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1、 電子工程學(xué)院練：練：把 在下列環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)1）2）第十一講第十一講 孤立奇點孤立奇點 可去奇點可去奇點極點極點本性奇點本性奇點函數(shù)零級點的關(guān)系函數(shù)零級點的關(guān)系函數(shù)在無窮遠點的形態(tài)函數(shù)在無窮遠點的形態(tài)F函數(shù)不解析的點為函數(shù)不解析的點為奇點奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點孤立奇點.孤立奇點及其分類將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.可去可去奇點m級級極極點本性本性奇點1.可去奇點 如果在洛朗級數(shù)中不含不含z-z0的負冪項的負冪項,則孤立奇點z
2、0稱為f(z)的可去奇點可去奇點.這時,f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù):c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.因此,這個冪級數(shù)的和函數(shù)F(z)是在z0解析的函數(shù),且當(dāng)zz0時,F(z)=f(z);當(dāng)z=z0時,F(z0)=c0.由于所以不論f(z)原來在z0是否有定義,如果令f(z0)=c0,則在圓域|z-z0|d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了.由于這個原因,所以z0稱為可去奇點可去奇點.2.極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個有限多個z-z0的負冪項的負冪項,且其中關(guān)于(z-
3、z0)-1的最高冪為(z-z0)-m,即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+.(m1,c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點級極點.上式也可寫成其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+.在|z-z0|d內(nèi)是解析的函數(shù),且g(z0)0.反過來,當(dāng)任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式,且g(z0)0時,則z0是f(z)的m級極點.如果z0為f(z)的極點,由(5.1.1)式,就有3.本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個無窮多個z-z0的負冪項的負冪項,則孤立奇點
4、z0稱為f(z)的本性奇點.中含有無窮多個z的負冪項.在本性奇點的鄰域內(nèi),函數(shù)f(z)有以下的性質(zhì)(證明從略):如果z0為函數(shù)f(z)的本性奇點,則對任意給定的復(fù)數(shù)A,總可以找到一個趨向于z0的數(shù)列,當(dāng)z沿這個數(shù)列趨向于z0時,f(z)的值趨向于A.例如,給定復(fù)數(shù)A=i,我們把它寫成不含z-z0的負冪項可去奇點m級極點本性奇點有限多個z-z0的負冪項無窮多個z-z0的負冪項我們可以利用上述極限的不同情形上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.練：有兩個一級極點+1,-1 有一個級三極點0 4.函數(shù)的零點與極點的關(guān)系 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5
5、.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)0,m為某一正整數(shù),則z0稱為f(z)的m級零點.例如當(dāng)f(z)=z(z-1)3時,z=0與z=1是它的一級與三級零點,根據(jù)這個定義,我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析,則z0是是f(z)的的m級零點的充要條級零點的充要條件件是f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0 (5.1.3)這是因為,如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cm(z-z0)m+.易證z0是f(z)的m級極點的充要條件是前m項系數(shù)c0=c1=.=cm-1=0,cm0,這等價于 f(n
6、)(z0)=0,(n=0,1,2,.,m-1),f(m)(z0)0 (5.1.3)例如z=1是f(z)=z3-1的零點,由于f(1)=3z2|z=1=30,從而知z=1是f(z)的一級零點.由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析,且j(z0)0,因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續(xù),所以給定所以f(z)=(z-z0)m j(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零,即不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的不恒為零的解析函數(shù)的零點是孤立的.由此,當(dāng)zz0時,得而y(z)=1/j(z)在z0解析,并且y(z0)0,所以z0是f(z)的m級極點.證畢這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個
7、較為簡單的方法.5.函數(shù)在無窮遠點的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無窮遠點z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析,稱點為f(z)的孤立奇點.規(guī)定：規(guī)定：如果t=0是是j j(t)的可去奇點,m級極點或本性奇點,則稱點z=是是f(z)的可去奇點,m級極點或本性奇點.由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析,所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù),根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負冪項,ii)含有有限多的負冪項,且t-m為最高冪,iii)含有無窮多的負冪項,則t=0是j(t)的i)可去奇點,ii)m級極點,iii)本性奇點.ii)含有限多的正冪項
8、,且zm為最高冪;i)可去奇點;z=是是f(z)的的i)不含正冪項;iii)含有無窮多的正冪項;ii)m級極點;iii)本性奇點.用 判定用 判定t=0是是j(z)的的f(z)在在z=的性態(tài)的性態(tài)判斷函數(shù)在判斷函數(shù)在 的極限的極限t=1/z判斷函數(shù)判斷函數(shù)f（1/t）在在t=0的性態(tài)的性態(tài)函數(shù)函數(shù)f（1/t）在在t=0的鄰域洛朗級數(shù)的鄰域洛朗級數(shù)展開式包含展開式包含t的負冪次項的情況的負冪次項的情況函數(shù)函數(shù)f（z）在在z=的鄰域洛朗級數(shù)展的鄰域洛朗級數(shù)展開式包含開式包含z的正冪次項的情況的正冪次項的情況例2 函數(shù)在擴充平面內(nèi)有些什么類型的奇點?如果是極點,指出它的極.解 易知,函數(shù)f(z)除使
9、分母為零的點z=0,1,2,外,在|z|+內(nèi)解析.由于(sinpz)=pcospz在z=0,1,2,處均不為零,因此這些點都是sinpz的一級零點,從而是(sinpz)3的三級零點.所以這些點中除去1,-1,2外都是f(z)的三級極點.因z2-1=(z-1)(z+1)以1與-1為一級零點,所以1與-1是f(z)的2級極點.至于z=2,因為所以z=2是f(z)的可去奇點.關(guān)于z=,因為第五章 作業(yè)：1：1），2），6），8）；2；3；5；6；8：1），2），3），6）；9：3）；11；12：1）；13：1），4），5），6）。Its The End！Thank You！Complex Function Theory Department of SEE
11第十一講 孤立奇點
