函數(shù)y＝x2不是圓滿函數(shù)． 2．分段函數(shù)的定義域、值域與各段上的定義域、值域之間有什么關(guān)系？ 提示：分段函數(shù)的定義域、值域?yàn)楦鞫紊系亩x域、值域的并集． [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?　　) A．[－∞，4]　　　　　　　　 B．

35、[4，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，1)∪(1,4] 解析：選D　要使函數(shù)f(x)＝有意義，只需即所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1,4]． 2．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是(　　) x 0

36、og (2x＋1)＞0， 即0＜2x＋1＜1，解得－

37、－1，＋∞) 求函數(shù)的定義域 [例1]　(1)(2012山東高考)函數(shù)f(x)＝＋ 的定義域?yàn)?　　) A．[－2,0)∪(0,2]　　　　 B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] (2)已知函數(shù)f(x2－1)的定義域?yàn)閇0,3]，則函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)開_______． [自主解答]　(1)x滿足即 解得－1

38、,3]，求y＝f(x2－1)的定義域． 解：∵y＝f(x)的定義域?yàn)閇0,3]， ∴0≤x2－1≤3， 解得－2≤x≤－1或1≤x≤2， 所以函數(shù)定義域?yàn)閇－2，－1]∪[1,2]．　　　　 ——————————————————— 簡單函數(shù)定義域的類型及求法 (1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解． (3)對抽象函數(shù)： ①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出． ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則

39、f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域． 1．(1)(2012江蘇高考)函數(shù)f(x)＝ 的定義域?yàn)開_______． (2)已知f(x)的定義域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定義域． 解析：(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤?0＜x≤，故所求定義域?yàn)?0， ]． 答案：(0， ] (2)∵f(x)的定義域是[－2,4]， ∴－2≤x2－3x≤4，由二次函數(shù)的圖象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定義域?yàn)閇－1,1]∪[2,4]. 求函數(shù)的值域 [例2]　求下列函數(shù)的值域： (1)y＝；(2)y＝x－；(3)y＝x＋. [自主解答]

40、　(1)法一：(分離常數(shù)法)y＝＝＝1－.因?yàn)椤?，所以1－≠1， 即函數(shù)的值域是{y|y∈R，y≠1}． 法二：由y＝得yx＋y＝x－3. 解得x＝，所以y≠1， 即函數(shù)值域是{y|y∈R，y≠1}． (2)法一：(換元法)令＝t，則t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函數(shù)的值域是. 法二：(單調(diào)性法)容易判斷函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)，而其定義域應(yīng)滿足1－2x≥0，即x≤. 所以y≤f＝，即函數(shù)的值域是. (3)法一：(基本不等式法)當(dāng)x>0時(shí)， x＋≥2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)“＝”成立； 當(dāng)x<0時(shí)，x＋＝－(－x－)≤－4，

41、 當(dāng)且僅當(dāng)x＝－2時(shí)“＝”成立． 即函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)． 法二：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝1－＝. x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)x∈(－2,0)或x∈(0,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減． 故x＝－2時(shí)，f(x)極大值＝f(－2)＝－4； x＝2時(shí)，f(x)極小值＝f(2)＝4. 即函數(shù)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)． 若將本例(3)改為“y＝x－”，如何求解？ 解：易知函數(shù)y＝x－在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)，故函數(shù)y＝x－的值域?yàn)镽.　　　　 ——————————————————— 求函數(shù)值域的

42、基本方法 (1)觀察法：一些簡單函數(shù)，通過觀察法求值域． (2)配方法：“二次函數(shù)類”用配方法求值域． (3)換元法：形如y＝ax＋b(a，b，c，d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)常用換元法求值域，形如y＝ax＋的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域． (4)分離常數(shù)法：形如y＝(a≠0)的函數(shù)可用此法求值域. (5)單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增減性進(jìn)而求最值和值域. (6)數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)的圖象，找出坐標(biāo)的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍. 2．求下列函數(shù)的值域． (1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝；

43、(3)y＝log3x＋logx3－1. 解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵0≤x≤3， ∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16. ∴0≤y≤15， 即函數(shù)y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域?yàn)閇0,15]． (2)y＝＝1－， ∵x2－x＋1＝2＋≥， ∴0<≤， ∴－≤y<1，即值域?yàn)? (3)y＝log3x＋－1， 令log3x＝t， 則y＝t＋－1(t≠0)， 當(dāng)x>1時(shí)，t>0，y≥2 －1＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝即log3x＝1，x＝3時(shí)，等號成立； 當(dāng)0

44、log3x＝－1，x＝時(shí)，等號成立． 綜上所述，函數(shù)的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 與定義域、值域有關(guān)的參數(shù)問題 [例3]　已知函數(shù)f(x)＝.若至少存在一個(gè)正實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)f(x)的定義域與值域相同，求實(shí)數(shù)a的值． [自主解答]?、偃鬭＝0，則對于每個(gè)正數(shù)b，f(x)＝的定義域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0滿足條件； ②若a>0，則對于正數(shù)b，f(x)＝的定義域?yàn)镈＝{x|ax2＋bx≥0}＝∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A?[0，＋∞)，故D≠A，即a>0不符合條件； ③若a<0，則對于正數(shù)b， f(x)＝的定義域D＝， 由于此時(shí)f(x)max＝f＝，

45、 故f(x)的值域?yàn)椋? 則－＝??a＝－4. 綜上所述，a的值為0或－4. ——————————————————— 由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)的方法 已知函數(shù)的值域求參數(shù)的值或取值范圍問題，通常按求函數(shù)值域的方法求出其值域，然后依據(jù)已知信息確定其中參數(shù)的值或取值范圍． 3．(2013溫州模擬)若函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)?，則a＋b＝________. 解析：∵由題意知x－1>0，又x∈[a，b]， ∴a>1.則f(x)＝在[a，b]上為減函數(shù)， 則f(a)＝＝1且f(b)＝＝， ∴a＝2，b＝4，a＋b＝6. 答案：6 1種意識(shí)——定義域優(yōu)

46、先意識(shí) 函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)．因此，我們一定要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先的意識(shí)． 4個(gè)注意——求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題 (1)如果沒有特別說明，函數(shù)的定義域就是能使解析式有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合． (2)不要對解析式進(jìn)行化簡變形，以免定義域變化． (3)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合． (4)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號“∪”連接． 4個(gè)準(zhǔn)則——函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則 函數(shù)表達(dá)式有意義的準(zhǔn)則一般有

47、：①分式中的分母不為0；②偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；③y＝x0要求x≠0；④對數(shù)式中的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1. 6種技巧——妙求函數(shù)的值域 (1)當(dāng)所給函數(shù)是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考慮用分離常數(shù)法； (2)若與二次函數(shù)有關(guān)，可用配方法； (3)若函數(shù)解析式中含有根式，可考慮用換元法或單調(diào)性法； (4)當(dāng)函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)與基本不等式有關(guān)，可考慮用基本不等式求解； (5)分段函數(shù)宜分段求解； (6)當(dāng)函數(shù)的圖象易畫出時(shí)，還可借助于圖象求解. 易誤警示——與定義域有關(guān)的易錯(cuò)問題 [典例]　(2013福州模擬)函數(shù)f(x)＝－的定義域?yàn)開___

48、____________． [解析]　∵要使函數(shù)f(x)＝－有意義，則∴ ∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}． [答案]　(－∞，－1)∪(－1,1] 1．本題若將函數(shù)f(x)的解析式化簡為f(x)＝(x＋1)－后求定義域，會(huì)誤認(rèn)為其定義域?yàn)?－∞，1]．事實(shí)上，上述化簡過程擴(kuò)大了自變量x的取值范圍． 2．在求函數(shù)的值域時(shí)，要特別注意函數(shù)的定義域．求函數(shù)的值域時(shí)，不但要重視對應(yīng)關(guān)系的作用，而且還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用． 1．若函數(shù)f(x)的值域是，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋的值域是(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C

49、　令t＝f(x)，則≤t≤3. 易知函數(shù)g(t)＝t＋在區(qū)間上是減函數(shù)，在[1,3]上是增函數(shù)． 又因?yàn)間＝，g(1)＝2，g(3)＝. 可知函數(shù)F(x)＝f(x)＋的值域?yàn)? 2．已知函數(shù)f(＋2)＝x＋2，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開_______． 解析：令2＋＝t，則x＝(t－2)2(t≥2)． ∴f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． ∴f(x)＝x2－2x(x≥2)． ∴f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1

50、．已知a為實(shí)數(shù)，則下列函數(shù)中，定義域和值域都有可能是R的是(　　) A．f(x)＝x2＋a　　　　　　 B．f(x)＝ax2＋1 C．f(x)＝ax2＋x＋1 D．f(x)＝x2＋ax＋1 解析：選C　當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ax2＋x＋1＝x＋1為一次函數(shù)，其定義域和值域都是R. 2．已知等腰△ABC周長為10，則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y＝10－2x，則函數(shù)的定義域?yàn)?　　) A．R B．{x|x>0} C．{x|0

51、則f(x)的圖象可以是(　　) 解析：選A　A中定義域是[－2,2]，值域?yàn)閇0,2]；B中定義域?yàn)閇－2,0]，值域?yàn)閇0,2]；C不表示函數(shù)；D中的值域不是[0,2]． 4．(2013南昌模擬)函數(shù)y＝ －lg的定義域?yàn)?　　) A．{x|x>0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1，或x<0} D．{x|0

52、 6．設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝則f(x)的值域是(　　) A.∪(1，＋∞) B. C. D.∪(2，＋∞) 解析：選D　令x0，解得x<－1或x>2；令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，故函數(shù)f(x)＝當(dāng)x<－1或x>2時(shí)，函數(shù)f(x)>f(－1)＝2；當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，函數(shù)f≤f(x)≤f(－1)，即－≤f(x)≤0，故函數(shù)f(x)的值域是∪(2，＋∞)． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．函數(shù)y＝的定義域是________． 解析：由函數(shù)解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－

53、6<0，故－3

54、∈[－4,6]． 答案：[－4,6] 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋a的定義域和值域均為[1，b](b>1)，求a，b的值． 解：∵f(x)＝(x－1)2＋a－， ∴其對稱軸為x＝1， 即[1，b]為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間． ∴f(x)min＝f(1)＝a－＝1，① f(x)max＝f(b)＝b2－b＋a＝b.② 由①②解得 11．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定一個(gè)定點(diǎn)A(4,3)，而點(diǎn)B(x,0)在x軸的正半軸上移動(dòng)，l(x)表示的長，求函數(shù)y＝的值域． 解：依題意有x＞0， l(x)＝＝， 所以y＝＝＝. 由于1－＋

55、＝252＋， 所以 ≥，故0＜y≤. 即函數(shù)y＝的值域是. 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6. (1)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，求a的值； (2)若函數(shù)f(x)的函數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域． 解：(1)∵函數(shù)的值域?yàn)閇0，＋∞)， ∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0 ?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝. (2)∵對一切x∈R函數(shù)值均為非負(fù)， ∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤. ∴a＋3>0. ∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2 ＝－2＋. ∵二次函數(shù)g(a)在上單調(diào)遞減， ∴g≤g(a)≤g

56、(－1)，即－≤g(a)≤4. ∴g(a)的值域?yàn)? 1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝有相同定義域的是(　　) A．f(x)＝ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex 解析：選A　當(dāng)x>0時(shí)，有意義，因此函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x>0}． 對于A，函數(shù)f(x)＝ln x的定義域?yàn)閧x|x>0}； 對于B，函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}； 對于C，函數(shù)f(x)＝|x|的定義域?yàn)镽； 對于D，函數(shù)f(x)＝ex的定義域?yàn)镽. 所以與函數(shù)y＝有相同定義域的是f(x)＝ln x. 2．函數(shù)y＝的定義域?yàn)?　　) A．[－4，－1)

57、　　　　　　　　 B．(－4,1) C．(－1,1) D．(－1,1] 解析：選C　由得－1n>3；②

58、當(dāng)h(a)的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由． 解：(1)由f(x)＝x，x∈[－1,1]， 知f(x)∈，令t＝f(x)∈ 記g(x)＝y(tǒng)＝t2－2at＋3，則g(x)的對稱軸為t＝a，故有： ①當(dāng)a≤時(shí)，g(x)的最小值h(a)＝－， ②當(dāng)a≥3時(shí)，g(x)的最小值h(a)＝12－6a， ③當(dāng)n>3時(shí)，h(a)在[n，m]上為減函數(shù)， 所以h(a)在[n，m]上的值域?yàn)閇h(m)，h(n)]． 由題

59、意，則有?，兩式相減得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，這與 m>n>3矛盾，故不存在滿足題中條件的m，n的值. [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義． 2.會(huì)利用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 1.函數(shù)的單調(diào)性，是高考考查的重中之重，主要考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域或最值、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式等相關(guān)問題． 2.函數(shù)的最值問題是每年高考的必考內(nèi)容，一般情況下，不會(huì)對最值問題單獨(dú)命題，主要是結(jié)合其他知識(shí)綜合在一起考查，主要考

60、查求最值的基本方法. [歸納知識(shí)整合] 1．函數(shù)的單調(diào)性 (1)單調(diào)函數(shù)的定義： 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2. 當(dāng)x1f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 圖象描述 自左向右看圖象是逐漸上升的 自左向右看圖象是逐漸下降的 (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D具有(嚴(yán)格的)單調(diào)

61、性，這一區(qū)間叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間． [探究]　1.函數(shù)y＝的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞)，這種表示法對嗎？ 提示：首先函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一個(gè)函數(shù)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，分開表示，不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)． 2．函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增與函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[a，b]含義相同嗎？ 提示：含義不同．f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增并不能排除f(x)在其他區(qū)間上單調(diào)遞增，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[a，b]意味著f(x)在其他區(qū)間上不可能單調(diào)遞增． 2．函數(shù)的最值 前提 設(shè)函數(shù)y

62、＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足 條件 對于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 對于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 [探究]　3.函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值反映在其圖象上有什么特征？ 提示：函數(shù)的單調(diào)性反映在圖象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在圖象上為其最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值． [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝ ，x∈[2,6]，則下列說法正確的有(　　) ①函數(shù)f(x)為減函數(shù)；②函數(shù)f(x)為增函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最大值為2

63、；④函數(shù)f(x)的最小值為. A．①③　　　　　　　　 B．①③④ C．②③④ D．②④ 解析：選B　易知函數(shù)f(x)＝在x∈[2,6]上為減函數(shù)，故f(x)min＝f(6)＝，f(x)max＝f(2)＝2. 2．函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則(　　) A．k>　　　　　　　　 B．k< C．k>－ D．k<－ 解析：選D　使y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則2k＋1<0，即k<－. 3．已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f

64、(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：選C　∵函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)， 且f1，即|x|<1且|x|≠0. ∴x∈(－1,0)∪(0,1)． 4．(教材習(xí)題改編)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)遞增區(qū)間為________；f(x)max＝________. 解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－2x的對稱軸為x＝1. ∴函數(shù)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,4]，單調(diào)遞減區(qū)間為[－2,1)． 又f(－2)＝4＋4＝8，f(4)＝16－8＝8. ∴f(x)max＝8. 答案：[1,4]　8 5．(教材習(xí)

65、題改編)若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 解析：∵函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8的對稱軸為x＝， 又函數(shù)f(x)在[5,20]上為增函數(shù)， ∴≤5，即k≤40. 答案：(－∞，40] 函數(shù)單調(diào)性的判斷或證明 [例1]　已知函數(shù)f(x)＝ －ax，其中a>0. (1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值； (2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上為單調(diào)減函數(shù)． [自主解答]　(1)由2f(1)＝f(－1)， 可得2－2a＝ ＋a，得a＝. (2)證明：任取x1，x2∈[0

66、，＋∞)，且x10， ∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減． ——————————————————— 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的兩種方法 (1)利用定義的基本步驟是： ??? (2)利用導(dǎo)數(shù)的基本步驟是： ?? 1．討論函數(shù)f(x)＝(a>0)的單調(diào)性． 解：由x2－1≠0，得x≠1，即 定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)． ①當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，設(shè)－10，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)． ②設(shè)1