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1、多邊形與平行四邊形 數學 1 多邊形和正多邊形的概念及性質 (n 2)180 概念 在平面內 ， 由一些 線 段首尾 順 次 相接 組 成的封 閉圖 形 叫做多 邊 形 內角和 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 外角和 360 多 邊 形 ( n 3) 對角線 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 條 概念 各條邊都相等 ， 且各內角都相等的多邊形叫正多邊 形 . 正多邊形 ( n 3 ) 性質 (1) 正多邊形的各邊相等 ， 各角相等； (2) 正 n 邊形的每 一內角為 （ n 2 ） 1 8 0 n (3)
2、 正 n 邊形有 n 條對稱軸； (4) 正 n 邊形有一個外接圓和一個內切圓 ， 它們是同心 圓； (5) 對于正 n 邊形 ， 當 n 為奇 數時 ， 是軸對稱圖形 ， 不 是中心對稱圖形；當 n 為偶數時 ， 既是軸對稱圖形 ， 又是中心對稱圖形 n（ n 3）2 2.平行四邊形的性質以及判定 (1)性質： 平行四邊形兩組對邊分別 ____________； 平行四邊形對角 ___________， 鄰角 ____________； 平行四邊形對角線 ________________； 平行四邊形是 ____________對稱圖形 平行且相等 相等 互補
3、 互相平分 中心 (2)判定方法： 定義： ___________________的四邊形是平行四邊形； __________________________的四邊形是平行四邊形； _______________________的四邊形是平行四邊形； _______________________的四邊形是平行四邊形； ____________________的四邊形是平行四邊形 兩組對邊分別平行 一組對邊平行且相等 兩組對邊分別相等 兩組對角分別相等 對角線互相平分 3 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊 ， 且等于第三邊的一半 1 利
4、用平行四 邊 形性 質進 行有關 計 算的一般思路 為 ： (1)運用平行四 邊 形的性 質轉 化角度或 線 段之 間 的等量關系： 對 邊 平行可得相等的角 ， 進 而可得相似三角形； 對邊 相等 、 對 角 線 互相平分可得相等的 線 段； 當有角平分 線 的條件 時 ， 可利用 “ 平行角平分 線 可得等腰三角形 ” 的 結論 得到等角 、 等 邊 (2)找到所求 線 段或角所在的三角形 ， 若三角形 為 特殊三角形 ， 則 注意運用特殊三角形的性 質 求解；若三角形 為 任意三角形 ， 可以 利用某兩個三角形全等或相似的性 質進 行求解 ， 有 時還 可利用三 角形的中位
5、線 等知 識 求解 2 在判定四 邊 形 為 平行四 邊 形 時 ， 關 鍵 是 選擇 判定的方 法 可以 從 邊 、 角 、 對 角 線 三個方面加以分析： (1)若已知一 組對邊 相等 ， 則 需 證這組對邊 平行或者另外一 組對邊 相等；若已知一 組對邊 平行 ， 則 需 證 明 這組對邊 相等或者另外一 組對邊 平行； (2)若已知一 組對 角相等 ， 則 需 證 另一 組對 角相等； (3)若已知一條 對 角 線 平分另一條 對 角 線 ， 則 需 證對 角 線 互相平分 3 四種常用的 輔 助 線 (1)常用 連對 角 線 的方法把四 邊 形 問題轉 化 為 三角
6、形的 問題 ； (2)有平行 線時 ， 常作平行 線 構造平行四 邊 形； (3)有中 線時 ， 常作加倍中 線 構造平行四 邊 形； (4)圖 形具有等 鄰邊 特征 時 (如 ：等腰三角形 、 等 邊 三角形 、 菱形 、 正方形等 )， 可以通 過 引 輔 助 線 把 圖 形的某一部分 繞 等 鄰邊 的公共 端點旋 轉 到另一位置 1 (2015重慶 )已知一個多邊形的內角和是 900 ， 則這個多邊形 是 ( ) A 五邊形 B 六邊形 C 七邊形 D 八邊形 2 (2015本溪 )如圖 ， ABCD的周長為 20 cm， AE平分 BAD， 若 CE 2
7、cm， 則 AB的長度是 ( ) A 10 cm B 8 cm C 6 cm D 4 cm C D 3 (2015常州 )如圖 ， ABCD的 對 角 線 AC， BD相交于點 O， 則下 列說法一定正確的是 ( ) A AO OD B AO OD C AO OC D AO AB 4 (2015連云港 )已知四邊形 ABCD， 下列說法正確的是 ( ) A 當 AD BC， AB DC時 ， 四邊形 ABCD是平行四邊形 B 當 AD BC， AB DC時 ， 四邊形 ABCD是平行四邊形 C 當 AC BD， AC平分 BD時 ， 四邊形 ABCD是矩形
8、 D 當 AC BD， AC BD時 ， 四邊形 ABCD是正方形 C B 5 (2015山西 )如圖 ， 在 ABC中 ， 點 D， E分別是邊 AB， BC的 中點 若 DBE的周長是 6， 則 ABC的周長是 ( ) A 8 B 10 C 12 D 14 C 多邊形及其性質 【例 1 】 (1) ( 2015 萊蕪 ) 一個多邊形除一個內角外其余內角的 和為 1510 ， 則這個多邊形對角線的條數是 ( ) A 27 B 35 C 44 D 54 (2 ) ( 2015 安徽 ) 在四邊形 ABCD 中 ， A B C ， 點
9、E 在邊 AB 上 ， A ED 60 ， 則一定有 ( ) A A DE 20 B ADE 30 C ADE 1 2 ADC D A DE 1 3 ADC C D 解：如圖 ， 在 AED 中 ， AED 60 ， A 180 AE D ADE 120 A DE ， 在四邊形 DEB C 中 ， DEB 180 AED 180 60 120 ， B C ( 360 DEB EDC ) 2 120 1 2 EDC ， A B C ， 120
10、ADE 120 1 2 EDC ， ADE 1 2 EDC ， A DC A DE EDC 1 2 EDC E DC 3 2 EDC ， ADE 1 3 ADC ， 故選： D 【點評】 (1) 設 出 題 中所求的兩個未知數 ， 利用內角和公式 列出相 應 等式 ， 根據 邊 數 為 整數求解 ， 再 進 一步代入多 邊 形的 對 角 線計 算公式 n （ n 3 ） 2 ， 即可解答 ( 2) 利用三角形的內角和 為 180 ， 四 邊 形的內角和 為 360 ， 分 別 表示出 A ， B ， C. 對應訓練 1 (1)(201
11、5婁底 )一個多邊形的內角和是外角和的 2倍 ， 則這個多 邊形的邊數為 _________ (2)(2015巴彥淖爾 )如圖 ， 小明從 A點出發(fā) ， 沿直線前進 12米后向 左轉 36 ， 再沿直線前進 12米 ， 又向左轉 36 照這樣走下去 ， 他第一次回到出發(fā)地 A點時 ， 一共走了 ________米 6 120 【 例 2】 (2014懷化 )如圖 ， 在平行四邊形 ABCD中 ， B AFE， EA是 BEF的角平分線 求證： (1) ABE AFE； (2) FAD CDE. 平行四邊形的性質 解：證 明： ( 1 ) EA 是 BEF 的角平分
12、線 ， A EB AE F ， 在 ABE 和 AFE 中 ， B AF E ， AEB AEF ， AE AE ， ABE AFE ( A AS ) ( 2 ) ABE AFE ， AB AF ， 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB CD ， AD CB ， AB CD ， AF CD ， A D F DEC ， B C 180 ， B AFE ， AFE AFD 180 ， AF D C ， 在 AFD 和 DCE 中 ， ADF F EC ， C AFD
13、， AF DC ， AFD DCE ( AAS ) ， F AD CDE 【 點評 】 平行四 邊 形 對邊 相等 ， 對邊 平行 ， 對 角相等 ， 鄰 角互 補 ， 對 角 線 互相平分 ， 利用 這 些性 質 可以解決與平行四 邊 形相關 的 問題 ， 也可將四 邊 形的 問題轉 化 為 三角形的 問題 C 對應訓練 2 ( 2015 綏化 ) 如圖 ， A BCD 的對角線 AC ， BD 交于點 O ， AE 平分 B AD 交 BC 于點 E ， 且 A DC 60 ， AB 1 2 BC ， 連接 OE. 下列結論： CA D 30 ；
14、 S A BC D AB AC ； OB AB ； OE 1 4 BC ， 成立的個數有 ( ) A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【 例 3】 (2015河北 )嘉淇同學要證明命題 “ 兩組對邊分別相等 的四邊形是平行四邊形 ” 是正確的 ， 她先用尺規(guī)作出了如圖 的 四邊形 ABCD， 并寫出了如下不完整的已知和求證 已知：如圖 ， 在四邊形 ABCD中 ， BC AD， AB _______； 求證：四邊形 ABCD是 _________四邊形 (1)補全已知和求證； (2)按嘉淇的想法寫出證明； 平行四邊形的判定
15、 CD 平行 (3) 用 文 字 敘 述 所 證 命 題 的 逆 命 題 為 _______________________________ 平行四邊形兩組對邊分別相等 解： ( 2 ) 證明：連接 BD ， 在 ABD 和 CDB 中 ， AB CD ， AD BC ， BD DB ， ABD CDB ( SSS ) ， AD B DBC ， ABD CD B ， AB CD ， AD CB ， 四邊形 A BC D 是平行四邊形 【 點評 】 探索平行四 邊 形成立的條件 ， 有多種方法判定平行四 邊 形： 若條件中涉及角 ， 考 慮
16、用 “ 兩 組對 角分 別 相等 ” 或 “ 兩 組對邊 分 別 平行 ” 來 證 明； 若條件中涉及 對 角 線 ， 考 慮 用 “ 對 角 線 互相平分 ” 來 說 明； 若條件中涉及 邊 ， 考 慮 用 “ 兩 組對邊 分 別 平行 ” 或 “ 一 組對邊 平行且相等 ” 來 證 明 ， 也可以巧添 輔 助 線 ， 構建平行四 邊 形 對應訓練 3 (2015桂林 )如圖 ， 在 ABCD中 ， 點 E， F分別是 AB， CD的中 點 (1)求證：四邊形 EBFD為平行四邊形； (2) 對 角 線 AC 分 別 與 DE ， BF 交 于 點 M ， N ， 求 證 ：
17、 ABN CDM. 解： ( 1 ) 證明： 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB CD ， AB CD. E ， F 分別是 AB ， CD 的中點 ， BE DF ， BE DF ， 四邊形 E BF D 為平行四邊 形 ( 2 ) 證明： 四邊形 E B FD 為平行四邊形 ， DE BF ， CDM CFN. 四邊形 ABC D 是平行四邊形 ， AB CD ， AB CD. B AC D CA ， AB N CFN ， ABN CDM ， 在 ABN 與 CDM 中 ， BAN DCM ， AB
18、 CD ， ABN CDM ， AB N C DM ( ASA ) 【 例 4】 已知如圖：在 ABC中 ， AB， BC， CA的中點分別是 E ， F， G， AD是高 求證： EDG EFG. 三角形中位線定理 解：證明：連接 EG ， E ， F ， G 分別是 AB ， BC ， CA 的中點 ， EF 為 A BC 的中位線 ， EF 1 2 AC. ( 三角形的中位線等于第三邊的一半 ) 又 AD BC ， AD C 90 ， D G 為直角 AD C 斜邊上的中線 ， DG 1 2 AC. ( 直 角三角形斜邊上的中線等于斜
19、邊的一半 ) DG EF . 同理 DE FG ， EG GE ， EF G GDE ( SSS ) ED G EFG 【 點評 】 當已知三角形一 邊 中點 時 ， 可以 設 法找出另一 邊 的中 點 ， 構造三角形中位 線 ， 進 一步利用三角形的中位 線 定理 ， 證 明 線 段平行或倍分 問題 對應訓練 4 (1)(2015廣州 )如圖 ， 四邊形 ABCD中 ， A 90 ， AB 3， AD 3， 點 M， N分別為線段 BC， AB上的動點 (含端點 ， 但點 M不 與點 B重合 )， 點 E， F分別為 DM， MN的中點 ， 則 EF長度的最大值
20、 為 ______ 3 (2)(2015河北 )平面上 ， 將邊長相等的正三角形 、 正方形 、 正五邊 形 、 正六邊形的一邊重合并疊在一起 ， 如圖 ， 則 3 1 2 ____________ 24 試題 如圖 ， 已知六邊形 ABCDEF的六個內角均為 120 ， CD 10 cm， BC 8 cm， AB 8 cm， AF 5 cm， 求此六邊形的周長 21.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據 錯解 解：如圖 ， 連接 EB， DA， FC， 分別交于點 M， N， P. FED EDC 120 ， DEM EDM 60 ， DEM是等邊三 角形
21、 同理 ， MAB， NFA也是等邊三角形 FN AF 5， MA AB 8. EFA 120 ， EFC 60 ， ED FC， 同理 ， EF DN. 四邊形 EDNF是平行四邊形 同理 ， 四邊形 EMAF也是 平行四邊形 ， ED FN 5， EF MA 8. 六邊形 ABCDEF的周 長 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 5 8 5 44(cm) 21.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據 剖析 上述解法最根本的 錯誤 在于多 邊 形的 對 角 線 不是角平分 線 ， 從 證 明的一開始 ， 由 FED EDC 120 得到 DEM
22、 EDM 60 的 這 個 結論 就是 錯誤 的 ， 所以后面的推理就沒有依 據了 ， 請 注意 對 角 線 與角平分 線 的區(qū) 別 ， 只有菱形和正方形的 對 角 線 才有平分一 組對 角的特性 ， 其他的不具有 這 一性 質 不可憑 直 觀 感 覺 就以 為對 角 線 AD， BE平分 CDE， DEF.切 記 ： 視覺 不可代替 論證 ， 直 觀 判斷不能代替 邏輯 推理 21.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據 解：如圖 ， 分別延長 ED， BC交于點 M， 延長 EF， BA交于點 N. EDC DCB 120 ， MDC MCD 60 ， M 60 ， MDC是等邊三角形 CD 10， MC DM 10.同理 ， ANF也是等邊三角形 ， AF AN NF 5. AB BC 8， NB 8 5 13， BM 8 10 18. E 120 ， E M 180 ， EN MB. 四邊形 EMBN是平行四邊形 ， EN BM 18， EM NB 13， EF EN NF 18 5 13， ED EM DM 13 10 3， 六邊形 ABCDEF的周長 AB BC CD DE EF FA 8 8 10 3 13 5 47(cm) 21.不可將未加證明的條件作為已知條件或推理依據
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