【創(chuàng)新設(shè)計】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、 【創(chuàng)新設(shè)計】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合訓(xùn)練 理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.集合的含義與表示 (1)了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系． (2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題． 2.集合間的基本關(guān)系 (1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集． (2)在具體情境中，了解全集與空集的含義． 3.集合的基本運算 (1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集． (2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．

2、 (3)能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關(guān)系及集合的基本運算. 1.對集合的含義與表示的考查主要涉及集合中元素的互異性以及元素與集合之間的關(guān)系，考查利用所學(xué)的知識對集合的性質(zhì)進行初步探究的基本邏輯能力．如2012年全國T1，江西T1等． 2.對于兩個集合之間關(guān)系的考查主要涉及以下兩個方面： (1)判斷給定兩個集合之間的關(guān)系，主要是子集關(guān)系的判斷．如2011北京T1. (2)以不等式的求解為背景，利用兩個集合之間的子集關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題． 3.集合的基本運算在高考命題中主要與簡單不等式的求解、函數(shù)的定義域或值域的求法相結(jié)合考查集合的交、并、補運算，以補集與交集的基本運

3、算為主，考查借助數(shù)軸或Venn圖進行集合運算的數(shù)形結(jié)合思想和基本運算能力．如2012北京T1、陜西T1、山東T1等. [歸納知識整合] 1．元素與集合 (1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性． (2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于A，記作a∈A；若b不屬于A，記作b?A. (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集及其符號表示 數(shù)集 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*或N＋ Z Q R [探究]　1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y

4、＝x2}相同嗎？它們的元素分別是什么？ 提示：這4個集合互不相同，A是以方程x2＝0的解為元素的集合，即A＝{0}；B是函數(shù)y＝x2的定義域，即B＝R；C是函數(shù)y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是拋物線y＝x2上的點組成的集合． 2．0與集合{0}是什么關(guān)系？?與集合{?}呢？ 提示：0∈{0}，?∈{?}或??{?}． 2．集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系　　 文字語言 符號語言 相等 集合A與集合B中的所有元素都相同 A?B且B?A?A＝B 子集 A中任意一個元素均為B中的元素 A?B或B?A 真子集 A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不

5、是A中的元素 AB或BA 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ??A?B(B≠?) 　　 [探究]　3.對于集合A，B，若A∩B＝A∪B，則A，B有什么關(guān)系？ 提示：A＝B.假設(shè)A≠B，則A∩BA∪B，與A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B. 3．集合的基本運算 集合的并集 集合的交集 集合的補集 符號表示 A∪B A∩B 若全集為U，則集合A的補集為?UA 圖形表示 意義 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} [探究]　4.同一個集合在不同全集中的補集相同嗎？

6、提示：一般情況下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的補集為?BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的補集為?DA＝{3}． [自測牛刀小試] 1．(2012山東高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為(　　) A．{1,2,4}　　　　　　　　 B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 解析：選C　由題意知?UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}． 2．(教材改編題)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，則(　　) A．A?B

7、　　 B．B?A　　 C．A??RB　　 D．B??RA 解析：選B　∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}， B＝{x|x≥2}， ∴B?A. 3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，則m的值為(　　) A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或3 解析：選B　∵5∈{1，m＋2，m2＋4}， ∴m＋2＝5或m2＋4＝5， 即m＝3或m＝1. 當m＝3時，M＝{1,5,13}；當m＝1時，M＝{1,3,5}； 當m＝－1時M＝{1,1,5}不滿足互異性． ∴m的值為3或1. 4．(教材改編題)已知集合A＝{1,2}，若

8、A∪B＝{1,2}，則集合B有________個． 解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}， ∴B?A，∴B＝?，{1}，{2}，{1,2}． 答案：4 5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≥4，或x≤1}， 且A∩B＝?， ∴∴即2

9、數(shù)為(　　) A．3　　　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．10 (2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，則實數(shù)a的值為________． [自主解答]　(1)法一：由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，當y＝1時，x可取2,3,4,5，有4個；y＝2時，x可取3,4,5，有3個；y＝3時，x可取4,5，有2個；y＝4時，x可取5，有1個．故共有1＋2＋3＋4＝10(個)． 法二：因為A中元素均為正整數(shù)，所以從A中任取兩個元素作為x，y，滿足x>y的(x，y)即為集合B中的元素，故共有C＝10個． (2)∵9∈(

10、A∩B)，∴9∈A且9∈B， ∴2a－1＝9或a2＝9. ∴a＝5或a＝3.當a＝5時，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合題意；當a＝3時，A＝{－4,5,9}，B不滿足集合中元素的互異性，故a≠3；當a＝－3時，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合題意． ∴a＝5或a＝－3. [答案]　(1)D　(2)5或－3 本例(2)中，將“9∈(A∩B)”改為“A∩B＝{9}”，其他條件不變，則實數(shù)a為何值？ 解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B， ∴2a－1＝9或a2＝9，　　　　 即a＝5或a＝3. 當a＝5時，A＝{－4，9，25}，B＝{

11、0，－4，9}， ∴A∩B＝{－4，9}，不滿足題意， ∴a≠5. 當a＝3時，A＝{－4，5，9}，B＝{－2，－2，9}，不滿足集合中元素的互異性，∴a≠3. 當a＝－3時，A＝{－4，－7，9}，B＝{－8，4，9}， ∴A∩B＝{9}，符合題意， 綜上a＝－3. ——————————————————— 解決集合問題的一般思路 (1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么． (2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性． 1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|

12、x2＝a－1}，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}為非空集合， ∴a－1≥0，即a≥1. (2)∵1?{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}， 即1－2＋a≤0，∴a≤1. 答案：(1)[1，＋∞)　(2)(－∞，1] 集合間的基本關(guān)系 [例2]　已知集合A＝{x|0

13、＝0，則A＝R； ②若a<0，則A＝； ③若a>0，則A＝. 當a＝0時，若A?B，此種情況不存在． 當a<0時，若A?B，如圖， 則即 又∵a<0，∴a<－8. 當a>0時，若A?B，如圖， 則即 又∵a>0，∴a≥2. 綜上知，當A?B時，a<－8或a≥2. [答案]　(－∞，－8)∪[2，＋∞) 保持例題條件不變，當a滿足什么條件時，B?A? 解：當a＝0時，顯然B?A； 當a<0時，若B?A，如圖， 則即 又∵a<0，∴－0時，若B?A，如圖， 則即 又∵a>0，∴0

14、. ——————————————————— 根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法 已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且經(jīng)常要對參數(shù)進行討論． 2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A?B，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：(1)若A＝?，則Δ＝a2－4<0，解得－2

15、 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[－2,2)． 答案：[－2,2) 集合的基本運算 [例3]　(1)(2012北京高考)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　　 B. C. D．(3，＋∞) (2)(2013威海模擬)已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝，則A∪B＝(　　) A. B. C. D. (3)(2013武漢模擬)已知A，B均為集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{1}，(?UA)∩(?UB)＝{2,4

16、}，則B∩(?UA)＝________. [自主解答]　(1)∵A＝，B＝{x|x<－1，或x>3}，∴A∩B＝{x|x>3}． (2)由A∩B＝得2a＝，解得a＝－1，則b＝.所以A＝，B＝，則A∪B＝. (3)依題意及韋恩圖得，B∩(?UA)＝{5,6}． [答案]　(1)D　(2)D　(3){5,6} ——————————————————— 1.集合的運算口訣 集合運算的關(guān)鍵是明確概念.集合的交、并、補運算口訣如下：交集元素仔細找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補集. 2.解決集合的混合運算的方法 解決集合

17、的混合運算時，一般先運算括號內(nèi)的部分.當集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進行運算；當集合是用不等式形式表示時，可運用數(shù)軸求解. 3．(2013南昌模擬)已知全集U＝R，函數(shù)y＝的定義域為M，N＝{x|log2(x－1)<1}，則如圖所示陰影部分所表示的集合是(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2} C．{x|1

18、任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在c∈G，使得對一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，則稱集合G關(guān)于運算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運算： ①G＝{非負整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法； ②G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法； ③G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法； ④G＝{二次三項式}，⊕為多項式的加法． 其中G關(guān)于運算⊕為“融洽集”的是(　　) A．①②　　　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．②④ [自主解答]?、阱e，因為不滿足條件(2)；④錯，因為不滿足條件(1)． [答案]　B ——————————————————— 解決新定義問題應(yīng)注意以下幾點 (1)遇

19、到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)． (2)按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗證、運算，使問題得以解決． (3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，排除、對比、特值等方法解訣． 4．若x∈A，且∈A，則稱集合A為“和諧集”．已知集合M＝，則集合M的子集中，“和諧集”的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C　當x＝－2時，＝?M，故－2不是“和諧集”中的元素； 當x＝－1時，＝∈M； 當x＝時，＝2∈M； 當x＝2時，＝－1∈M. 所以－1，，2可以作為“和諧集”中的一組元素； 當x＝－時，＝∈M； 當x＝時，

20、＝3∈M； 當x＝3時，＝－∈M. 所以－，，3可以作為“和諧集”中的一組元素； 當x＝0時，＝1∈M，但x＝1時，無意義， 所以0,1不是“和諧集”中的元素． 所以集合M的子集為“和諧集”，其元素只能從兩組元素：－1，，2與－，，3中選取一組或兩組，故“和諧集”有，，－1，，2，－，，3三個． 1組轉(zhuǎn)化——兩個集合的運算與包含關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 在集合的運算關(guān)系和兩個集合的包含關(guān)系之間往往存在一定的聯(lián)系，在一定的情況下，集合的運算關(guān)系和包含關(guān)系之間可以相互轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB?A∩(?UB)＝?，在解題中運用這種轉(zhuǎn)化能有效簡化解題過程．

21、 3種技巧——集合的運算技巧 (1)對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考察等號． (2)對離散的數(shù)集間的運算，或抽象集合間的運算，可借助Venn圖．這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)． (3)兩個有限集合相等，可以從兩個集合中的元素相同求解，如果是兩個無限集合相等，從兩個集合中元素相同求解就不方便，這時就根據(jù)兩個集合相等的定義求解，即如果A?B，B?A，則A＝B. 5個注意——解答集合題目應(yīng)注意的問題 (1)認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件． (2)要注意區(qū)分元素與

22、集合的從屬關(guān)系；以及集合與集合的包含關(guān)系． (3)要注意空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身． (4)運用數(shù)軸圖示法要特別注意端點是實心還是空心． (5)在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤. 創(chuàng)新交匯——與集合運算有關(guān)的交匯問題 1．集合的運算是高考的?？純?nèi)容，以兩個集合的交集和補集運算為主，且常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容相結(jié)合，以創(chuàng)新交匯問題的形式出現(xiàn)在高考中． 2．解決集合的創(chuàng)新問題常分三步： (1)信息提取，確定化歸的方向； (2)對所提取的信息進行加工，探求解決方法

23、； (3)將涉及到的知識進行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點． [典例]　(2012重慶高考)設(shè)平面點集A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π　　　　　　　　　　 B.π C.π D. [解析]　不等式(y－x)≥0可化為或集合B表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圓內(nèi)部的點所構(gòu)成的集合，A∩B所表示的平面區(qū)域如圖所示．曲線y＝，圓(x－1)2＋(y－1)2＝1均關(guān)于直線y＝x對稱，所以陰影部分占圓面積的一半． [答案]　D 1．本題具有以下創(chuàng)新點 (1)命

24、題方式的創(chuàng)新：題目并不是直接求解不等式組所表示的平面區(qū)域的面積，而是以求集合交集的形式考查． (2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題通過集合A，B考查了一元一次函數(shù)y＝x、反比例函數(shù)y＝的圖象和圓的方程(x－1)2＋(y－1)2＝1，以及圓和函數(shù)y＝的圖象的對稱性、不等式所表示的平面區(qū)域等內(nèi)容． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點 (1)正確識別集合A與集合B中元素的幾何性質(zhì)，并正確畫出各自所表示的區(qū)域； (2)注意到圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與函數(shù)y＝(x>0)的圖象都關(guān)于直線y＝x對稱． 3．在解決以集合為背景的創(chuàng)新交匯問題時，應(yīng)重點關(guān)注以下兩點 (1)認真閱讀，準確提取信息，是解決此類問

25、題的前提．如本題應(yīng)首先搞清集合A與B的性質(zhì)，即不等式表示的點集． (2)剝?nèi)ゼ系耐獗恚瑢⒛吧D(zhuǎn)化為熟悉是解決此類問題的關(guān)鍵，如本題去掉集合的外表，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式組表示的平面區(qū)域問題． 1．已知A＝{(x，y)|y＝|ln x|}，B＝，則A∩B的子集個數(shù)為(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．2　　　　 D．8 解析：選B　A∩B中元素的個數(shù)就是函數(shù)y＝|ln x|的圖象與橢圓＋＝1的交點個數(shù)，如圖所示．由圖可知，函數(shù)圖象和橢圓有兩個交點，即A∩B中有兩個元素，故A∩B的子集有22＝4個． 2．設(shè)集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝，則

26、M∩N為(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1] 解析：選C　∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos 2x|，且x∈R， ∴y∈[0,1]，∴M＝[0,1]．在N中，x∈R且< ，∴|x＋i|< ， ∴x2＋1<2，解得－1

27、c＝(x，y)∈M∩N，則有(x，y)＝(2,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(1，－1)，即(2，m)＝(1＋n,1－n)， 所以由此解得n＝1，m＝0，(x，y)＝(2,0)， 即M∩N＝{(2,0)}． (限時：45分鐘　滿分81分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2012遼寧高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，則(?UA)∩(?UB)＝(　　) A．{5,8}　　　　　　　　　 B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6} 解

28、析：選B　?UA＝{2,4,6,7,9}，?UB＝{0,1,3,7,9}，則(?UA)∩(?UB)＝{7,9}． 2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，則S∩T＝(　　) A．空集 B．{1} C．(1,1) D．{(1,1)} 解析：選D　集合S表示直線y＝1上的點，集合T表示直線x＝1上的點，S∩T表示直線y＝1與直線x＝1的交點． 3．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝(　　) A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 解析：選B　由A∪B＝A得B?A，有m∈A，所以有m＝或m＝3，即m

29、＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素互異性知m≠1. 4．設(shè)集合A＝{x|1

30、為24－2＝22＝4，即C＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 6．(2013廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．[－1,0] B．(－1,0) C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1) 解析：選D　因為A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

31、－∞，－1]∪(0,1)． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．若1∈，則實數(shù)a的值為________． 解析：若a－3＝1，則a＝4，此時－1＝a2＋1＝17不符合集合中元素的互異性；若－1＝1，則a＝，符合條件；若a2＋1＝1，則a＝0，此時－1＝－1，不符合集合中元素的互異性．綜上可知a＝. 答案： 8．(2012天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，則m＝________，n＝________. 解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

32、(－1，n)可知m<1， 則B＝{x|m

33、點(a，b)有23＝6個． 綜上可知，集合A中的元素共有17個． 答案：17 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝{x|1－2}， ∴－2

34、求a的取值范圍； (3)若A∩B＝{x|30時，B＝{x|a0時，B＝{x|a

35、A∩B＝?. (3)要滿足A∩B＝{x|3

36、有B?A成立； ③當m>時，B＝{x|12}， ①當m<時，B＝{x|2m時，B＝{x|1

37、　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 解析：選C　由于M＝{－1,0,1}，所以x＝0，－1，故N＝{0，－1}，所以N?M. 2．設(shè)全集U＝R，A＝{x|－x2－3x>0}，B＝{x|x<－1}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{x|x>0} B．{x|－3

38、x|x≥0} B．A∩B＝{1,2} C．(?RA)∩B＝{0,1} D．A∪(?RB)＝{x|x≥1} 解析：選B　依題意得，A∪B＝{x|x≥1}∪{0}，A∩B＝{1,2}，(?RA)∩B＝{0}，A∪(?RB)＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，因此結(jié)合各選項知，選B. 4．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________. 解析：A＝{x|log2x≤2}＝{x|0

39、 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解命題的概念． 2.了解“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題和逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系． 3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義. 1.對本節(jié)內(nèi)容的考查形式多為選擇題或填空題． 2.對命題及其關(guān)系的考查主要有以下兩種方式： (1)考查簡單命題的真假判斷，其中結(jié)合命題的四種形式、充要條件以及復(fù)合命題、全稱命題等組成的混合選項問題是命題的重點． (2)考查命題的四種形式，以原命題的否命題、逆否命題的形式為考查重點．如2012年湖南T2. 3.對充要條件的考查，主要從以下三個方面命題： (1)

40、以其他知識模塊內(nèi)容為背景，考查充要條件的判斷，多以函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用、解析幾何中的直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系以及空間中的線面位置關(guān)系等為主．如2012年北京T3，天津T2，安徽T6等． (2)以其他知識模塊內(nèi)容為背景，考查充要條件的探求，尤其要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”與充要條件相結(jié)合的問題． (3)考查利用條件和結(jié)論之間的充要條件關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍．如2011年陜西T12. [歸納知識整合] 1．命題 在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題． 2．四種命題及其關(guān)系

41、(1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系： ①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系． [探究]　1.在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題這4個命題中，真命題的個數(shù)可能有幾個？ 提示：由于原命題與逆否命題是等價命題；逆命題與否命題是等價命題，所以真命題的個數(shù)可能為0,2,4. 3．充分條件與必要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)如果p?q，q?p，則p是q的充分必要條件．記作p?q. [探究]　2.“p是q的充分不必要條件”與“p的一個充分不必要條件是q”兩者的說法相

42、同嗎？ 提示：兩者說法不相同．“p的一個充分不必要條件是q”等價于“q是p的充分不必要條件”，顯然這與“p是q的充分不必要條件”是截然不同的． 3．命題“若p，則q”的逆命題為真，逆否命題為假，則p是q的什么條件？ 提示：逆命題為真即q?p，逆否命題為假，即p?/ q，故p是q的必要不充分條件． [自測牛刀小試] 1．(教材改編題)給出命題：“若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0”，在它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．0個　　　　　　　　　　 B．1個 C．2個 D．3個 解析：選D　逆命題為：若x＝y(tǒng)＝0，則x2＋y2＝0，是真命題． 否命題為：若x

43、2＋y2≠0，則x≠0或y≠0，是真命題． 逆否命題為：若x≠0或y≠0，則x2＋y2≠0，是真命題． 2．下列命題： ①“a>b”是“a2>b2”的必要條件；②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件；③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要條件． 其中是真命題的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：選B?、賏>b?/ a2>b2，且a2>b2?/ a>b；故①不正確；②a2>b2 ?|a|>|b|，故②正確； ③“a>b”?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故③正確． 3．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是(

44、　　) A．若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù) B．若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù) C．若f(－x)是奇函數(shù)，則f(x)是奇函數(shù) D．若f(－x)不是奇函數(shù)，則f(x)不是奇函數(shù) 解析：選B　原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是B選項． 4．(2012湖南高考)命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 解析：選C　命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是“若

45、tan α≠1，則α≠”． 5．(2012天津高考)設(shè)φ∈R，則“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)為偶函數(shù)”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因為f(x)是偶函數(shù)?φ＝kπ，k∈Z，所以“φ＝0”是“f(x)是偶函數(shù)”的充分而不必要條件． 四種命題及其真假判斷 [例1]　在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，真命題的個數(shù)記為f(p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1

46、＝0”．那么f(p)等于(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 [自主解答]　原命題p顯然是真命題，故其逆否命題也是真命題．而其逆命題是：若a1b2－a2b1＝0，則兩條直線l1與l2平行，這是假命題，因為當a1b2－a2b1＝0時，還有可能l1與l2重合，逆命題是假命題，從而否命題也為假命題，故f(p)＝2. [答案]　B ——————————————————— 判斷四種命題間的關(guān)系的方法 (1)在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要注意分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．要注意四種命題關(guān)系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)

47、地有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”． (2)當一個命題有大前提而要寫出其他三種命題時，必須保留大前提，也就是大前提不動；對于由多個并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時，應(yīng)把其中一個(或n個)作為大前提． 1．設(shè)原命題是“當c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假． 解：“當c>0時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，原命題的條件是a>b，結(jié)論是ac>bc. 因此它的逆命題：當c>0時，若ac>bc，則a>b.它是真命題；否命題：當c>0時，若a≤b，則ac≤bc.它是真命題； 逆否命題：當c>0時，若ac≤bc，則a≤

48、b.它是真命題. 充分條件、必要條件的判斷 [例2]　(1)(2012浙江高考)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)下面四個條件中，使a>b成立的充分不必要的條件是(　　) A．a(chǎn)>b＋1 B．a(chǎn)>b－1 C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3 [自主解答]　(1)“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要條件是：由＝≠，解得a＝－2或1. 故“a＝1”是“直線l1：a

49、x＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要條件． (2)a>b＋1?a－b>1>0?a>b，但a＝2，b＝1滿足a>b，但a＝b＋1，故A項正確．或用排除法：對于B，a>b－1不能推出a>b，排除B；而a2>b2不能推出a>b，如a＝－2，b＝1，(－2)2>12，但－2<1，故C項錯誤；a>b?a3>b3，它們互為充要條件，排除D. [答案]　(1)A　(2)A ——————————————————— 充分條件、必要條件的判斷方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p. 2．已知命題p：

50、函數(shù)f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函數(shù)，命題q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是減函數(shù)，則p是q的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若命題p為真，則a≤1；若命題q為真， 則0

51、出m的范圍． [自主解答]　(1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}， ∵x∈P是x∈S的充要條件，∴P＝S， ∴∴ 這樣的m不存在． (2)由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S?P. ∴ ∴m≤3. 綜上，可知m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件． 保持本例條件不變，若綈P是綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵綈P是綈S的必要不充分條件， ∴P?S且S?/ P. ∴[－2,10][1－m,1＋m]． ∴或 ∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．　　　　 —————

52、—————————————— 1.解決與充要條件有關(guān)的參數(shù)問題的方法 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解. 2.利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件 若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件，則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件. 3．已知不等式<1的解集為p，不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集為q，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2，－1]　　　　　　　　 B．[－2，－1] C．[－3,1] D．[－2，＋∞) 解析：選A　不等式<1等

53、價于－1<0，即>0，解得x>2或x<1，所以p為(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化為(x－1)(x＋a)>0，當－a≤1時，解得x>1或x<－a，即q為(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此時a＝－1；當－a>1時，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此時－a<2，即－2

54、 (1)否命題是既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論，而命題的否定是只否定命題的結(jié)論．要注意區(qū)別． (2)充分必要條件的判斷應(yīng)注意問題的設(shè)問方式，①A是B的充分不必要條件是指：A?B且B?/ A；②A的充分不必要條件是B是指：B?A且A?/ B，在解題中一定要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤． 3種方法——判斷充分條件和必要條件的方法 (1)命題判斷法． 設(shè)“若p，則q”為原命題，那么： ①原命題為真，逆命題為假時，p是q的充分不必要條件； ②原命題為假，逆命題為真時，p是q的必要不充分條件； ③原命題與逆命題都為真時，p是q的充要條件； ④原命題與逆命題都為假時，p是q的既不充分

55、也不必要條件． (2)集合判斷法． 從集合的觀點看，建立命題p，q相應(yīng)的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： ①若A?B，則p是q的充分條件；若AB時，則p是q的充分不必要條件； ②若B?A，則p是q的必要條件；若BA時，則p是q的必要不充分條件； ③若A?B且B?A，即A＝B時，則p是q的充要條件． (3)等價轉(zhuǎn)化法． p是q的什么條件等價于綈q是綈p的什么條件. 創(chuàng)新交匯——與充要條件有關(guān)的交匯問題 1．充分條件、必要條件和充要條件的判斷是每年高考的熱點內(nèi)容，多與函數(shù)、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等交匯命題． 2．突

56、破此類問題的關(guān)鍵有以下四點： (1)要分清命題的條件與結(jié)論； (2)要善于將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言進行推理； (3)要注意等價命題的運用； (4)當判斷多個命題之間的關(guān)系時，常用圖示法，它能使問題直觀、易于判斷． [典例]　(2011陜西高考)設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________. [解析]　x＝＝2，因為x是整數(shù)，即2為整數(shù)，所以為整數(shù)，且n≤4，又因為n∈N*，取n＝1,2,3,4，驗證可知n＝3,4符合題意，所以n＝3,4時可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根． [答案]　3或4 1．本題有以下兩個創(chuàng)新點 (1

57、)考查內(nèi)容創(chuàng)新：本題以一元二次方程為背景，探求方程有整數(shù)根的充要條件． (2)命題方式創(chuàng)新：此題目的特點是給出結(jié)論，未給條件，由結(jié)論探求條件． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點 (1)從結(jié)論出發(fā)，正確求出使結(jié)論成立的必要條件； (2)要驗證所得到的必要條件是否滿足充分性，否則極易得出n＝1,2,3,4的錯誤答案． 1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是(　　) A．x＝－　　　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝5 D．x＝0 解析：選D　a⊥b?ab＝0，ab＝(x－1,2)(2,1)＝2(x－1)＋21＝2x＝0，∴x＝0. 2．對于常數(shù)m

58、、n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲線是橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　當m<0，n<0時，mn>0，但mx2＋ny2＝1沒有意義，不是橢圓；反之，若mx2＋ny2＝1表示橢圓，則m>0，n>0，即mn>0. 3．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，則“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　化簡得A＝{x|x>2}，B＝

59、{x|x<0}， C＝{x|x<0，或x>2}． ∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要條件． 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2013濰坊模擬)命題“若△ABC有一內(nèi)角為，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題(　　) A．與原命題同為假命題 B．與原命題的否命題同為假命題 C．與原命題的逆否命題同為假命題 D．與原命題同為真命題 解析：選D　原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則△ABC有一內(nèi)角為”，它是真命題． 2．設(shè)集合M＝{x|0

60、(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　M＝{x|0

61、的否命題為“若綈A，則綈B”，顯然“a＝1或a＝－1”的否定為“a≠1且a≠－1”，“直線l1與l2平行”的否定為“直線l1與l2不平行”． 4．已知a，b為非零向量，則“函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2為偶函數(shù)”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：選C　依題意得f(x)＝a2x2＋2(ab)x＋b2.由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得ab＝0，又ab為非零向量，所以a⊥b；反過來，由a⊥b得，ab＝0，f(x)＝a2x2＋b2，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．綜上所述，“函數(shù)f(x)＝(ax＋b)2為偶函數(shù)”是“a⊥b”的充

62、要條件． 5．(2012安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若α⊥β，又α∩β＝m，b?β，b⊥m，根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又因為a?α，所以a⊥b；反過來，當a∥m時，因為b⊥m，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，即不能推出α⊥β. 6．設(shè)p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥對任意x>0恒成立，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要

63、不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0對任意x恒成立，故Δ≤0，即m≥；m≥對任意x>0恒成立，即x>0時，m≥max，而＝≤＝2，故m≥2.當p成立時q不一定成立，即p不是q的充分條件，但如果p不成立，即m<時，q一定不成立，即p是q的必要不充分條件． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．(2013南京模擬)有下列幾個命題： ①“若a>b，則a2>b2”的否命題； ②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題； ③“若x2<4，

64、則－22”的否命題； ③在△ABC中，“A>30”是“sin A>”的充分不必要條件； ④“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝kπ(k∈Z)”．其中真命題的序號是________(把真命題

65、的序號都填上)． 解析：“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定為“?x∈R，x2－x＋1>0”，①是真命題；“若x2＋x－6≥0，則x>2”的否命題是“若x2＋x－6<0，則x≤2”，②也是真命題；在△ABC中，“A>30”是“sin A>”的必要不充分條件，③是假命題；“函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)為奇函數(shù)”的充要條件是“φ＝(k∈Z)”，④是假命題． 答案：①② 9．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}， ∵β：|x－1|<1，∴0

66、0