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1、 一題多解與一題多變
浦東新區(qū)彭鎮(zhèn)中學(xué) 王國(guó)新
在幾何證明題中，學(xué)生往往只注意證明結(jié)果，而不注意證明的方法，有時(shí)用的方法過(guò)于繁瑣。對(duì)于一道題的證明方法往往不是一種方法。在教學(xué)中，我非常注重對(duì)幾何證明題的一題多解和一題多變，取得了較好的教學(xué)效果。
原題：已知，如圖（1）：∠BAC=90，BA平分∠DBC，BD⊥DE，CE∥BD。
求證：BC=BD+CE。
分析：這種題形一般有兩種方法，一種是把一條 線段截成兩條線段，另一種是把兩條線段接成一條線段。本題可過(guò)點(diǎn)A做AF⊥BC，F(xiàn)為垂足，分
2、別證BF=BD，CF=CE即可?；蜓娱L(zhǎng)BD、CA交與點(diǎn)F，再證BF=BC。
證法一，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC、F為垂足。
在△ABD和△ABF中
∴△ABD≌△ABF (A,A,S)
∴BD=BF，∠BAD=∠BAF，∠D=∠AFB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.)
∵∠BAF+∠CAF=90(垂直定義),
∠DAB+∠BAC+∠CAE=180(平角定義)
∴∠DAB+∠EAC=90(等式性質(zhì))
∴∠CAF=∠CAE(等角的余角相等)
∵CE∥BD (已知)
∴∠D+∠E=180(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)
∵∠AFB+∠AFC=180(平角定義)
∴∠
3、E=∠AFC(等角的補(bǔ)角相等)
在△ACF和△ACE中
∴△ACF≌△ACE(A.A.S)
∴CE=CF(全等角形三的對(duì)應(yīng)邊相等)
∴BD+CE=BF+FC
既BC=BD+CE
證法二,延長(zhǎng)CE,BA交于F.
∵BD∥CE (已知)
4、
∴∠F=∠DBA (二直線平行, 內(nèi)錯(cuò)角相等.)
∵∠ABD=∠ABC (已知)
∴∠F=∠ABC （等量代換）
∴ CB=CF （等角對(duì)等邊）
∵∠CAB=90(已知)
∴AB=AF（等腰三角形三線合一）
在△ABD和△AEF中
∴△ABD≌△AEF （A.S.A）
∴BD=EF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
∵CF=CE+EF CB=CF
∴CB=CE+BD
證法三，在CB上取一點(diǎn)F，使BF=BD，連接AF，
在△
5、ABD和△ABF中
∴△ABD≌△ABF (S.A.S)
∴∠BAD=∠BAF ∠D=∠AFB=90
(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)
∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90(已知)
∠DAB+∠BAF+∠CAF+∠CAE=180(平角定義)
∴∠BAD+∠CAE=90(等式性質(zhì))
∴∠CAE=∠CAF (等角的余角相等)
∵CE∥BD (已知)
∴∠D+∠E=180(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)
∵∠D=90(垂直定義)
∴
6、∠E=90(等式性質(zhì))
在△ACE和△ACF中
∴△ACE≌△ACF(A,A,S)
∴CF=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
∴CF+BF=BD+CE
即BC=BD+CE
證法四, 在CB上取一點(diǎn)F，使CF=CE，連接AF。
以下同證法三類似，略。
變式：
本題可改編以下幾個(gè)題目：
1， 如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BD∥CE，求證：BC=BD+CE。
證明：在CB上取一點(diǎn)F，使BF=BD，連接AF，
在△ABD和△A
7、BF中
∴△ABD≌△ABF (S.A.S)
∴∠D=∠AFB (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)
∵BD∥CE （已知）
∴∠D+∠E=180(二直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).)
∵∠AFB+∠AFC=180(平角定義)
∴∠E=∠AFC (等角的補(bǔ)角相等)
在△ACE和△ACF中
∴△ACE≌△ACF(A,A,S)
∴CF=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)
∴CF+BF=BD+CE
即BC=BD+CE
還可以用上面證法二的方法證明，略。
2，如圖，BA平分∠DBA，DA=DE，∠BAC=90，求證：BC=BD+CE。
3，如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，，BC=BD+CE，求證：BD∥CE。
4，如圖，BA平分∠DBA，DA=DE，BC=BD+CE，求證：BD∥CE。
5，如圖，BA平分∠DBA，CA平分∠BCE，BC=BD+CE，求證∠BAC=90。
6，如圖，DA=DE，BD∥CE，BC=BD+CE，求證：BA平分∠DBA。
以上題目的證法與上面的證法類似。
通過(guò)對(duì)這道題的多種解法的訓(xùn)練和題目的多種變化，較好地提高了學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的分析解答能力，特別是對(duì)輔助線的作法，達(dá)到了預(yù)期的教學(xué)效果。
一題多解與一題多變
