（課標專用）天津市高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練4 基本初等函數(shù)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題能力訓練4　基本初等函數(shù)、函數(shù)的圖象與性質(zhì) 　專題能力訓練第14頁　? 一、能力突破訓練 1.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(　　) A.f(x)=-x|x| B.f(x)=xsin x C.f(x)=1x D.f(x)=x12 答案:A 解析:函數(shù)f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù),故選A. 2.(2019全國Ⅱ,理6)若a>b,則(　　) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 答案:C 解析:取a=2,b=1,滿足a>b.但ln(a-b)=0,排除A; ∵3a=9,3b

2、=3,∴3a>3b,排除B; ∵y=x3是增函數(shù),a>b,∴a3>b3,故C正確;取a=1,b=-2,滿足a>b,但|a|<|b|,排除D. 故選C. 3.函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為(　　) 答案:D 解析:當x=0時,y=2>0,排除A,B;當x=12時,y=-124+122+2>2.排除C.故選D. 4.(2019吉林長春質(zhì)監(jiān)(四))已知f(x)=sin x+1sinx+ax2,若fπ2=2+π,則f-π2=(　　) A.2-π B.π-2 C.2 D.π 答案:B 解析:因為f(x)=sinx+1sinx+ax2,fπ2=2+π, 所以fπ2=1+1+π

3、2a4=2+π,因此π2a4=π,故a=4π; 所以f-π2=-1-1+4π×π24=-2+π.故選B. 5.已知函數(shù)f(x)=2x-1-2,x≤1,-log2(x+1),x>1,且f(a)=-3,則f(6-a)=(　　) A.-74 B.-54 C.-34 D.-14 答案:A 解析:∵f(a)=-3, ∴當a≤1時,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式顯然不成立. 當a>1時,f(a)=-log2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7. ∴f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 6.已知f(x)是定義域為(-∞,+∞)內(nèi)的奇函

4、數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 答案:C 解析:∵f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的周期為4. ∵f(x)為R上的奇函數(shù), ∴f(0)=0. ∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0), ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f

5、(2)=2. 7.已知a>b>1,若logab+logba=52,ab=ba,則a=　　　　　,b=　　　　　.? 答案:4　2 解析:設(shè)logba=t,由a>b>1,知t>1. 由題意,得t+1t=52,解得t=2,則a=b2. 由ab=ba,得b2b=bb2,即得2b=b2,即b=2, 故a=4. 8.若函數(shù)f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數(shù),則a=　　　　　.? 答案:1 解析:∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-1)=f(1). 又f(-1)=-ln(-1+a+1)=lna+1+1a,f(1)=ln(1+a+1), 因此ln(a+1+1)-lna=ln(a+1+1)

6、, 于是lna=0, ∴a=1. 9.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),則a的取值范圍是　　　　　.? 答案:12,2 解析:由題意知a>0,又log12a=log2a-1=-log2a. ∵f(x)是R上的偶函數(shù), ∴f(log2a)=f(-log2a)=f(log12a). ∵f(log2a)+f(log12a)≤2f(1), ∴2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1). 又f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增, ∴|log2a|≤1,-1≤log2a

7、≤1,∴a∈12,2. 10.設(shè)奇函數(shù)y=f(x)(x∈R),滿足對任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且當x∈0,12時,f(x)=-x2,則f(3)+f-32的值等于. 答案:-14 解析:根據(jù)對任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),進而得到f(t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函數(shù)y=f(x)的一個周期為2,則f(3)=f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,f-32=f12=-14,所以f(3)+f-32=0+-14=-14. 11.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值為M,最小值

8、為m,則M+m=　　　　　.? 答案:2 解析:f(x)=(x+1)2+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1, 設(shè)g(x)=2x+sinxx2+1,則g(-x)=-g(x), 故g(x)是奇函數(shù). 由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max+g(x)min=0, 則M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min=2+g(x)max+g(x)min=2. 12.若不等式3x2-logax<0在x∈0,13內(nèi)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解:由題意知3x2

9、兩函數(shù)圖象,當x∈0,13時,若a>1,則函數(shù)y=logax的圖象顯然在函數(shù)y=3x2圖象的下方,所以不成立; 當00,cos6x>0,則此時y>0,故選D. 14.已知f(

10、x)是定義在R上的偶函數(shù),當x>0時,f(x)=ax+log5x,x>4,x2+2x+3,0

11、x2,y2),…,(xm,ym),則∑i=1m(xi+yi)=(　　) A.0 B.m C.2m D.4m 答案:B 解析:由f(-x)=2-f(x),得f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱. 而y=x+1x=1+1x的圖象是由y=1x的圖象向上平移一個單位長度得到的,故y=x+1x的圖象關(guān)于點(0,1)對稱. 則函數(shù)y=x+1x與y=f(x)圖象的交點也關(guān)于點(0,1)對稱,且每一組對稱點(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)滿足xi+x'i=0,yi+y'i=2, 所以∑i=1m(xi+yi)=∑i=1mxi+∑i=1myi=m2×0+m2×2=m. 16.已

12、知函數(shù)f(x)=2x,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若f(f(a))=4,則a=　　　　　.? 答案:1或-1 解析:令m=f(a),則f(m)=4,當m>0時,由2m=4,解得m=2;當m≤0時,-m2-2m+1=3,無解,故f(a)=2.當a>0時,由2a=2,解得a=1;當a≤0時,由-a2-2a+1=2,解得a=-1.綜上可知,a=1或a=-1. 故答案為1或-1. 17.設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間[-1,1]上,f(x)=ax+1,-1≤x<0,bx+2x+1,0≤x≤1,其中a,b∈R.若f12=f32,則a+3b的值為　　　　　.? 答案:-10

13、 解析:∵f32=f12,∴f12=f-12, ∴12b+232=-12a+1, 易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1), ∴-a+1=b+22,即2a+b=0, ∴a=2,b=-4,∴a+3b=-10. 18.若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為　　　　　.? ①f(x)=2-x?、趂(x)=3-x?、踗(x)=x3?、躥(x)=x2+2 答案:①④ 解析:對①,設(shè)g(x)=ex·2-x,則g'(x)=ex2-x+2-xln12 =ex·2-x·

14、1+ln12>0, ∴g(x)在R上單調(diào)遞增,具有M性質(zhì); 對②,設(shè)g(x)=ex·3-x,則g'(x)=ex3-x+3-xln13 =ex·3-x1+ln13<0, ∴g(x)在R上單調(diào)遞減,不具有M性質(zhì); 對③,設(shè)g(x)=ex·x3,則g'(x)=ex·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0, ∴g(x)在區(qū)間(-∞,-3)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(-3,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,不具有M性質(zhì); 對④,設(shè)g(x)=ex(x2+2),則g'(x)=ex(x2+2x+2), ∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0, ∴g'(x)>0,∴g(x)在R上單調(diào)遞增,具有M性質(zhì)

15、.故填①④. 19.已知函數(shù)f(x)=ex-e-x(x∈R,且e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性. (2)是否存在實數(shù)t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,請說明理由. 解:(1)∵f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函數(shù), y=-1ex是增函數(shù),∴f(x)是增函數(shù). ∵f(x)的定義域為R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x), ∴f(x)是奇函數(shù). (2)由(1)知f(x)是增函數(shù)且為奇函數(shù). ∵f(x-t)+f(x2-t2)≥0對x∈R恒成立, ∴f(x-t)≥f(t2-x2),∴t2-x2≤x-t, ∴x2+x≥t2+t對x∈R恒成立. 又t+122≤x+122對一切x∈R恒成立, ∴t+122≤0,∴t=-12. 即存在實數(shù)t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.