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1、直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系數(shù) 學(xué) 直 線 和 圓 的 位 置 關(guān) 系(1)設(shè) r是 O的 半 徑 ， d是 圓 心 O到 直 線 l的 距 離 (2)切 線 的 性 質(zhì) ： 切 線 的 性 質(zhì) 定 理 ： 圓 的 切 線 _經(jīng) 過(guò) 切 點(diǎn) 的 半 徑 推 論 1： 經(jīng) 過(guò) 切 點(diǎn) 且 垂 直 于 切 線 的 直 線 必 經(jīng) 過(guò) _ 推 論 2： 經(jīng) 過(guò) 圓 心 且 垂 直 于 切 線 的 直 線 必 經(jīng) 過(guò) _(3)切 線 的 判 定 定 理 ： 經(jīng) 過(guò) 半 徑 的 外 端 并 且 _這 條 半 徑 的 直線 是 圓 的 切 線 (4)三 角 形 的 內(nèi) 切 圓 ： 和 三 角 形 三
2、 邊 都 _的 圓 叫 做 三 角 形 的內(nèi) 切 圓 ， 內(nèi) 切 圓 的 圓 心 是 _，內(nèi) 切 圓 的 圓 心 叫 做 三 角 形 的 _， 內(nèi) 切 圓 的 半 徑 是 內(nèi) 心 到 三邊 的 距 離 ， 且 在 三 角 形 內(nèi) 部 垂 直 于 圓 心切 點(diǎn)垂 直 于相 切三 角 形 三 條 角 平 分 線 的 交 點(diǎn)內(nèi) 心 1 證 直 線 為 圓 的 切 線 的 兩 種 方 法 (1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí) ，常連接公共點(diǎn)和圓心， 證明直線垂直半徑；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí) ，常過(guò) 圓心向直線作垂線 ， 證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑 3 常 見(jiàn) 的 輔 助 線(1)當(dāng)已知條件中有切線
3、時(shí) ，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理來(lái)解題；(2)遇到兩條相交的切線 時(shí) (切線 長(zhǎng) )，常常連接切點(diǎn)和圓心、連接圓心和圓外的一點(diǎn)、連接兩切點(diǎn) CB1 (2015張 家 界 )如 圖 ， O 30 ， C為 OB上 一 點(diǎn) ， 且 OC 6，以 點(diǎn) C為 圓 心 ， 半 徑 為 3的 圓 與 OA的 位 置 關(guān) 系 是 ( )A 相 離 B 相 交C 相 切 D 以 上 三 種 情 況 均 有 可 能2 (2015棗 莊 )如 圖 ， 一 個(gè) 邊 長(zhǎng) 為 4 cm的 等 邊 三 角 形 ABC的 高 與 O的 直 徑 相 等 O與 BC相 切 于 點(diǎn) C， 與 AC相 交 于 點(diǎn) E，
4、則 CE的長(zhǎng) 為 ( )A 4 cm B 3 cm C 2 cm D 1.5 cm B3 (2015黔 西 南 州 )如 圖 ， 點(diǎn) P在 O外 ， PA， PB分 別 與 O相 切于 A， B兩 點(diǎn) ， P 50 ， 則 AOB等 于 ( )A 150 B 130 C 155 D 135 C4 (2015廈 門 )如 圖 ， 在 ABC中 ， AB AC， D是 邊 BC的 中 點(diǎn) ，一 個(gè) 圓 過(guò) 點(diǎn) A， 交 邊 AB于 點(diǎn) E， 且 與 BC相 切 于 點(diǎn) D， 則 該 圓 的 圓心 是 ( )A 線 段 AE的 中 垂 線 與 線 段 AC的 中 垂 線 的 交 點(diǎn)B 線 段 AB的
5、 中 垂 線 與 線 段 AC的 中 垂 線 的 交 點(diǎn)C 線 段 AE的 中 垂 線 與 線 段 BC的 中 垂 線 的 交 點(diǎn)D 線 段 AB的 中 垂 線 與 線 段 BC的 中 垂 線 的 交 點(diǎn) 5 (2015重 慶 )如 圖 ， AC是 O的 切 線 ， 切 點(diǎn) 為 C， BC是 O的 直徑 ， AB交 O于 點(diǎn) D， 連 接 OD.若 BAC 55 ， 則 COD的 大 小為 ( )A 70 B 60 C 55 D 35 A 判 斷 直 線 與 圓 的 位 置 關(guān) 系【 例 1】 (1)如 圖 ， O的 半 徑 為 4 cm， OA OB， OC AB于 點(diǎn) C， OB 4 cm
6、， OA 2 cm， 試 說(shuō) 明 AB是 O的 切 線 (2)如 圖 ， 已 知 在 OAB中 ， OA OB 13， AB 24， O的 半 徑長(zhǎng) 為 r 5.判 斷 直 線 AB與 O的 位 置 關(guān) 系 ， 并 說(shuō) 明 理 由 【 點(diǎn) 評(píng) 】在判定直線與圓相切時(shí) ，若直線與圓的公共點(diǎn)已知，證 題方法是“連半徑， 證垂直”；若直線與圓的公共點(diǎn)未知， 證題方法是“作垂線 ， 證半徑”這兩種情況可概括為一句話：“有交點(diǎn)連半徑，無(wú)交點(diǎn)作垂線 ” 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 1 (1)(2015齊 齊 哈 爾 )如 圖 ， 兩 個(gè) 同 心 圓 ， 大 圓 的 半 徑 為 5， 小 圓的 半 徑 為 3， 若 大
7、 圓 的 弦 AB與 小 圓 有 公 共 點(diǎn) ， 則 弦 AB的 取 值 范 圍是 ( )A 8AB10 B 8 AB10C 4AB5 D 4 AB5(2)(2014西 寧 ) O的 半 徑 為 R， 點(diǎn) O到 直 線 l的 距 離 為 d， R， d是 方程 x 2 4x m 0的 兩 根 ， 當(dāng) 直 線 l與 O相 切 時(shí) ， m的 值 為 _A 4 【 例 2】 (2015陜 西 )如 圖 ， AB是 O的 直 徑 ， AC是 O的 弦 ，過(guò) 點(diǎn) B作 O的 切 線 DE， 與 AC的 延 長(zhǎng) 線 交 于 點(diǎn) D， 作 AE AC交DE于 點(diǎn) E.(1)求 證 ： BAD E；(2)若
8、O的 半 徑 為 5， AC 8， 求 BE的 長(zhǎng) 圓 的 切 線 的 性 質(zhì)解 ： (1)證 明 ： AB是 O的 直 徑 ， AC是 O的 弦 ， 過(guò) 點(diǎn) B作 O的切 線 DE， ABE 90 ， BAE E 90 ， DAE90 ， BAD BAE 90 ， BAD E 【 點(diǎn) 評(píng) 】本題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng) 過(guò)切點(diǎn)的半徑經(jīng) 過(guò) 圓心且垂直于切線的直線必經(jīng) 過(guò)切點(diǎn)經(jīng) 過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò) 圓心 【 例 3】 (2015湖 州 )如 圖 ， 已 知 BC是 O的 直 徑 ， AC切 O于點(diǎn) C， AB交 O于 點(diǎn) D， E為 AC的
9、 中 點(diǎn) ， 連 接 DE.(1)若 AD DB， OC 5， 求 切 線 AC的 長(zhǎng) ；(2)求 證 ： ED是 O的 切 線 切 線 的 判 定 與 性 質(zhì) 的 綜 合 運(yùn) 用 解 ： (1)解 ： 連 接 CD， BC是 O的 直 徑 ， BDC 90 ， 即 CD AB， AD DB， OC 5， CD是AB的 垂 直 平 分 線 ， AC BC 2OC 10 【 點(diǎn) 評(píng) 】本題考查了切線的判定與性質(zhì) ，解題的關(guān)鍵是：熟記切線的判定定理與性質(zhì)定理， 經(jīng) 過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑 對(duì) 應(yīng) 訓(xùn) 練 3 (2015巴 中 )如 圖 ， AB
10、是 O的 直 徑 ， OD BC于 點(diǎn) F， 交 O于點(diǎn) E， 連 接 CE， AE， CD， 若 AEC ODC.(1)求 證 ： 直 線 CD為 O的 切 線 ；(2)若 AB 5， BC 4， 求 線 段 CD的 長(zhǎng) 審 題 視 角(1)直線 PC與 O交于點(diǎn)C，可以初步判定直線與圓相切或相交；(2)PA切 O于點(diǎn)A，根據(jù)切線的性質(zhì) ，可知 PAO90， 連接CO，能證得 PCO PAO90， PC與 O相切；而后由PC是切線解得PC長(zhǎng) 規(guī) 范 解 題解 ： (1)直 線 PC與 O相 切 證 明 ： 連 接 OC， BC OP， 1 2， 3 4. OB OC， 1 3， 2 4.又
11、OC OA， OP OP， POC POA， PCO PAO. PA切 O于 點(diǎn) A， PAO 90 ， PCO 90 ， PC與 O相 切 答 題 思 路第一步：探索可能的結(jié) 論 ，假設(shè)符合要求的結(jié) 論存在；第二步：從條件出發(fā) (即假設(shè) )求解；第三步：確定符合要求的結(jié) 論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及答題 規(guī)范 試 題 在 Rt ABC中 ， C 90 ， AC 3， BC 4， 若 以 C為 圓 心 ，R為 半 徑 的 圓 與 斜 邊 AB只 有 一 個(gè) 公 共 點(diǎn) ， 求 R的 值 剖 析當(dāng) C與AB相切時(shí) ，只有一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)要注意AB是線段，當(dāng)圓的半徑R在一定范圍內(nèi)時(shí) ，斜邊 AB與 C相交且只有一個(gè)公共點(diǎn)
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