【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等關(guān)系與不等式訓(xùn)練 理 新人教A版

3、邊字母無條件限制，而同向不等式相乘必須兩邊字母為正，否則不一定成立． 2．(1)a>b?<成立嗎？ (2)a>b?an>bn(n∈N，且n>1)對嗎？ 提示：(1)不成立，當(dāng)a，b同號時成立，異號時不成立． (2)不對，若n為奇數(shù)，成立，若n為偶數(shù)，則不一定成立． [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)給出下列命題：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正確的命題是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ 解析：選B　當(dāng)c＝0時，①不成立；當(dāng)|a|＝1，b＝－2時，④不成立． 2．

4、如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a C．－a>a2>a>－a2 D．a(chǎn)2>－a>a>－a2 解析：選B　∵a2＋a<0，∴－1b，c>d，且c，d不為0，那么下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)d>bc B．a(chǎn)c>bd C．a(chǎn)－c>b－d D．a(chǎn)＋c>b＋d 解析：選D　由不等式的性質(zhì)知，a>b，c>d?a＋c>b＋d. 4．(教材習(xí)題改編)已知a>b>0，c>d>0，則 與 的大小關(guān)系為________． 解

5、析：∵c>d>0，∴>>0. 又∵a>b>0，∴>>0.∴ > . 答案： > 5．已知12

6、元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？ [自主解答]　若提價后商品的售價為x元，則銷售量減少10件，因此，每天的利潤為(x－8)[100－10(x－10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300. ——————————————————— 實(shí)際應(yīng)用中不等關(guān)系與數(shù)學(xué)語言間的關(guān)系 將實(shí)際問題中的不等關(guān)系寫成相應(yīng)的不等式(組)時，應(yīng)注意關(guān)鍵性的文字語言與對應(yīng)數(shù)學(xué)符號之間的正確轉(zhuǎn)換，常見的文字語言及其轉(zhuǎn)換關(guān)系如下表： 文字語言 大于，高于，超過 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超過 符號語言

7、 > < ≥ ≤ 1．某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺A，B設(shè)備上加工一件甲產(chǎn)品所需工時分別為1小時和2小時，加工一件乙產(chǎn)品所需工時分別為2小時和1小時，A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式． 解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y， 則由題意可知 比較大小 [例2]　(1)已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．MN C．M＝N D．不確定 (2)甲、乙兩人同時從寢室到

8、教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則(　　) A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定 [自主解答]　(1)M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1 ＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0. ∴M>N. (2)設(shè)甲用時間為T，乙用時間為2t，步行速度為a，跑步速度為b，距離為s，則T＝＋＝＋＝， s＝ta

9、＋tb?2t＝. T－2t＝－＝s＝>0，即乙先到教室． [答案]　(1)B　(2)B 若將本例(1)中“a1，a2∈(0,1)”改為“a1，a2∈(1，＋∞)”，試比較M與N的大?。? 解：∵M(jìn)－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)， ∴當(dāng)a1，a2∈(1，＋∞)時，a1－1>0，a2－1>0. ∴(a1－1)(a2－1)>0. ∴M－N>0，即M>N.　　　　 ——————————————————— 比較大小的常用方法 (1)作差法 一般步驟是：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積

10、式或者完全平方式．當(dāng)兩個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芙Y(jié)論(注意所比較的兩個數(shù)的符號). (3)特值法 若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可以用特值法探究思路. 2．比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。? (1)3x2－x＋1與2x2＋x－1； (2)當(dāng)a>0，b>0且a≠b時，aabb與abba. 解：(1)∵3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2)＝aa－bbb－a＝aa－ba－b＝a－b. ∵當(dāng)

11、a>b，即a－b>0，>1時，a－b>1，∴aabb>abba. 當(dāng)a1，∴aabb>abba. ∴當(dāng)a>0，b>0且a≠b時，aabb>abba. 不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用 [例3]　(1)(2012湖南高考)設(shè)a>b>1，c<0，給出下列三個結(jié)論： ①>；②acloga(b－c)． 其中所有的正確結(jié)論的序號是(　　) A．①　　　　　　　　 B．①② C．②③ D．①②③ (2)已知三個不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均為實(shí)數(shù))，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不

12、等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [自主解答]　(1)① ?a>b ??<即>， 所以①正確； ② ? ?acloga(b－c)， ?a－c>1?logb(a－c)>loga(a－c)， 所以logb(a－c)>loga(b－c)．所以③正確． (2)①由ab>0，bc－ad>0，即bc>ad， 得>，即－>0； ②由ab>0，－>0，即>，得bc>ad， 即bc－ad>0； ③由bc－ad>0，－>0， 即>0，得ab>0； 故可組成3個正確的命

13、題． [答案]　(1)D　(2)D ——————————————————— 與不等式有關(guān)的命題的真假判斷 在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題真假，當(dāng)然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等． 3．(2013包頭模擬)若a>0>b>－a，cbc；(2)＋<0；(3)a－c>b－d； (4)a(d－c)>b(d－c)中能成立的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　∵a>0>b，c0

14、， ∴ad0>b>－a，∴a>－b>0. ∵c－d>0. ∴a(－c)>(－b)(－d)． ∴ac＋bd<0.∴＋＝<0.∴(2)正確． ∵c－d.∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)， 即a－c>b－d.∴(3)正確． ∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)．∴(4)正確． 1個區(qū)別——不等式與不等關(guān)系的區(qū)別 不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”，“<”，“≠”，“≥”，“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”，“a

15、相等關(guān)系可以用等式體現(xiàn)一樣，不等關(guān)系可以用不等式體現(xiàn)． 2條常用性質(zhì)——不等式取倒數(shù)的性質(zhì) (1)倒數(shù)性質(zhì)： ①a>b，ab>0?<； ②a<0b>0,0； ④0b>0，m>0，則 ①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： <；>(b－m>0)； ②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)： >；<(b－m>0)． 3個注意點(diǎn)——應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題 (1)在應(yīng)用傳遞性時，如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，那么等號是傳遞不過去的．如a≤b，b

16、0時，有a>b?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時，取“＝”)． (3)“a>b>0?an>bn(n∈N*，n>1)”成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)，a>b>0”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個條件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就會出現(xiàn)“3－1>2－1”的錯誤結(jié)論；假如去掉“b>0”這個條件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就會出現(xiàn)“32>(－4)2”的錯誤結(jié)論. 易誤警示——解題時忽視不等式的隱含條件而致誤 [典例]　(2013鹽城模擬)已知－1

17、__． [解析]　設(shè)2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 則解得 又∵－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1， ∴－<(a＋b)－(a－b)<， 即－<2a＋3b<. [答案]　 1．本題易忽視題目中字母a，b相互制約的條件，片面地將a，b分割開來考慮，導(dǎo)致字母的范圍發(fā)生變化，從而造成解題的錯誤． 2．當(dāng)利用不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則求某些代數(shù)式取值范圍的問題時，若題目中出現(xiàn)的兩個變量是相互制約的，不能分割開來，則應(yīng)建立待求整體與已知變量之間的關(guān)系，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)求待求整體的范圍，以免擴(kuò)大范圍． 已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(

18、1)≤4.求f(－2)的取值范圍． 解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b. 設(shè)m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b. ∴解得 ∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10. 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且c>d，則“a>b”是“a－c>b－d”的(　　) A．充分不必要條件　　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由?a>b；而當(dāng)a＝c＝2， b＝

19、d＝1時，滿足，但a－c>b－d不成立， 所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分條件． 2．(2013朔州模擬)已知a<0，－1ab>ab2 B．a(chǎn)b2>ab>a C．a(chǎn)b>a>ab2 D．a(chǎn)b>ab2>a 解析：選D　由－1ab2>a. 3．設(shè)α∈，β∈，那么2α－的取值范圍是(　　) A. B. C．(0，π) D. 解析：選D　∵0<2α<π，0≤≤，∴－≤－≤0. ∴－<2α－<π. 4．(2013南平模擬)如果a，b，c滿足c

20、c<0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是(　　) A．a(chǎn)b>ac B．c(b－a)>0 C．cb20，則A一定正確；B一定正確；D一定正確；當(dāng)b＝0時C不正確． 5．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，則“a0，b>0，a，由不等式的性質(zhì)a－0，b>0，∴a－b<

21、0. ∴a

22、b2)，圖(2)所示廣告牌的面積為ab，顯然不等式表示為(a2＋b2)>ab(a≠b)． 答案：(a2＋b2)>ab(a≠b) 8．若x>y>z>1，則，，，從大到小依次為________． 解析：因?yàn)閤>y>z>1，所以有xy>xz，xz>yz，xyz>xy，于是有>>>. 答案：，，， 9．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若m0，∴a(

23、a＋1)>0.又m0， ∴當(dāng)x>1時，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1； 當(dāng)x＝1時，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1； 當(dāng)x<1時，(x－1)(x2＋1)<0，即x3b>c，求證：＋＋>0. 證明：∵a>b>c，∴－c>

24、－b. ∴a－c>a－b>0.∴>>0. ∴＋>0.又b－c>0，∴>0. ∴＋＋>0. 12．已知f(x)＝ax2－c且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍． 解：由題意，得 解得 所以f(3)＝9a－c＝－f(1)＋f(2)． 因?yàn)椋?≤f(1)≤－1， 所以≤－f(1)≤. 因?yàn)椋?≤f(2)≤5， 所以－≤f(2)≤. 兩式相加，得－1≤f(3)≤20，故f(3)的取值范圍是[－1,20]． 1．限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h，寫成不等式就是(　　) A．v<40 km/

25、h　　　　　　 B．v>40 km/h C．v≠40 km/h D．v≤40 km/h 解析：選D　速度v不超過40 km/h，即v≤40 km/h. 2．已知a，b，c∈R，則“a>b”是“ac2>bc2”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　a>b ?/ ac2>bc2，因?yàn)楫?dāng)c2＝0時，ac2＝bc2；反之，ac2>bc2?a>b. 3．若<<0，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．a(chǎn)2|a＋b| 解析：選D　∵<<0，∴

26、0>a>b. ∴a2

27、一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|xx2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? [探究]　1.ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)對一切x∈R都成立的條件是什么？ 提示

28、：ax2＋bx＋c>0對一切x∈R都成立的條件為 ax2＋bx＋c<0對一切x∈R都成立的條件為 2．可用(x－a)(x－b)>0的解集代替>0的解集，你認(rèn)為如何求不等式<0，≥0及≤0的解集？ 提示：＜0?(x－a)(x－b)<0； ≥0? ≤0? [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A∩B＝(　　) A．{x|－4

29、}． 由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1， 故B＝{x|x>3或x<1}． 故A∩B＝{x|－40的解集為，則ab的值為(　　) A．－6　　　　 B．－5　　　　 C．6　　　　 D．5 解析：選C　∵x＝－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的兩根， ∴－＝－1＋即＝.又－1＝， ∴a＝－3，b＝－2.∴ab

30、＝6. 4．(教材習(xí)題改編)若關(guān)于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為________． 解析：∵方程x2－(m＋1)x－m＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根， ∴Δ＝(m＋1)2＋4m>0，即m2＋6m＋1>0. ∴m<－3－2或m>－3＋2. 答案：(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞) 5．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－44>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 一元

31、二次不等式的解法 [例1]　求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0；(2)x2－4x－5≤0； (3)ax2－(a＋1)x＋1<0. [自主解答]　(1)因?yàn)棣ぃ?2－4(－1)(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有兩個不等實(shí)根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函數(shù)y＝－x2＋8x－3的圖象開口向下，所以原不等式的解集為{x|4－1. 若a<0，則原不等式等價于(x－1)>0，解得x<，或x>1. 若

32、a>0，原不等式等價于(x－1)<0. ①當(dāng)a＝1時，＝1，(x－1)<0無解； ②當(dāng)a>1時，<1，解(x－1)<0得 1，解(x－1)<0得 11}；當(dāng)01時，解集為. 若將本例(2)改為“x2＋4x＋5≤0”呢？ 解：∵Δ＝42－45＝16－20＝－4<0， ∴不等式x2＋4x＋5≤0的解集為?.　　　　 ——————————————————— 一元二次不等式的解法 (1)對于常系數(shù)一元二次不等式，可以用

33、因式分解法或判別式法求解． (2)對于含參數(shù)的不等式，首先需將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)不能確定，則需討論它的符號，然后判斷相應(yīng)的方程有無實(shí)根，最后討論根的大小，即可求出不等式的解集． 1．解下列不等式： (1)8x－1≤16x2； (2)x2－2ax－3a2<0(a<0)． 解：(1)原不等式轉(zhuǎn)化為 16x2－8x＋1≥0，即(4x－1)2≥0， 故原不等式的解集為R. (2)原不等式轉(zhuǎn)化為(x＋a)(x－3a)<0， ∵a<0，∴3a<－a. ∴原不等式的解集為{x|3a

34、x2－2x－m＋1<0. (1)若對所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍； (2)設(shè)不等式對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍． [自主解答]　(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立， 即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方． 當(dāng)m＝0時，1－2x<0，不符合題意． 當(dāng)m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解， 即則m無解． 綜上可知不存在這樣的m. (2)從形式上看，這是一個關(guān)于x 的一元二次不等式，可以換個角度，把它看成關(guān)于m的一元一次不等式，并且已知它的解集為[－2

35、,2]，求參數(shù)x的范圍． 設(shè)f(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)， 則其為一個以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，由題意知該直線當(dāng)－2≤m≤2時線段在x軸下方， 故即 由①，得x<或x>. 由②，得

36、間上全部在x軸下方． (3)一元二次不等式恒成立的條件 ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是： a>0且b2－4ac<0(x∈R)． ②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是： a<0且b2－4ac<0(x∈R)． 2．已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍． 解：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝a. ①當(dāng)a∈(－∞，－1)時，f(x)在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a

37、， 即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1； ②當(dāng)a∈[－1，＋∞)時，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a，解得－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為[－3,1]． 法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知， 得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1.所求a的取值范圍是[－3,1]． 一元二次不等式的應(yīng)用 [例3]　某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛

38、車投入成本增加的比例為x(0

39、的比例應(yīng)在范圍內(nèi)． ——————————————————— 解不等式應(yīng)用題的步驟 3．某同學(xué)要把自己的計算機(jī)接入因特網(wǎng)．現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇．公司A每小時收費(fèi)1.5元；公司B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費(fèi)1.7元，第2小時內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時間超過17小時，按17小時計算)．假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時間總和小于17小時，那么該同學(xué)如何選擇ISP公司較省錢？ 解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x元， 公司B收取的費(fèi)用通過計算得元． 若能夠保證選擇A比選擇B費(fèi)用少， 則>1.5x(0

40、，解得0

41、解法常與函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的值域、方程的根及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、抽象函數(shù)等交匯綜合考查． 2．解決此類問題可以根據(jù)一次、二次不等式，分式不等式，簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式的解法進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃吻蠼?，也可以利用函?shù)的單調(diào)性把抽象不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解． [典例]　(2012浙江高考)設(shè)a∈R，若x>0時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，則a＝________. [解析]　∵x>0，∴當(dāng)a≤1時，(a－1)x－1<0恒成立．∴[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0不可能恒成立． ∴a>1. 對于x2－ax－1＝0，設(shè)其兩根為x2，x3，且x20.

42、又當(dāng)x>0時，原不等式恒成立， 通過y＝(a－1)x－1與y＝x2－ax－1圖象可知 x1＝必須滿足方程x2－ax－1＝0，即x1＝x3， 代入解得a＝或a＝0(舍)． [答案]　 1．本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn) (1)本題是考查三次不等式的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立問題． (2)本題將分類討論思想、整體思想有機(jī)結(jié)合在一起，考查了學(xué)生靈活處理恒成立問題的方法和水平． 2．解決本題的關(guān)鍵 (1)將三次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式和一元二次不等式問題； (2)若直接通過函數(shù)求導(dǎo)、求最小值，則運(yùn)算量大，基本上無法求解；而通過一次函數(shù)y1＝(a－1

43、)x－1(x>0)及二次函數(shù)y2＝x2－ax－1(x>0)圖象的變化情況，再結(jié)合y1y2的結(jié)果得出為方程x2－ax－1＝0的根，使問題得以巧妙解決． 1．偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿足：f(－4)＝f(1)＝0，且在區(qū)間[0,3]與[3，＋∞)上分別遞減和遞增，則不等式x3f(x)<0的解集為(　　) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,0) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 解析：選D　由圖知，f(x)<0的解集為(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集為(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,

44、4)． 2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為(　　) A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－，) C．(2,3) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：選A　由導(dǎo)函數(shù)圖象知當(dāng)x<0時，f′(x)>0， 即f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)； 當(dāng)x>0時，f′(x)<0，即f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)． 故不等式f(x2－6)>1等價于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2

45、∈(2,3)∪(－3，－2)． 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．不等式≥－1的解集為(　　) A．(－∞，0]∪(1，＋∞)　　 B．[0，＋∞) C．[0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：選A　≥－1?＋1≥0?≥0， ∴?x≤0或x>1. 2．已知不等式2x≤x2的解集為P，不等式(x－1)(x＋2)<0的解集為Q，則集合P∩Q等于(　　) A．{x|－2＜x≤2} B．{x|－2＜x≤0} C．{x|0≤x＜1} D．{x|－1＜x≤2} 解析：選B　P＝{x|x2－2x≥0}＝{x|x≤0或x≥2

46、}， Q＝{x|－20的解集為{x|－2

47、 C．150臺 D．180臺 解析：選C　依題意得25x≥3 000＋20x－0.1x2， 整理得x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200. 因?yàn)?

48、數(shù)f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的圖象恒在x軸上方，則a的取值范圍是(　　) A．[1,19] B．(1,19) C．[1,19) D．(1,19] 解析：選C　函數(shù)圖象恒在x軸上方，即不等式 (a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0對于一切x∈R恒成立． (1)當(dāng)a2＋4a－5＝0時，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化為24x＋3>0，不滿足題意；若a＝1，不等式化為3>0，滿足題意． (2)當(dāng)a2＋4a－5≠0時，應(yīng)有 解得1

49、) 7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________

50、． 解析：∵f(x)是奇函數(shù)， ∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋2x. 作出f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線所示， 結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)， 由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a， 即－21或x<－， 故原不等式的解集為. 11．當(dāng)0≤x≤2時，不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，試求t的取值范圍． 解：令

51、y＝x2－3x＋2,0≤x≤2. ∵y＝x2－3x＋2＝2－， ∴y在0≤x≤2上取得最小值為－，最大值為2. 若(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2， 在0≤x≤2上恒成立，則 即解得或 ∴t的取值范圍為[－1,1－ ]． 12.行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速(km/h)滿足下列關(guān)系：s＝＋(n為常數(shù)，且n∈N*)，做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中 (1)求n的值； (2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？ 解：(1)依

52、題意得 解得又n∈N*，所以n＝6. (2)s＝＋≤12.6?v2＋24v－5 040≤0? －84≤v≤60，因?yàn)関≥0，所以0≤v≤60，即行駛的最大速度為60 km/h. 1．不等式2x2－x－1>0的解集是(　　) A.　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.∪(1，＋∞) 解析：選D　∵2x2－x－1>0，∴(2x＋1)(x－1)>0， ∴x<－或x>1.∴解集為. 2．如果不等式<1對一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1,3) B．(－∞，3) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)

53、 解析：選A　由于4x2＋6x＋3＝2＋>0，所以不等式可化為2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3，即 2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0. 依題意有(6－2m)2－8(3－m)<0，解得1

54、，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個重要因素．在一個限速40 km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了，事發(fā)后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12 m，乙車的剎車距離略超過10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.問：是誰超速行駛應(yīng)負(fù)主要責(zé)任？ 解：由題意列出不等式對甲車型：0.1x＋0.01x2>12， 解得x>30(x<－40舍去)； 對乙車型：0.05x＋0.005x2>10， 解

55、得x>40(x<－50舍去)，從而x甲>30 km/h，x乙>40 km/h， 經(jīng)比較知乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任． 第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.會從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． 2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． 3.會從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決. 1.考查形式：選擇題或填空題． 2.命題角度： (1)求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值，或以最值為載體求其參數(shù)的值(范圍)，如2012年廣東T5，新課標(biāo)全國T14，

56、山東T5等． (2)利用線性規(guī)劃方法求解實(shí)際問題中的最優(yōu)方案，如2012年江西T8等． (3)將線性規(guī)劃問題與其他知識相結(jié)合，如向量、不等式、導(dǎo)數(shù)等相結(jié)合命題，如2012年陜西T14，福建T9等. [歸納知識整合] 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)不包括邊界直線． 不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界直線． (2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符號相同，也就是位于同一半平面

57、的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合Ax＋By＋C＞0；而位于另一個半平面內(nèi)的點(diǎn)，其坐標(biāo)適合Ax＋By＋C＜0. (3)可在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)任取一點(diǎn)，一般取特殊點(diǎn)(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的符號來判斷Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的區(qū)域． (4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分． 2．線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一

58、次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 [探究]　1.點(diǎn)P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是什么？ 提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0. 2．可行解與最優(yōu)解有何關(guān)系？最優(yōu)解是否唯一？ 提示：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解，最優(yōu)解不一定唯一． [自測牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)不等式x－2y＋6<0表示的區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的(

59、　　) A．右上方　　　　　　　　 B．右下方 C．左上方 D．左下方 解析：選C　畫出圖形如圖所示，可知該區(qū)域在直線 x－2y＋6＝0的左上方． 2．(教材習(xí)題改編)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應(yīng)是下列圖形中的(　　) 解析：選C　(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0? 或 3．如圖所示，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　兩條直線方程為：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0.將點(diǎn)(1,1)代入x＋y－1得1>0，代入x－2y＋2得1>0，

60、即點(diǎn)(1,1)在x－2y＋2≥0的內(nèi)部，在x＋y－1≥0的內(nèi)部，故所求二元一次不等式組為 4．下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(1,2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是(　　) A．(0,0)　　　　　　　　　 B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 解析：選C　當(dāng)x＝1，y＝2時，x＋y－1＝1＋2－1＝2>0， 當(dāng)x＝－1，y＝3時，x＋y－1＝－1＋3－1＝1>0， 故(－1,3)與(1,2)位于直線x＋y－1＝0的同側(cè)． 5．(2012廣東高考)已知變量x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最小值為(　　) A．3 B．1 C．－5 D．－6 解析：選C　變

61、量x，y滿足的不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作輔助線l0：x＋2y＝0，并平移到過點(diǎn)A(－1，－2)時，z＝x＋2y達(dá)到最小，最小值為－5. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 [例1]　(2012福建高考)若直線y＝2x上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 [自主解答]　如圖所示： 約束條件 表示的可行域如陰影部分所示．當(dāng)直線x＝m從如圖所示的實(shí)線位置運(yùn)動到過A點(diǎn)的位置時，m取最大值．解方程組得A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，故m的最大值是1. [答案]　B —————————————

62、—————— 二元一次不等式表示的平面區(qū)域的畫法 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點(diǎn)P(x0，y0)，則 (1)若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點(diǎn)P在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域． (2)若B>0，Ax0＋By0＋C<0，則點(diǎn)P在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域．(注：若B為負(fù)，則可先將其變?yōu)檎? (3)若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分． 1．已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為(　　) A．1

63、 B．－3 C．1或－3 D．0 解析：選A　其中平面區(qū)域kx－y＋2≥0是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面．直線kx－y＋2＝0又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解．平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k＝1. 利用線性規(guī)劃求最值 [例2]　變量x，y滿足 設(shè)z＝4x－3y，求z的最大值． [自主解答]　由約束條件 作出(x，y)的可行域如圖所示． 由z＝4x－3y，得y＝x－. 求z＝4x－3y的最大值，相當(dāng)于求直線y＝x－在y軸上的截距－的最小值． 平移直線y＝x知，當(dāng)直

64、線y＝x－過點(diǎn)B時，－最小，z最大． 由解得B(5,2)． 故zmax＝45－32＝14. 保持例題條件不變，如何解決下列問題． (1)設(shè)z＝，求z的最小值； (2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍． 解：(1)∵z＝＝. ∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率．觀察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方．結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， 由解得C(1,1)． dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝. ∴2≤z≤29.　　　　 ——————————————————— 目標(biāo)函數(shù)最值問題分

65、析 (1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得． (2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)． (3)對目標(biāo)函數(shù)不是一次函數(shù)的問題，?？紤]目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如① 表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)之間的距離； 表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離．②表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．這些代數(shù)式的幾何意義能使所求代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題． 2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____

66、____． 解析：作出x，y滿足的可行域，如圖中陰影部分所示，則z在點(diǎn)A處取得最大值，在點(diǎn)C處取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1. 答案：[－1,1] 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用 [例3]　(2012江西高考)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表(　　) 年產(chǎn)量/畝 年種植成本/畝 每噸售價 黃瓜 4噸 1.2萬元 0.55萬元 韭菜 6噸 0.9萬元 0.3萬元 為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為(　　) A．50,0　　　　　　　　 B．30,20 C．20,30 D．0,50 [自主解答]　設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝(0.554x－1.2x)＋(0.36y－0.9y)＝x＋0.9y. 線性約束條件為即 畫出可行域，如圖所示． 作