2.1《從位移速度力到向量》(北師大版必修4)

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1、§1.從位移、速度、力到向量 【教材版本】北師大版 【教材分析】 隨著人類新型知識體系的構(gòu)建和形成，新的教育理念正在向傳統(tǒng)的教育模式發(fā)起挑戰(zhàn)，促使其必須進(jìn)行重大革命，以適應(yīng)高度發(fā)展起來的新型知識體系。直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初才發(fā)展起來的“向量數(shù)學(xué)”，以其在物理學(xué)、空間物質(zhì)結(jié)構(gòu)中的廣泛應(yīng)用，而備受人們所觀注，進(jìn)而很快形成了一套具有優(yōu)良運(yùn)算通法的數(shù)學(xué)體系，現(xiàn)已被納入中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中，成為數(shù)學(xué)新教材改革的一大閃光點(diǎn)。 幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科.傳統(tǒng)的歐幾里得幾何是進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)思維訓(xùn)練的典范，但是幾何學(xué)要進(jìn)一步發(fā)展，就必須采用數(shù)量化的方法，通過數(shù)量化的方法，可以

2、化抽象為具體，將技巧性比較強(qiáng)的問題逐漸程序化解決。而中學(xué)教育是基礎(chǔ)教育，是大眾教育，是需要普及的教育，問題的程序化解決是普及的關(guān)鍵。在這方面，與導(dǎo)數(shù)的引入有異曲同工之妙。歸納起來講，這些內(nèi)容的引入，掃除了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的障礙，有利于數(shù)學(xué)的普及。從另一方面講，向量發(fā)展的前景是廣闊的，它含蓋了平面幾何、立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)等領(lǐng)域，為學(xué)習(xí)這些方面的知識提供了新的工具。 向量作為一種新的量，它不同于數(shù)量，數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍不一定能施行，因此在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)明確數(shù)量和向量的區(qū)別，并重新規(guī)定了向量的加法、減法、實(shí)數(shù)和向量的積、向量的數(shù)性積和矢性積等運(yùn)算法則。并在引入二維坐標(biāo)系后，將向量

3、與坐標(biāo)緊緊聯(lián)系起來，增加了向量的滲透性和實(shí)用性，更體現(xiàn)了向量運(yùn)算的價值。 實(shí)際上，如果引進(jìn)了向量和向量代數(shù)，簡單幾何(比如中學(xué)數(shù)學(xué)中的平面幾何和立體幾何)中的許多知識和問題都可以有新的向量的解釋。新教材在引入向量以后，使得平面幾何和空間幾何中許多定理、公式及一些相關(guān)問題變得直觀、淺顯、易理解。 中學(xué)階段要學(xué)習(xí)平面向量和空間向量，而對于學(xué)生而言，不僅是因?yàn)橄蛄渴且粋€新的知識，關(guān)鍵是它的運(yùn)算是一個新的體系，有新的法則，這是前面無論那一章的知識都從未涉及的，所以教材將向量分兩個階段來安排，首先學(xué)習(xí)平面向量。 【教學(xué)目標(biāo)】 1．知識與技能 ①了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何

4、表示； ②掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共線向量的關(guān)系； ③通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別. 2．過程與方法 引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法與討論相結(jié)合。這是向量的第一節(jié)課，概念與知識點(diǎn)較多，在對學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)之后，應(yīng)讓學(xué)生清清楚楚得明白其概念，這是學(xué)生進(jìn)一步獲取向量知識的前提；通過學(xué)生主動地參與到課堂教學(xué)中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。體現(xiàn)了在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生的的主體地位和作用。 向量是一個全新的概念，一定要從生活中的例子入手，尤其是同學(xué)比較熟悉的物理知識中的位移、速度、力等概念入手，說明客觀存在一部

5、分量僅通過數(shù)量是不能準(zhǔn)確地描述的，或者說用數(shù)量來描述不符合客觀事實(shí)，那么非常有必要引進(jìn)新的一個量——向量。課本內(nèi)容比較少，但由于向量是初步學(xué)習(xí)，它有一套新的規(guī)則及運(yùn)算體系，一定要注意循序漸進(jìn)，從簡單、直觀、熟悉的例子入手，忌諱一蹴而就的做法，試圖通過幾節(jié)課學(xué)生就理解掌握向量。 3．情感目標(biāo)與價值觀 通過對向量與數(shù)量的比較，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，并且意識到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 從情感上講，數(shù)量在學(xué)生心目中的位置已經(jīng)十分牢固，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識大多數(shù)停留在數(shù)量的層次上，已經(jīng)形成思維定勢。那么，通過學(xué)生比較熟悉的物理量結(jié)合實(shí)際，首先得出用數(shù)量描述這

6、些量和客觀實(shí)際是矛盾的，那么用什么量，怎樣描述，從而激發(fā)學(xué)生興趣，進(jìn)一步打破思維定勢，跳出數(shù)量的圈子，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)向量的必要性和重要性。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1．重點(diǎn)：向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示等 2．難點(diǎn)：向量的概念和共線向量的概念 本節(jié)重點(diǎn)是向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示．向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用很廣泛，提供了一種便于空間數(shù)形問題研究的方法．對學(xué)生來說向量是一種新的量，其特征有兩個:既有大小,又有方向.讓學(xué)生認(rèn)識到方向性的存在是認(rèn)識向量概念的關(guān)鍵，還要讓學(xué)生理解向量和數(shù)量的區(qū)別聯(lián)系，建立一種新的量的思維體系．相等向量只與方向、大小有關(guān)，與位置沒有關(guān)系，進(jìn)一

7、步理了解學(xué)習(xí)的向量是自由向量，為以后運(yùn)用向量解決平面數(shù)形問題奠定基礎(chǔ)．向量的幾種表示方法在運(yùn)算中必須用到，掌握這幾種表示法及幾何表示的意義． 本節(jié)難點(diǎn)是向量概念的理解．由于向量是一種新的量，與以前的數(shù)量是不同的體系，兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，數(shù)量的運(yùn)算律、性質(zhì)等對于向量是不適合的，讓學(xué)生先直觀上認(rèn)識，再逐步抽象使學(xué)生建立向量的運(yùn)算、性質(zhì)體系，改變學(xué)生誤認(rèn)為：數(shù)量的運(yùn)算律對于向量也適合的．引入向量概念之后,隨之帶來一系列相關(guān)概念是比較多的,如零向量,單位向量,相等向量,平行向量,共線向量.對于它們要抓住本質(zhì)特征,讓學(xué)生在比較中找出相近概念的區(qū)別與聯(lián)系,而且由于向量同時具有幾何圖象的特征,在學(xué)習(xí)

8、時還要在圖形中辯清它們相等、平行,且圖形還可以從簡單到復(fù)雜逐步分清向量所對應(yīng)的有向線段的身份、地位和作用． 【學(xué)情分析】 本節(jié)課是向量的第一節(jié)，通過學(xué)生比較熟悉的幾何、物理及實(shí)際例子讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)向量的必要性（用數(shù)量的知識不能解決如位移、速度、力的運(yùn)算等問題）。由于實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算在學(xué)生的腦海里已經(jīng)根深蒂固，在學(xué)習(xí)向量時，既要聯(lián)系實(shí)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算法則，又要注意向量和實(shí)數(shù)的區(qū)別，不能想當(dāng)然。另外向量的概念比較多，避免采用嚴(yán)格的規(guī)范的定義來從理論上描述，引導(dǎo)學(xué)生直觀接受和理解。當(dāng)然，為了學(xué)生更準(zhǔn)確地理解這些概念，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的全面性，我們應(yīng)該重視關(guān)于向量的概念的練習(xí)題。 【教學(xué)環(huán)境】

9、 ◆多媒體教室 ◆課件 【教學(xué)設(shè)計】 一、情景引入 在物理中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了位移、速度和力的概念，那么通過熟悉的例子入手，來歸納位移、速度和力這些量的共同特點(diǎn)，主要突出它們不同于數(shù)量的特點(diǎn)。 實(shí)例1：如圖1，飛機(jī)從甲地飛向乙、丙兩地，假設(shè)甲分別到乙、丙兩地的距離相等，但我們不能說位移相等。 甲 乙 丙 圖2 甲 乙 丙 圖3 甲 乙 丙 圖1 甲到乙的位移與甲到丙的位移是不相等的，通過圖形，盡管甲分別到乙、丙兩地的距離相等，但飛機(jī)的運(yùn)動狀態(tài)和目的地不一樣。即位移既有大小又有方向，它和數(shù)量是不同的。 請同學(xué)們觀察圖2和圖3，

10、飛機(jī)從甲地飛向乙、丙兩地，飛機(jī)的位移相等嗎？ 實(shí)例2：運(yùn)動員投擲標(biāo)槍，標(biāo)槍的初速度的表示，既要記錄標(biāo)槍出手速度的大小，又要記錄標(biāo)槍出手傾斜角度。 速度的描述，既要描述大小，又要描述方向。這是由于運(yùn)動狀態(tài)不僅與速度的大小有關(guān)，而且與速度的方向有關(guān)。即使兩名運(yùn)動員投擲標(biāo)槍的出手速度大小和方向有一個量相同，標(biāo)槍的飛行還是有差距的。即速度既有大小又有方向，它和數(shù)量是不同的。 實(shí)例3：吊車吊裝重物時，物體受到豎直向下的重力，同時又受到豎直向上的拉力，這兩個力是不同的。 力的描述，既要描述大小，又要描述方向。無論吊車吊起重物后是停止還是運(yùn)動，重物

11、所受的兩個力方向是不相同的，那么重物所受的兩個力是不同的。即力既有大小又有方向，它和數(shù)量是不同的。 通過上面的幾個例子，我們發(fā)現(xiàn)，位移、速度和力是既有大小又有方向的量，它和數(shù)量是不同的。當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)生活中，大量存在這樣的既有大小又有方向的量。既然它是客觀存在，我們就有必要認(rèn)識和學(xué)習(xí)這些量。 二、新知探究 1.向量的定義 在平時的學(xué)習(xí)中，我們遇到許多量，例如溫度、時間、質(zhì)量、密度、功、長度、面積和體積等，這些量在規(guī)定單位的情況下，都可以完全由一個數(shù)來確定，這種只有大小的量叫做數(shù)量（或標(biāo)量）。另外，還有一些比較復(fù)雜的量如位移、力、速度、加速度等，它們不只有大小，沒有方向的量叫作數(shù)量。如長度、

12、面積、體積、質(zhì)量、功等。 既有大小又有方向的量叫作向量。如力、速度、加速度、位移等。 注：數(shù)量和向量的區(qū)別： 數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。? 向量有方向和大小，具有雙重性，不能比較大小。 2．表示方法 向量的表示通常有三種方法：幾何表示、字母表示、坐標(biāo)表示。 A B ①幾何表示：具有一定方向的線段，讀做向量； ②字母表示：具有一定方向的線段，記作或 ③坐標(biāo)表示：建立直角坐標(biāo)系后，可以利用坐標(biāo)來表示向量； 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度 3．向量的模 向量的大小，也叫做向量的的長度（或向量的模）。記做或或者 向量不能比較大小，但向量的

13、?？梢员容^大小。即是沒有意義的，但有意義。 注： ①有向線段有三個要素（大小、方向、起點(diǎn)），向量有兩個要素（大小和方向）；有向線段是向量的表示方法之一，反過來，有向線段還可以表示其它量，兩個不能等同。 ②我們在本章學(xué)習(xí)的是自由向量（可以平移的向量），只有大小和方向兩個要素。它的起點(diǎn)是任意的，在保證大小和方向不變的情況下，它是可以平移的，自由向量與起點(diǎn)無關(guān)。 4．幾個特殊的向量 從向量長度的角度來講有： ①零向量：長度為零（模為零）的向量叫零向量；（聯(lián)想代數(shù)中的零）零向量的方向是任意的，零向量與任意方向的向量平行。 ②單位向量：長度等于一個單位的向量叫做單位向量；（聯(lián)想代數(shù)中的1）

14、 從向量方向的角度來講有： ③平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量叫做平行向量。如果向量，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直線平行或重合），記作∥∥ 共線的向量有四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不相等；方向相反且模相等；方向相反且模不相等； 平行向量也就是共線向量。任意一個向量（包括零向量）都和自身是平行向量；零向量和任何向量都是平行向量。 從向量的大小和方向兩個角度來講有相等向量 ④相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。如果向量是相等向量，記做。當(dāng)然，零向量和零向量相等，任何相等的向量都可以用一條有向線段來表示。 三、典例精析

15、 例2 D，E，F(xiàn)依次是等邊三角形ABC的邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中。 （1）找出與向量相等的向量； （2）找出與向量共線的向量。 四、當(dāng)堂練習(xí) 1、下列各量：①密度；②浮力；③溫度；④風(fēng)速；⑤重量；⑥面積，其中是向量的有哪些？ 2、不相等的兩個向量有可能平行嗎？若不可能，請說明理由；若有可能，請把各種可能的情形一一列出。 3、把所有單位向量平移到同一起點(diǎn)，向量的終點(diǎn)構(gòu)成什么圖形？ 4、課本71頁練習(xí)題。 五、思考探究 問題：據(jù)新華社電: 神七發(fā)射最怕的是風(fēng)，風(fēng)速過大將影響飛船發(fā)射。酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心首席預(yù)報員劉漢濤24日說，“除了風(fēng)以外，9月底的其他氣象條件是飛船發(fā)射的理想狀態(tài)。但在發(fā)射時，如果距地面9公里到12公里的高空風(fēng)速超過70米/秒，就可能使火箭的飛行狀態(tài)發(fā)生改變”，你知道這是為什么嗎？ 六、布置作業(yè) 習(xí)題2-1