【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時(shí)集訓(xùn)(五十六)曲線與方程 理 新人教A版

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1、 限時(shí)集訓(xùn)(五十六)　曲線與方程 (限時(shí)：45分鐘　滿分：81分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲線是(　　) A．一條直線和一條雙曲線　　 B．兩條雙曲線 C．兩個(gè)點(diǎn) D．以上答案都不對(duì) 2．已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|＋|＝2，則P點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0 B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 3．下列各點(diǎn)在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲線上的是(　

2、　) A．(0,0) B．(1,1) C．(1，－1) D．(1，－2) 4．(2013長(zhǎng)春模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為(　　) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 5．已知A，B，C(x，y)，若⊥，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8(x－2) D．y2＝－8(x－2) 6．(2013洛陽(yáng)模擬)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于

3、y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若＝2，且＝1，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) C．3x2－y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0) 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．(2013佛山模擬)在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，B，C(a>0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是________． 8．直線＋＝1與x，y軸交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡方程__________． 9．設(shè)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)

4、為M，則點(diǎn)M的軌跡方程是________． 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．過(guò)雙曲線x2－y2＝1上一點(diǎn)M作直線x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程． 11.已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)F且與直線y＝－相切． (1)求圓心P的軌跡C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)F作一條直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，軌跡C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于N，M為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN⊥x軸． 12．(2012湖南高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2：(x－5)2＋y2＝9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x＝－2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值． (1)求

5、曲線C1的方程； (2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值． 答 案 限時(shí)集訓(xùn)(五十六)　曲線與方程 1．C　2.A　3.D　4.D　5.B　6.A 7.－＝1(x>0且y≠0) 8．x＋y＝1(x≠0，x≠1) 9．y2＝2(x－1) 10．解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則N(2x－x0,2y－y0)． 由N在直線x＋y＝2上， 得2x－x0＋2y－y0＝2.① 由PM垂直于直線x

6、＋y＝2， 得＝1， 即x－y－x0＋y0＝0.② 由①②得x0＝x＋y－1， y0＝x＋y－1， 代入雙曲線方程得2－2＝1， 整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 即點(diǎn)P的軌跡方程2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 11．解：(1)由已知，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于到直線y＝－的距離，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)圓圓心P的軌跡C為拋物線，其方程為x2＝y(tǒng). (2)證明：設(shè)A(x1，x)，B(x2，x)． ∵y＝x2，∴y′＝2x. ∴AN，BN的斜率分別為2x1,2x2. 故AN的方程為y－x＝2x1(x－x1)， BN的方程為y－x＝2x2(x－x2)， 即

7、兩式相減，得xN＝，又xM＝， 所以M，N的橫坐標(biāo)相等，于是MN⊥x軸． 12．解：(1)法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3. 易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x＝－2的右側(cè)，于是x＋2＞0，所以 ＝x＋5. 化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為y2＝20x. 法二：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x＝－5的距離．因此，曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn)，直線x＝－5為準(zhǔn)線的拋物線．故其方程為y2＝20x. (2)證明：當(dāng)點(diǎn)P在直線x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為(－4，y0)，又y0≠3，則過(guò)P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線

8、有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3. 整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.① 設(shè)過(guò)P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故 k1＋k2＝－＝－.② 由得 k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③ 設(shè)四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以 y1y2＝.④ 同理可得y3y4＝.⑤ 于是由②，④，⑤三式得 y1y2y3y4＝ ＝ ＝＝6 400. 所以，當(dāng)P在直線x＝－4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6 400. 4