（江蘇專用）高考數學 專題5 平面向量 37 平面向量的應用 理-人教版高三數學試題

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1、訓練目標 (1)向量知識的綜合應用；(2)向量與其他知識的結合. 訓練題型 (1)向量與三角函數；(2)向量與三角形；(3)向量與平面解析幾何. 解題策略 (1)利用向量知識可將和三角函數有關的問題“脫去”向量外衣，轉化為三角函數問題；(2)向量和平面圖形的問題往往借助三角形，結合正弦、余弦定理解決；(3)解決向量與平面解析幾何問題的基本方法是坐標法. 1．(2015·珠海調研)設向量a＝(sin x，cos 2x)，b＝(cos x，)，函數f (x)＝a·b. (1)求函數f (x)的最小正周期； (2)若0<α<，f ()＝，求cos α的值． 2. 如圖，在△O

2、AB中，＝，＝，AD與BC交于點M，設＝a，＝b. (1)用a、b表示； (2)已知在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過M點，設＝p，＝q，求證：＋＝1. 3．(2015·福建三明高中聯盟校期末)已知向量m＝(3cos x，sin x)，n＝(2cos x，－2cos x)，函數f (x)＝m·n. (1)求f (x)的最小正周期和對稱軸方程； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f (B)＝0且b＝2，cos A＝，求a的值． 4．(2015·長沙一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，y)． (1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正

3、方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a·b＝－1的概率； (2)若x，y∈[1,6]，求滿足a·b>0的概率． 5．(2015·西安第二次質檢) 如圖：已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A(2,0)是長軸的一個端點，弦BC過橢圓的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|. (1)求橢圓的方程； (2)若AB上的一點F滿足－2＋3＝0，求證：CF平分∠BCA. 答案解析 1．解　(1)f (x)＝sin xcos x

4、＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)， 所以最小正周期T＝＝π. (2)由f ()＝，得sin(α＋)＝，所以cos2(α＋)＝. 因為0<α<，所以<α＋<，所以cos(α＋)＝. 所以cos α＝cos(α＋－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)·sin＝×＋×＝. 2．(1)解　設＝ma＋nb，則＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b. ∵點A、M、D共線，∴與共線， ∴(m－1)－(－1)×n＝0，∴m＋2n＝1.① 而＝－＝(m－)a＋nb，＝－a＋b. ∵C、M、B共線，∴與共線， ∴－n－(m－)＝0.∴4m＋n＝1.② 聯立①②可得m

5、＝，n＝， ∴＝ a＋ b. (2)證明?。?－p)a＋ b，＝－pa＋qb， ∵與共線， ∴(－p)q－×(－p)＝0. ∴ q－pq＝－ p，即＋＝1. 3．解　(1)f(x)＝m·n＝6cos2x－2sin xcos x ＝3(1＋cos 2x)－sin 2x＝3cos 2x－sin 2x＋3 ＝2cos(2x＋)＋3，∴f (x)的最小正周期為T＝＝π. 由2x＋＝kπ(k∈Z)，得對稱軸方程為x＝kπ－(k∈Z)． (2)由f (B)＝0，得cos(2B＋)＝－. ∵B為銳角，∴<2B＋<，∴2B＋＝，B＝. ∵cos A＝，A∈(0，π)，∴sin A＝ ＝

6、. 在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝，即a＝. 4．解　(1)設(x，y)表示一個基本事件，則拋擲兩次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個． 用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1. 則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個． ∴P(A)＝＝. (2)用B表示事件“a·b>0”，即x－2y>0. 試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，構成事件B的區(qū)域為{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y>0}，如圖所示． 所以所求的概率為P(B)＝＝. 5．(1)解　∵＝0，∴⊥，∠ACB＝90°. 又|－|＝2|－|，即||＝2||， ∴△AOC是等腰直角三角形． ∵A(2,0)，∴C(1,1)，而點C在橢圓上， ∴＋＝1，a＝2，∴b2＝. ∴所求橢圓方程為＋＝1. (2)證明　由(1)，得C(1,1)，B(－1，－1)． 又－2＋3＝0， 即＋＝2－2?＝2， 即點F分所成的定比為2.設F(x0，y0)． ∵x0＝＝1，y0＝＝－， ∴F(1，－)．CF⊥x軸，∴∠ACF＝∠FCB＝45°， 即CF平分∠BCA.