《2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（38頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例一、選擇題1.（2012山東高考文科10）與（2012山東高考理科9）相同函數(shù)的圖象大致為（ ）【解題指南】本題可利用函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，取點(diǎn)驗(yàn)證法可得.【解析】選D.由知為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y0，隨著x的變大，分母逐漸變大，整個(gè)函數(shù)值越來(lái)越接近y軸，只有D選項(xiàng)滿足.2.（2012新課標(biāo)全國(guó)高考理科T10）已知函數(shù)f(x)= ,則y=f(x)的圖象大致為（ ）【解題指南】令，通過(guò)對(duì)單調(diào)性與最值的考查，判斷出在不同的區(qū)間段f(x)的函數(shù)值的正負(fù)，最后利用排除法得正確選項(xiàng)?！窘馕觥窟xB. 得：或均有，排除3.（2012遼寧高考文科8）函
2、數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（A）（1,1 （B）（0,1 （C.）1，+） （D）（0，+）【解題指南】保證函數(shù)有意義的前提下，利用解得單調(diào)減區(qū)間【解析】選B. 由，又函數(shù)的定義域?yàn)楣蕟握{(diào)減區(qū)間為.4.（2012陜西高考文科9）設(shè)函數(shù)=+，則（ ）(A) x=為的極大值點(diǎn) (B) x=為的極小值點(diǎn) (C) x=2為的極大值點(diǎn) (D) x=2為的極小值點(diǎn)【解題指南】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于0求出極值點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正、負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷極值點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).【解析】選D. =+，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以x=2為的極小值點(diǎn).5.（2012福建高考文科12）已知，且現(xiàn)給出如下結(jié)論：；其中正確結(jié)論的
3、序號(hào)是（ ）ABCD【解題指南】首先要構(gòu)畫(huà)函數(shù)的草圖，因此，要求導(dǎo)，分析單調(diào)性，然后分別求出，再判斷各命題的真假【解析】選C.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函數(shù)在(-,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+)上單調(diào)遞增,又因?yàn)閒(a)=f(b)=f(c)=0,所以a(-,1),b(1,3),c(3,+),f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因?yàn)閒(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b(b-3)2-ac=0,所以ac為正數(shù),所以a為正數(shù),則有f(0)0,f(3)0,所以正確.6.（2012江西高考理科1
4、0）如右圖，已知正四棱錐S-ABCD所有棱長(zhǎng)都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記,截面下面部分的體積為，則函數(shù)的圖象大致為（ ） A B C D【解題指南】分與兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，將截面上面部分的幾何體分割為兩個(gè)錐體，用間接法求出截面下面部分的體積V（x）,然后通過(guò)V（x）的解析式得到圖象，當(dāng)時(shí)，同理可得?！窘馕觥窟xA . 當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，如圖所示由面QEPMN，且?guī)缀误w為正四棱錐，棱長(zhǎng)均為1,易推出，四邊形OEQN和OEPM均為全等的直角梯形，此時(shí)求導(dǎo)可知在上為減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，截面為等腰三角形，如圖所示：此時(shí)易知在上亦為減函數(shù)，且，根據(jù)三次
5、函數(shù)的圖象特征可知選項(xiàng)A符合.7.（2012遼寧高考理科12）若，則下列不等式恒成立的是（ ）(A) (B) (C) (D)【解題指南】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。【解析】選C. 令，則（x0），故為定義域上的增函數(shù)，.所以.8.（2012山東高考文科12）設(shè)函數(shù)，.若的圖象與的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）(A)(B)(C)(D)【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性.【解析】選B.設(shè)，則方程與同解，故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn).由得或.這樣，必須且只須或，因?yàn)?，故必有由此?不妨設(shè)，則.所以，比較系數(shù)得，故.，由此知，故答案為B.9.（2012山東高考理科12）設(shè)
6、函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則下列判斷正確的是（ ）A.當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，C. 當(dāng)時(shí)，D. 當(dāng)時(shí)，【解題指南】本題利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解單調(diào)性.【解析】選B.令，則，設(shè)，。令，則，要使y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)只需，整理得，于是可取來(lái)研究，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí).答案應(yīng)選B。另解：令可得。設(shè)不妨設(shè)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)如右圖，此時(shí)，即，此時(shí)，即；同理可由圖形經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)時(shí).答案應(yīng)選B。二、解答題10. （2012山東高考理科22）已知函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.（）求的值；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）
7、設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.【解題指南】（1）由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.（3）構(gòu)造函數(shù)法求解不等式問(wèn)題.【解析】() 由得由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知，解得：.（），令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。（），因此，對(duì)任意，等價(jià)于.令，則，因此，當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減.所以的最大值為，故設(shè).因?yàn)椋詴r(shí)，單調(diào)遞增，故時(shí)，即所以.因此，對(duì)任意.11.（2012山東高考文科22）已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間；()設(shè)，其中為的導(dǎo)
8、函數(shù).證明：對(duì)任意.【解題指南】（1）由曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的結(jié)論求解判斷單調(diào)區(qū)間.（3）構(gòu)造函數(shù)法求解的最值.【解析】 (I)，由已知，.(II)由(I)知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當(dāng)時(shí)，01+，故只需證明在時(shí)成立.當(dāng)時(shí)，1，且，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.綜上，對(duì)任意，.12.（2012江西高考理科21）若函數(shù)h(x)滿足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）對(duì)任意，有h(h(a)=a；（3）在（0,1）上單調(diào)遞減.則稱h(x
9、)為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若存在，使得h(m)=m，稱m是函數(shù)h(x)的中介元，記時(shí)，h(x)的中介元為xn，且，若對(duì)任意的，都有Sn0時(shí)，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值【解題指南】（1）先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)，因不確定的正負(fù)，故應(yīng)討論，結(jié)合的正負(fù)分別得出在每一種情況下的正負(fù)，從而確立單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)，將不含有參數(shù)的式子看作一個(gè)新函數(shù)，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最值問(wèn)題?！窘馕觥?1) 的定義域?yàn)?.若,則,所以在單調(diào)遞增.若,則當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), 0,所以, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(II)由于,所以.故當(dāng)時(shí), 等價(jià)
10、于 令，則.由（I）知，函數(shù)在單調(diào)遞增.而，所以在存在唯一的零點(diǎn).故在存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在的最小值為.又由，可得，所以.由于式等價(jià)于，故整數(shù)的最大值為2.16.（2012安徽高考理科19）設(shè) （I）求在內(nèi)的最小值；（II）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為；求的值?！窘忸}指南】（1）設(shè)；則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值；（2）曲線在點(diǎn)的切線方程為，則，解出的值.【解析】（I）設(shè)；則 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù) 得：當(dāng)時(shí)，的最小值為 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為（II） 由題意得：17.（2012安徽高考文科17）設(shè)定義在（0，+）上的函數(shù)（）求的最小值；（）
11、若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值。【解題指南】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值；（2）曲線在點(diǎn)的切線方程為，則，解出的值.【解析】（I） 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為 （II）由題意得： 由得：18.（2012遼寧高考理科T21）設(shè)，曲線與直線在(0，0)點(diǎn)相切。 (1)求的值。 (2)證明：當(dāng)時(shí)，?！窘忸}指南】(1)點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程；同時(shí)據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以建立另一個(gè)方程，求出a,b;(2) 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式【解析】（1）由得圖象過(guò)點(diǎn)（0，0）得b=0；由在點(diǎn)（0，0）的切線斜率，則（2）證明：當(dāng)時(shí)，令，則令，則當(dāng)時(shí)，因
12、此在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，又則時(shí)，所以時(shí)，即在（0,2）內(nèi)是遞減函數(shù)，由，則時(shí)，故時(shí)，19.（2012遼寧高考文科T21）設(shè)，證明： ()當(dāng)x1時(shí)， （ ） ()當(dāng)時(shí)，【解題指南】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，借助函數(shù)單調(diào)性證明不等式【解析】（1）記，則當(dāng)時(shí)，所以在上為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以，即（2）記，則由（1）得當(dāng)時(shí)，則因此函數(shù)在（1,3）內(nèi)單調(diào)遞減，所以時(shí)，即20.（2012陜西高考理科21）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)（）設(shè)，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（）設(shè)，若對(duì)任意，有，求的取值范圍；（）在（）的條件下，設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列的增減性.【解題指南】（1）根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單
13、調(diào)性進(jìn)行判斷；（2）需要進(jìn)行分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化等，然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）通過(guò)轉(zhuǎn)化，可得關(guān)系?！窘馕觥浚ǎ┊?dāng)，時(shí)，.，在內(nèi)存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增的，在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).（） 當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下：（）當(dāng)，即時(shí)，與題設(shè)矛盾；（）當(dāng)，即時(shí)，恒成立；（）當(dāng)，即時(shí)，恒成立.綜上可知，的取值范圍是.注：（）與（）也可合并證明如下：用表示中的較大者.當(dāng)，即時(shí)，恒成立.（）（證法一） 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)（），則，于是有，又由（）知在上是遞增的，故.所以，數(shù)列的是遞增數(shù)列.證法二 設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)，則的零點(diǎn)在內(nèi)，故.所以，數(shù)列的是遞增數(shù)列.
14、21.（2012陜西高考數(shù)學(xué)文科21）（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)（1）設(shè)，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）設(shè)n為偶數(shù)，求b+3c的最小值和最大值；（3）設(shè)，若對(duì)任意，有，求的取值范圍.【解題指南】（1）根據(jù)零點(diǎn)存在的條件和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；（2）把兩個(gè)絕對(duì)值不等式列出表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題；或?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行變形整理，直接整理出結(jié)果；（3）需要進(jìn)行分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等，然后變形整理根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【解析】（）當(dāng)，時(shí)，.，在內(nèi)存在零點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增的，在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).（）（方法一），又，所以，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫(huà)出可行域，如圖所示，觀察可行域可知，在點(diǎn)取到最小值，
15、在點(diǎn)取到最大值0，的最小值為，最大值為0.（方法二）由題意可得，即， ，即， 2+得：,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的最小值為，最大值為0.（方法三）由題意知，解得，所以又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最小值為，最大值為0. （）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有等價(jià)于在上的最大值與最小值之差，據(jù)此分類討論如下：（）當(dāng)，即時(shí)，與題設(shè)矛盾；（）當(dāng)，即時(shí)，恒成立；（）當(dāng)，即時(shí)，恒成立.綜上可知，的取值范圍是.注：（）與（）也可合并證明如下：用表示中的較大者.當(dāng)，即時(shí)，恒成立.22.（2012浙江高考理科22）（本題滿分14分）已知0,bR，函數(shù)f(x)=4x3-2bx-a+b。（）證明：當(dāng)0x1時(shí)，（1）函數(shù)f(x)的最大值為（2
16、）；（）若對(duì)x恒成立，求的取值范圍?！窘忸}指南】本題是用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，求最值時(shí)需分類討論求解，要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，同時(shí)求的取值范圍時(shí)需化為線性規(guī)劃問(wèn)題解決。【解析】（）（1）當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù) =當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，在上為減函數(shù) =若，即時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)而，當(dāng)時(shí)， =當(dāng)時(shí)， =（2）由于，故當(dāng)時(shí)，|2ab|a=當(dāng)時(shí)，|2ab|a=設(shè)，則于是010+減極小值增所以，所以，當(dāng)時(shí)，即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知：函數(shù)在0x1上的最大值為|2ab|a，且函數(shù)在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11對(duì)x0，1恒成立，即和，目標(biāo)函數(shù)為zab作圖如下：由圖易得：當(dāng)目
17、標(biāo)函數(shù)為zab過(guò)P(1，2)時(shí)，有；過(guò)(，)時(shí)，有所求ab的取值范圍是23.（2012浙江高考文科21）（本題滿分15分）已知aR，函數(shù).（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間（2）證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)+ 0.【解題指南】考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)時(shí)要注意分類討論，而不等式證明可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題。【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在（-，+）為增函數(shù)當(dāng)時(shí)， 令，得令，得所以在上單增，在上單減，在上單增綜上，當(dāng)時(shí)， 為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間。 （2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)，=當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁卧?，在上單減，在上單增若，即時(shí)，在為減函數(shù)，=f(x)+ 若，即時(shí)，在在上
18、單減，在上單增，=當(dāng)時(shí)， f(x)+ 令，則，則0在為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)， f(x)+ 綜上，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)+ 0.24.（2012北京高考理科18）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；(2) 當(dāng)a2=4b時(shí)，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-，-1上的最大值，【解題指南】第（1）問(wèn)，交點(diǎn)即在上也在上，在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等；第（2）問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間與最大值?！窘馕觥浚?），由已知可得，解得。（2），令，得，由得，；由得，。單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞
19、減區(qū)間為。，當(dāng)，即時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)，即時(shí)，在上增，在上減，所以在處取得唯一極大值也是最大值；當(dāng)，即時(shí)，在上增，在上減，在上增，且，。綜上，當(dāng)時(shí)，f(x)+g(x)的最大值為；當(dāng)時(shí)，f(x)+g(x)的最大值為1。25.（2012北京高考文科18）已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.（I） 若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線，求,a,b的值；（II） 當(dāng)a=3,b=-9時(shí)，若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍?！窘忸}指南】第（1）問(wèn)，交點(diǎn)即在上也在上，在公切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等；第（2）問(wèn)，構(gòu)造函數(shù)，然后利
20、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合h(x)的圖象，即可求出k的取值范圍?！窘馕觥浚?），由已知可得，解得。（2），令，得-31+0-0+增28減-5增當(dāng)時(shí)，取極大值38；當(dāng)時(shí)，取極小值-5。而，如果在區(qū)間k,2上的最大值為28，則。26.（2012湖南高考理科22）已知函數(shù)f（x）=eax-x，其中a0。（1） 若對(duì)一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合。（2）在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A（，f(x)），B（，f(x)（），記直線AB的斜率為K，問(wèn)：是否存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)
21、性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切xR，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為，從而得出a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性及最值來(lái)進(jìn)行分析判斷.【解析】（）若，則對(duì)一切，這與題設(shè)矛盾，又，故.而令當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，式成立.綜上所述，的取值集合為.（）由題意知，令則令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以
22、因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， .綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.27.（2012湖南高考文科22）（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若對(duì)一切xR，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f(x)的圖象上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.【解題指南】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問(wèn)題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問(wèn)利用導(dǎo)函數(shù)法求
23、出取最小值對(duì)一切xR，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問(wèn)在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.【解析】令.當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).令則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，式成立.綜上所述，的取值集合為.（）由題意知，令則令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即從而，又所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.28.（2012江蘇高考18）（本小題滿分16分）若函數(shù)y=f(x)在處取得極大
24、值或極小值，則稱為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).已知a，b是實(shí)數(shù)，1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的極值點(diǎn)；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解題指南】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)代入列方程組求解即可。（2）由（1）得，求出，令，求解討論即可。（3）比較復(fù)雜，先分和討論關(guān)于 的方程 根的情況；再考慮函數(shù)的零點(diǎn)?！窘馕觥浚?）由得又因1和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)所以的兩個(gè)根為1和。由根與系數(shù)的關(guān)系得所以a0，b3此時(shí)（2）由得當(dāng)時(shí)即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。所以函數(shù)的極大值點(diǎn)。（3）令，則。 先討論關(guān)于的方程 根的情況：當(dāng)時(shí)，由（2）可
25、知，的兩個(gè)不同的根為1 和一2 ，注意到是奇函數(shù)，的兩個(gè)不同的根為一和2。當(dāng)時(shí)， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 當(dāng)時(shí)， ，于是是單調(diào)增函數(shù)，從而。此時(shí)在無(wú)實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)增函數(shù)。又，的圖象不間斷， 在（1 , 2 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。同理，在（一2 ，一1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。 當(dāng)時(shí)，于是是單調(diào)減兩數(shù)。又， ，的圖象不間斷，在（一1，1 ）內(nèi)有唯一實(shí)根。因此，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的根滿足；當(dāng) 時(shí)有三個(gè)不同的根，滿足。現(xiàn)考慮函數(shù)的零點(diǎn)：( i ）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，滿足。而有三個(gè)不同的根，有兩個(gè)不同的根，故有5 個(gè)零點(diǎn)。( 11 ）當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的根，滿足。而有三個(gè)不同的根，故有
26、9 個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有9 個(gè)零點(diǎn)。29.（2012福建高考理科20） (本小題滿分14分)已知函數(shù) () 若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（本題的切線正好是x軸，應(yīng)改為垂直于y軸）() 試確定的取值范圍，使得曲線上存在唯一的點(diǎn)P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)P【解題指南】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想，有限與無(wú)限思想【解析】（）由于曲線在點(diǎn)處的切線斜率為 所以，即此時(shí)，由得當(dāng)，有，當(dāng)，有，所以
27、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（）設(shè)點(diǎn)； 曲線在點(diǎn)處的切線方程為令；故曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有唯一零點(diǎn)因?yàn)?，且若時(shí)， 當(dāng)時(shí)，則時(shí)，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，故只有唯一零點(diǎn)，由的任意性，不符合條件若，令則，令，得記則當(dāng)時(shí)，從而在內(nèi)單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，從而在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，知在上單調(diào)遞增所以函數(shù)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，由于在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，有，任取，有又當(dāng)時(shí)，易知其中，由于，則必存在，使得所以，故在內(nèi)存在零點(diǎn)，即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。若，仿并利用，可證函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線上存在唯一的點(diǎn)使該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)30.（2012
28、廣東高考理科21）（本小題滿分14分）設(shè)a1，集合，（1）求集合D（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點(diǎn)。【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B，構(gòu)造,因?yàn)?因?yàn)?所以3a-90,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系，按分四類進(jìn)行討論。(2)因?yàn)?所以由（1）知，時(shí)，在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。然后分別和時(shí)，的極值即可.【解析】(1)令時(shí)，,方程有兩個(gè)不等實(shí)根，又,時(shí)，時(shí),時(shí),.時(shí)，,綜上得時(shí)，時(shí), 時(shí)，時(shí), .(2)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，由（1）知，時(shí)，在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。時(shí)，在D內(nèi)有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。時(shí)，在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)31.（2012廣東高考文科21）同（2012廣
29、東高考理科21）設(shè)，集合.（1）求集合(用區(qū)間表示)（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn).【解題指南】 (1)解本題的關(guān)鍵是確定集合B，構(gòu)造,因?yàn)?因?yàn)?所以3a-90,方了便于比較g(x)=0的根與0的大小關(guān)系，按分四類進(jìn)行討論。(2)因?yàn)?所以由（1）知，時(shí)，在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。然后分別和時(shí)，的極值即可.【解析】(1)令時(shí)，,方程有兩個(gè)不等實(shí)根，又,時(shí)，時(shí),時(shí),.時(shí)，,綜上得時(shí)，時(shí), 時(shí)，時(shí), .(2)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)，由（1）知，時(shí)，在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)。時(shí)，在D內(nèi)有極大值點(diǎn)x=1,無(wú)極小值點(diǎn)。時(shí)，在D內(nèi)有極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)。32.（2012湖北高考文科22）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，n為正整數(shù)，a
30、,b為常數(shù)，曲線y=f(x)在（1，f(1)）處的切線方程為x+y=1.（1）求a,b的值；（2）求函數(shù)f(x)的最大值（3）證明：f(x) . 【解題指南】本題考查導(dǎo)數(shù)在解函數(shù)中的應(yīng)用,本題(1)易解,(2)問(wèn)中直接求導(dǎo),求零點(diǎn)討論單調(diào)性求解;(3)要構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明(【解析】(1).因?yàn)?,由點(diǎn)（1，f(1)）在x+y=1上,則1+b=1,所以b=0.又，又切線x+y=1的斜率為-1，則a=1.故：a=1,b=0. (2).由（1）知， ，.令得,即在(0,+)上有唯一零點(diǎn).在(0, )上,故單調(diào)遞增;而在(,+)上, ,故單調(diào)遞減.故.(3).令則.在(0,1)上, ,故單調(diào)
31、遞減;而在(1,+)上, ,故單調(diào)遞增,所以在(0,+)上的最小值為.所以.即令,得,即,也就是,由(2)知上式成立.故 f(x)0時(shí)設(shè)函數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解；（3） 對(duì)a進(jìn)行討論，綜合應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明?！窘馕觥浚?）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：_0+極小值因此，在x=1-a處取得最小值，故由題意。（2） 當(dāng)時(shí)，取x=1，有不合題意。當(dāng)k0時(shí)，令即令，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因此g(x)在上單調(diào)遞減。從而對(duì)于任意的，總有，即上恒成立。故符合題意。當(dāng)對(duì)于內(nèi)單調(diào)遞增。因此當(dāng)取，即不成立，故不合題意。綜上，的最小值為。（3） 當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=右邊，所以不等式成立，當(dāng)時(shí)，=，在（2）中取，得，從而，所以有=，綜上，.
2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)11 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例
