機(jī)器人技術(shù) 二、齊次坐標(biāo)變換

《機(jī)器人技術(shù) 二、齊次坐標(biāo)變換》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《機(jī)器人技術(shù) 二、齊次坐標(biāo)變換（39頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、齊 次 坐 標(biāo) 變 換主 講 ： 吳 海 彬福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院第二講 主 要 內(nèi) 容引言點(diǎn)的向量表示單位向量點(diǎn)和向量的齊次表示坐標(biāo)系的位姿剛體的位姿平移變換旋轉(zhuǎn)變換一般變換 相對(duì)參考坐標(biāo)系的變換相對(duì)自身坐標(biāo)系的變換 引 言 (Introduction) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 解 決 的 基 本 問 題 ： 正 向 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 逆 向 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 機(jī) 器 人 機(jī) 構(gòu) 一 個(gè) 自 由 度 情 況 多 個(gè) 自 由 度 情 況 誤 差 的 反 饋 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 傳 統(tǒng) 表 示坐標(biāo)軸的定義kcjbiaP zyx zyxcbaP或kcjbiaP zyx zyxcbaP或

2、Pzaon Paon PaonT zzz yyyy xxxx非方陣相乘結(jié)果的維數(shù)發(fā)生變化 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示 在 三 維 向 量 中 加 入 一 比 例 因 子 w； 其 物 理 意 義 是 ， 隨 著 W的 改 變 ， 向 量 的 大 小 會(huì) 發(fā) 生 變 化 ， 而 方 向 不 變 ； W大 于 1， 向 量 的 分 量 變 大 ； W小 于 1， 向 量 的 分 量 變 小 ； 若 W 1， 各 分 量 大 小 不 變 ； 若 W 0， 則 表 示 一 個(gè) 無 窮 小 的 向 量 ， 其 方 向 不 變 。 第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) zyxcbaP wzyxP

3、wxax wyby wzcz 其中齊次坐標(biāo)與傳統(tǒng)坐標(biāo)的關(guān)系 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) 因此，習(xí)慣上用W1表示向量的長度，用W0表示向量的方向，而且方向向量一般表示成單位向量的形式。形式如下： 1 zyxcbaP 0 222 222 222 zyx z zyx y zyx x cba c cba b cba aP例：有一向量P（3，5，2），請(qǐng)按如下要求表示成矩陣形式：1、比例因子為2；2、表示為方向的單位向量。 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示原點(diǎn)重合情況坐標(biāo)系的齊次表示是由坐標(biāo)系的三個(gè)方向向量和原點(diǎn)位置齊次坐標(biāo)組成： 1000

4、zzzz yyyy xxxx Paon Paon PaonF例：如圖所示為F坐標(biāo)系位于參考坐標(biāo)系中（3，5，7）的位置，它的n軸與x 軸平行，o軸相對(duì)于y軸的角度為45度，a軸相對(duì)于z的角度為45度。請(qǐng)寫出該坐標(biāo)的齊次表達(dá)形式。 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的表示 一個(gè)剛體在空間的表示可以這樣實(shí)現(xiàn)：通過在它上面固連一個(gè)坐標(biāo)系，再將該固連的坐標(biāo)系在空間表示出來。由于這個(gè)坐標(biāo)系一直固連在該剛體上，所以該剛體相對(duì)于坐標(biāo)系的位姿是已知的。因此，只要這個(gè)坐標(biāo)系可以在空間表示出來，那么這個(gè)剛體相對(duì)于固定坐標(biāo)系的位姿也就已知了。由此可知，剛體在參考坐標(biāo)系的表示與

5、坐標(biāo)系是完全一樣的。 1000 zzzz yyyy xxxxobject Paon Paon PaonF圖 約 束 變 量點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)由剛體（坐標(biāo)系）在參考坐標(biāo)系的齊次矩陣表達(dá)可知，該矩陣有12個(gè)變量，但描述剛體位姿只需要6個(gè)變量（自由度）就足夠了，因此，齊次矩陣中12個(gè)變量之間并不是相互獨(dú)立的，而是有約束的，約束條件為：1、三個(gè)方向向量相互垂直；2、每個(gè)單位向量的長度均為1。即：0on 0an 0oa1n 1o 1a 已 知 兩 個(gè) 向 量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k 向

6、 量 的 點(diǎn) 積 是 標(biāo) 量 。 用 “ ”來 定 義 向 量 點(diǎn) 積 ， 即 a b = ax bx + ay by + az bz 向 量 的 叉 積 是 一 個(gè) 垂 直 于 由 叉 積 的 兩 個(gè) 向 量 構(gòu) 成 的 平 面 的 向 量 。用 “ ”表 示 叉 積 ， 即 a b = ( a y bz az by ) i + ( az bx ax bz ) j + ( ax by ay bx ) k 可 用 行 列 式 表 示 為 i j k a b = ax ay az bx by bz 例 題 點(diǎn) 、 向 量 和 坐 標(biāo) 系 的 齊 次 表 示第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于下列坐標(biāo)系，求解

7、所缺元素的值，并用矩陣來表示這個(gè)坐標(biāo)系。 1000 20? 3?707.0 5?0?F kajaiaooo nnn kji zyxzyx zyx aon 注：三個(gè)點(diǎn)積約束條件可以用叉積代替，即：進(jìn)一步有 齊 次 變 換 矩 陣 變 換 定 義 為 空 間 的 一 個(gè) 運(yùn) 動(dòng) ； 當(dāng) 空 間 的 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 （ 向 量 、 剛 體 、 運(yùn) 動(dòng) 坐標(biāo) 系 ） 相 對(duì) 于 固 定 的 參 考 坐 標(biāo) 系 運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ， 這一 運(yùn) 動(dòng) 可 以 用 類 似 于 表 示 坐 標(biāo) 系 的 方 式 來 表示 ； 變 換 有 如 下 幾 種 形 式 ： 純 平 移 ， 純 旋 轉(zhuǎn) ， 平 移 和 旋 轉(zhuǎn)

8、 的 結(jié) 合 。第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) 純 平 移 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)過程中姿態(tài)不變，坐標(biāo)方向單位向量保持同一方向不變。),(1000 100 010 001 zyxzyx dddTransdddT 變換矩陣可表示為 100010001000 100 010 001 zzzzz yyyyy xxxxxzzzz yyyy xxxxzyxnew dPaon dPaon dPaonPaon Paon PaondddF變換過程為：注：相對(duì)固定坐標(biāo)系的平移，變換矩陣左 乘 ， 公 式 為 oldzyxnew FdddTransF ),( 例 純 旋 轉(zhuǎn) (相 對(duì) 坐 標(biāo)

9、繞 參 考 坐 標(biāo) X軸 ）齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)nx PP sincos21 aoy PPllP cossin43 aoz PPllP aonzyx PPPPPP cossin0 sincos0 001例 必須從原點(diǎn)開始變換！ 純 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)noaxyz PxRotP ),( cossin0 sincos0 001),(xRot cos0sin 010 sin0cos),(yRot 100 0cossin 0sincos),( zRot也就相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)變換前在固定參考坐標(biāo)系的初始位置。式中noaP PTP RRUU 圖、例注：相對(duì)固定

10、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，變換矩陣左 乘 ， 公 式 為繞x軸旋轉(zhuǎn)可簡(jiǎn)寫成其中同理 純 旋 轉(zhuǎn) 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中有一點(diǎn)P（2，3，4），此坐標(biāo)系繞參考坐標(biāo)系x軸旋轉(zhuǎn)90度。求旋轉(zhuǎn)后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。 復(fù) 合 變 換 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)特點(diǎn)：既有平移，又有旋轉(zhuǎn)，而且可以多次。假設(shè)坐標(biāo)系（n，o，a）相對(duì)于參考坐標(biāo)系（x，y，z）依次進(jìn)行如下變換：1、繞x軸旋轉(zhuǎn) 角；2、平移 ；3、再繞y軸旋轉(zhuǎn) 角。 321 lll noaxyz PxRotlllTransyRotP ),(),(),( 321 注：矩陣的順序不能變； 相對(duì)固定坐標(biāo)

11、系的平移和旋轉(zhuǎn)，變換矩陣左 乘 。 例 復(fù) 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣相對(duì)坐標(biāo)系的齊次矩陣固連在坐標(biāo)系（n，o，a）上的點(diǎn)P（7，3，2）經(jīng)歷如下變換，求出變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。1、繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；2、接著繞y軸旋轉(zhuǎn)90度；3、接著再平移（4，-3，7）。 復(fù) 合 變 換 例 題 齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)假設(shè)（n，o，a）坐標(biāo)系上的點(diǎn)P（7，3，2）也經(jīng)歷相同變換，但變換順序按如下進(jìn)行，求出變換后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。1、繞z軸旋轉(zhuǎn)90度；2、接著平移（4，-3，7）；3、接著再繞y軸旋轉(zhuǎn)90度。 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換齊 次

12、變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的變換與相對(duì)固定參考坐標(biāo)系不同，這時(shí)需要 右 乘 變 換 矩 陣 而 不 是 左 乘。相對(duì)自身的運(yùn)動(dòng)即是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)。相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)是指動(dòng)坐標(biāo)系本身相對(duì)自身的運(yùn)動(dòng)，而不是動(dòng)坐標(biāo)系中的點(diǎn)相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)。如果在一個(gè)變換過程中，既有相對(duì)固定坐標(biāo)系的變換，也有相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系的變換，則應(yīng)先寫出第一個(gè)變換因子，在根據(jù)變換的具體過程，依次左乘或右乘變換因子，最后乘以被變換的對(duì)象（點(diǎn)或坐標(biāo)）。 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)假設(shè)與上例相同的點(diǎn)現(xiàn)在進(jìn)行相同的變換，但所有變換都是相對(duì)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的，具體變換如下，

13、求變換完成后該點(diǎn)相對(duì)于參考坐標(biāo)系的坐標(biāo)。1、繞a軸旋轉(zhuǎn)90度；2、然后沿n、o、a軸平移（4，-3，7）；3、接著繞o軸旋轉(zhuǎn)90度。 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 的 變 換 例 題齊 次 變 換 矩 陣第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系B繞x軸旋轉(zhuǎn)90度，然后沿當(dāng)前坐標(biāo)系a軸做了3英寸的平移，然后再繞z軸旋轉(zhuǎn)90度，最后沿當(dāng)前坐標(biāo)系o軸做5英寸的平移。1、寫出描述該運(yùn)動(dòng)的方程；2、求坐標(biāo)系中的點(diǎn)P（1，5，4）相對(duì)于參考坐標(biāo)系的最終位置。提示：先求 ，再求 BUT PTP BBUU 變 換 矩 陣 的 逆第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)鉆孔點(diǎn)位置的描述： EPPUEHHRRUEU TTTTTT 式中：只有 是未知的，

14、其它都可以通過傳感器獲得，或本身就是已知的。因此，通過求逆陣就可以求得 。HRT HRT 求 矩 陣 逆 例 題變 換 矩 陣 的 逆第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)在一個(gè)具有六自由度的機(jī)器人的第五個(gè)連桿上裝有照相機(jī)，照相機(jī)觀察物體并測(cè)定它相對(duì)于照相機(jī)坐標(biāo)系的位置，然后根據(jù)以下數(shù)據(jù)來確定末端執(zhí)行器要到達(dá)物體所必須完成的運(yùn)動(dòng)。 1000 5001 0010 31005 camT 1000 4100 0001 00105 HT 1000 4010 2001 2100objcamT 1000 3100 0010 0001EHT objcamcamRobjEEHHR TTTTTTT 5555 objET提示：根據(jù)

15、求 ，這可以用于測(cè)距 變 換 矩 陣 的 逆求 逆 陣 的 步 驟 ：第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)1、計(jì)算矩陣的行列式；2、將矩陣轉(zhuǎn)置；3、將轉(zhuǎn)置矩陣的每個(gè)元素用它的子行列式（伴隨矩陣）代替；4、用轉(zhuǎn)換后的矩陣除以行列式AAA *1 即 cossin0 sincos0 001),(xRot例：求的逆陣。滿足TAA 1的矩陣稱為酉矩陣。 齊 次 矩 陣 的 逆變 換 矩 陣 的 逆第二章 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué) 對(duì)于4X4齊次變換矩陣，可以將矩陣分成兩部分求逆。其旋轉(zhuǎn)部分仍是酉矩陣，只需要簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)置；矩陣的位置部分是向量P分別與n、o、a向量點(diǎn)積的取反。 10001 aPaaa oPooo nPnnnT zyx

16、zyx zyx 1000 zzzz yyyy xxxx Paon Paon PaonT即的逆陣為 1000 5010 25.00866.0 3866.005.0T例：求的逆陣。 圖 2.12所 示 為 點(diǎn) A繞 任 意 過 原 點(diǎn) 的 單 位 矢 量 此 旋 轉(zhuǎn) 角 的 情況 。 kx， ky， kz分 別 為 此 矢 量 在 固 定 參 考 系 坐 標(biāo) 軸 X、 Y、Z上 的 三 個(gè) 分 量 ， 可 以 證 得 ， 繞 任 意 過 原 點(diǎn) 的 單 位 矢 量 k轉(zhuǎn) 角 的 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變換 公 式 為 式 (2-18)稱 為 一 般 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 通 式 ， 它 概 括了 繞

17、X軸 、 Y軸 、 Z軸 進(jìn) 行 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 變 換 的 各 種特 殊 情 況 ， 例 如 ： 當(dāng) kx=1， 即 ky=kz=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-16)； 當(dāng) ky=1， 即 kx=kz=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-17)； 當(dāng) kz=1， 即 kx=ky=0時(shí) ， 則 由 式 (2-18)可 得 到式 (2-15)。 反 之 ， 若 給 出 某 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 齊 次 矩 陣則可根據(jù)式 (2-18)求出其等效矢量k及等效轉(zhuǎn)角 式中：當(dāng)取0到180。之間的值時(shí)，式中的符號(hào)取+號(hào)；當(dāng)轉(zhuǎn)角時(shí)很小時(shí)，公式很難確定轉(zhuǎn)軸；當(dāng)接近0?；?80。

18、時(shí)，轉(zhuǎn)軸完全不確定。 與 平 移 變 換 一 樣 ， 旋 轉(zhuǎn) 變 換 算 子 公 式 (2-15)、 (2-16)、 (2-17)以 及 一 般 旋 轉(zhuǎn) 變 換 算 子 公 式 (2-18)， 不僅 僅 適 用 于 點(diǎn) 的 旋 轉(zhuǎn) 變 換 ,而 且 也 適 用 于 矢 量 、 坐 標(biāo) 系、 物 體 等 旋 轉(zhuǎn) 變 換 計(jì) 算 。 若 相 對(duì) 固 定 坐 標(biāo) 系 進(jìn) 行 變 換 ,則 算 子 左 乘 ； 若 相 對(duì) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系 進(jìn) 行 變 換 ， 則 算 子 右 乘。 例 2-5 已 知 坐 標(biāo) 系 中 點(diǎn) U的 位 置 矢 量 u=7 3 2 1T 將 此 點(diǎn) 繞 Z軸 旋 轉(zhuǎn) 90， 再 繞 Y軸 旋 轉(zhuǎn) 90， 如 圖 2-13所 示， 求 旋 轉(zhuǎn) 變 換 后 所 得 的 點(diǎn) W。 2-6 如 圖 2-14所 示 單 臂 操 作 手 ， 手 腕 也 具 有 一個(gè) 自 由 度 。 已 知 手 部 起 始 位 姿 矩 陣 為若手臂繞Z0軸旋轉(zhuǎn)+90，則手部到達(dá)G2若手臂不動(dòng)，僅手部繞手腕Zl軸旋轉(zhuǎn)+90,則手部到達(dá)G 3。寫出手部坐標(biāo)系G2及G3的矩陣表達(dá)式。