2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 思想方法 理

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1、數(shù)學(xué)思想方法 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 考情分析預(yù)測(cè) 數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最高層次的提煉與概括，數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)具有更高的層次，具有理性的地位，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維和能力的范疇，它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁． 高考中把函數(shù)與方程的思想作為數(shù)學(xué)思想方法的重點(diǎn)進(jìn)行考查，通過(guò)選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查；對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查側(cè)重兩個(gè)方面：一方面是充分利用選擇題和填空題的題型特點(diǎn)(只需寫出結(jié)果而無(wú)需寫出解答過(guò)程)， 突出將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形

2、問(wèn)題的意識(shí)，即由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化；另一方面在解答題中以由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化為主來(lái)考查數(shù)形結(jié)合思想；對(duì)于分類與整合思想是以解答題為主進(jìn)行考查的，通常是通過(guò)對(duì)含有字母參數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類與整合的研究，考查考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與周密性；轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中的重點(diǎn)是一些常用的變換方法，如一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化，命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等． 縱觀近幾年的高考試題，都加大了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，把數(shù)學(xué)思想方法的考查寓于各部分知識(shí)的考查之中，以知識(shí)為載體，著重考查能力與方法題目很常見．預(yù)測(cè)2011年數(shù)學(xué)高考中，仍然會(huì)在選擇題、填空題、解答題中以初等數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)為背景，考查數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)

3、數(shù)學(xué)思想方法的考查不會(huì)削弱，會(huì)更加鮮明，更加重視． 第19講　函數(shù)與方程思想 主干知識(shí)整合 1．“函數(shù)與方程”思想的地位 函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多．函數(shù)思想即將所研究的問(wèn)題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；方程思想即將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決． 2．“函數(shù)與方程”思想的作用 運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題主要從四個(gè)方面著手：一是把問(wèn)題中對(duì)立的已知與未知建立相等關(guān)系

4、統(tǒng)一在方程中，通過(guò)解方程解決；二是從分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)入手，找出主要矛盾，抓住某一個(gè)關(guān)鍵變量，將等式看成關(guān)于這個(gè)主變?cè)?常稱為主元)的方程，利用方程的特征解決；三是根據(jù)幾個(gè)變量間的關(guān)系，符合某些方程的性質(zhì)和特征(如利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等)，通過(guò)研究方程所具有的性質(zhì)和特征解決；四是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)、曲線等)，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題去解決． 3．“函數(shù)與方程”思想在高中數(shù)學(xué)中的體現(xiàn) (1)函數(shù)與方程是密切相關(guān)的，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0.函數(shù)問(wèn)題(例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程

5、問(wèn)題來(lái)求解，方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＞0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)＞0，借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式． (3)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)處理數(shù)列問(wèn)題十分重要． (4)函數(shù)f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)與二項(xiàng)式定理是密切相關(guān)的，利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題． (5)解析幾何中的許多問(wèn)題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，涉及到二

6、次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． (6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　函數(shù)方程思想在求解最值或參數(shù)的取值范圍的應(yīng)用 例1 已知函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋x，g(x)＝x2＋x＋a，若函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【解答】 函數(shù)f(x)與y＝g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)等價(jià)于方程x3－2x2＋x＝x2＋x＋a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 即關(guān)于x的方程x3－3x2－a＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 令h(x)＝x3－3x

7、2－a，則h′(x)＝3x2－6x. 令h′(x)<0，解得00，解得x<0或x>2. 所以h(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上為增函數(shù)，在(0,2)上為減函數(shù)． 所以h(0)為極大值，h(2)為極小值． 從而h(2)<0

8、<－2} D．{a|a≥0或a＝－2} B　【解析】 原問(wèn)題?a＝－有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解． 令＝t(t≠0)，則a＝－t3＋3t. 令f(t)＝－t3＋3t(t≠0)，f′(t)＝－3t2＋3， 由f′(t)＝0，得t＝1或t＝－1. 又t∈(－1,1)且t≠0時(shí)，f′(t)>0；t∈(－∞，－1)，(1，＋∞)時(shí)，f′(t)<0. 所以f(t)極大值＝f(1)＝2. 又t→－∞，f(t)→＋∞；t→＋∞，f(t)→－∞. 結(jié)合三次函數(shù)圖象即可得到答案． ?　探究點(diǎn)二　準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)函數(shù)關(guān)系中的主從變量，解決有關(guān)問(wèn)

9、題 例2 已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，向量，，滿足：－[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0. (1)求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式； (2)若x>0，證明：f(x)>； (3)若不等式x2≤f(x2)＋m2－2bm－3時(shí)，x∈[－1,1]及b∈[－1,1]都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解答】 用三點(diǎn)共線的充要條件構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，利用值域構(gòu)建不等式求解參數(shù)范圍問(wèn)題． (1)∵－[y＋2f′(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f′(1)]－ln(x＋1)， 由于A、B、C三點(diǎn)共線，即[y＋2f′(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1， ∴y＝f(x)＝l

10、n(x＋1)＋1－2f′(1)，f′(x)＝， 故f′(1)＝，∴f(x)＝ln(x＋1)． (2)令g(x)＝f(x)－，由g′(x)＝－＝， ∵x＞0，∴g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 故g(x)＞g(0)＝0，即f(x)＞. (3)原不等式等價(jià)于x2－f(x2)≤m2－2bm－3， 令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(x2＋1)， 由h′(x)＝x－＝＝， 當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0. 令Q(b)＝m2－2bm－3，則 解得m≥3或m≤－3. 變?cè)囶} 對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p，不等式x2

11、＋px＞4x＋p－3都成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是____________． x>3或x<－1　 【解析】 原不等式可化為p(x－1)＋(x2－4x＋3)＞0，記f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋3， 由已知0≤p≤4，f(p)＞0恒成立，有解之得x＞3或x＜－1. 【點(diǎn)評(píng)】 反客為主，變換主元是解題的關(guān)鍵． ?　探究點(diǎn)三　利用函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)問(wèn)題 例3 (1)設(shè)a>1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的x∈，都有y∈滿足方程logax＋logay＝c，這時(shí)a的取值的集合為____________． (1){2}　 【解析】 由logax＋logay＝c，得y＝(x

12、∈[a,2a])， 則當(dāng)x∈[a,2a]時(shí)，y∈. 又對(duì)于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]， 因此?又僅有一個(gè)常數(shù)c， 所以2＋loga2＝3?a＝2. (2)函數(shù)f(x)＝(0≤x≤2π)的值域是(　　) A. B. C. D. (2)C　 【解析】 由y＝，得y2＝?1－cos2x＝5y2＋4y2cosx. 令t＝cosx(t∈[－1,1])， 則等價(jià)于方程t2＋4y2·t＋5y2－1＝0在[－1,1]上有實(shí)數(shù)根． 令g(t)＝t2＋4y2·t＋5y2－1， ∵g(－1)＝y(tǒng)2≥0，g(1)＝9y2≥

13、0， 故?y2≤， 因此值域?yàn)?，選C. ?　探究點(diǎn)四　運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化，解決有關(guān)問(wèn)題 例4 若關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1、x2滿足－1

14、__． 　 【解析】方程即＋|a|＝－x2－x＝－2＋∈， 利用絕對(duì)值的幾何意義，得≤＋|a|≤， 可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為. ?　探究點(diǎn)五　函數(shù)方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用 例5 [2010·全國(guó)卷Ⅰ] 記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，設(shè)S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數(shù)列，求Sn. 【解答】 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 依題設(shè)有即 解得或 因此Sn＝n(3n－1)，或Sn＝2n(5－n)． 變?cè)囶} 已知函數(shù)f(x)＝若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. 　B.

15、 　C．[2,3) 　D．(1,3) 【解析】A　依題意，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列， 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 所以解得≤a<3，選擇A. 教師備選習(xí)題 (選題理由：均為高考中的重點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與不等式〈構(gòu)造函數(shù)〉； 2數(shù)列與不等式〈選擇函數(shù)中恰當(dāng)?shù)闹髟? 1．[2010·安徽卷] 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值； (2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1. 【解答】(1)f′(x)＝ex－2，所以當(dāng)x∈[ln2，＋∞

16、)時(shí)，f(x)是增函數(shù)； 當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，f′(x)是減函數(shù)． 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[ln2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)． 所以f(x)極小值＝f(ln2)＝2－2ln2＋2a. (2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，則g′(x)＝ex－2x＋2a， 由(1)知當(dāng)a>ln2－1時(shí)，g′(x)最小值＝2－2ln2＋2a， 所以有g(shù)′(x)最小值>0，即g(x)在R上是增函數(shù)， 于是當(dāng)a>ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)， 所以g(x)＝ex－x2＋2ax－1>0，所以ex>x2－2ax＋1. 2．[2010

17、·撫州卷] 已知數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝0，b1＝1，且當(dāng)n∈N*時(shí)，an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求最小自然數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0,1]，不等式(2λ－3)bn≥(2λ－4)an＋(λ－3)恒成立． 【解答】 (1)依題意2bn＝an＋an＋1，a＝bn·bn＋1. 又∵a1＝0，b1＝1， ∴bn≥0，an≥0，且2bn＝＋， ∴2＝＋(n≥2)， ∴數(shù)列{}是等差數(shù)列， 又b2＝4，b3＝9， ∴＝n，n＝1也適合． ∴bn＝n2，an＝(n－1

18、)n. (2)將an，bn代入不等式(2λ－3)bn≥(2λ－4)an＋(λ－3)， 整理得(2n－1)λ＋n2－4n＋3≥0. 令f(λ)＝(2n－1)λ＋n2－4n＋3，則f(λ)是關(guān)于λ的一次函數(shù)， 由題意可得 ∴解得n≤1或n≥3. ∴存在最小自然數(shù)k＝3，使得當(dāng)n≥k時(shí)，不等式恒成立． 規(guī)律技巧提煉 1．函數(shù)方程思想就是用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法處量變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問(wèn)題的一種思維方式，是很重要的數(shù)學(xué)思想． (1)函數(shù)思想：把某變化過(guò)程中的一些相互制約的變量用函數(shù)關(guān)系表達(dá)出來(lái)，并研究這些量之間的相互制約關(guān)系，最后解決問(wèn)題，這就是函數(shù)思想．應(yīng)用函數(shù)思想

19、解題，確立變量之間的函數(shù)關(guān)系是一關(guān)鍵步驟，大體可分為下面兩個(gè)步驟：①根據(jù)題意建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)問(wèn)題；②根據(jù)需要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題． 2)方程思想(：在某變化過(guò)程中，往往需要根據(jù)一些要求，確定某些變量的值，這時(shí)常常列出這些變量的方程或(方程組)，通過(guò)解方程(或方程組)求出它們，這就是方程思想． 2．函數(shù)與方程是兩個(gè)有著密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念，它們之間相互滲透，很多方程的問(wèn)題需要用函數(shù)的知識(shí)和方法解決，很多函數(shù)的問(wèn)題也需要用方程的方法來(lái)支援，函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系，形成了函數(shù)方程思想．

20、 第20講　數(shù)形結(jié)合思想 主干知識(shí)整合 1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的概念 數(shù)形結(jié)合思想，就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來(lái)考查的思想方法，即根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思想方法，在高考中經(jīng)?？疾椋? 2．?dāng)?shù)與形轉(zhuǎn)換的三條途徑 (1)通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解． (2)轉(zhuǎn)化，通過(guò)分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到形的角度來(lái)考慮．如將轉(zhuǎn)化為勾股定理或平面上兩點(diǎn)間的距離等． (3)構(gòu)造，通過(guò)對(duì)數(shù)(式)與形特點(diǎn)的分析，聯(lián)想相關(guān)知識(shí)

21、構(gòu)造圖形或函數(shù)等．比如構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)圖表等． 3．?dāng)?shù)形結(jié)合的主要解題方式 (1)數(shù)轉(zhuǎn)化為形，即根據(jù)所給出的“數(shù)”的特點(diǎn)，構(gòu)造符合條件的幾何圖形，用幾何方法去解決． (2)形轉(zhuǎn)化為數(shù)，即根據(jù)題目特點(diǎn)，用代數(shù)方法去研究幾何問(wèn)題． (3)數(shù)形結(jié)合，即用數(shù)研究形，用形研究數(shù)，相互結(jié)合，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷、直觀、明了． 華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，不僅直觀，易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，可起到事半功倍的效果．所以華先生還一語(yǔ)雙關(guān)地告誡學(xué)生“不要得意忘形”．

22、 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　代數(shù)問(wèn)題幾何化——以形助數(shù) 例1 (1)[2010·湖北卷] 若直線y＝x＋b與曲線y＝3－有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是(　　) A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2] C．[1－2，3] D．[1－，3] (1)C　 【解析】 曲線方程可化簡(jiǎn)為(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圓心為(2,3)，半徑為2的半圓． 依據(jù)數(shù)形結(jié)合，當(dāng)直線y＝x＋b與此半圓相切時(shí)須滿足圓心(2,3)到直線y＝x＋b距離等于2， ∴＝2，解得b＝1＋2

23、或b＝1－2. 因?yàn)槭窍掳雸A，故可得b＝1－2， 當(dāng)直線過(guò)(0,3)時(shí)，解得b＝3， 故1－2≤b≤3，所以C正確． (2)[2010·全國(guó)卷Ⅰ] 若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 (2)B　【解析】 畫出可行域(如下圖)，z＝x－2y?y＝x－z， 由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)時(shí)，z最大，且最大值為zmax＝1－2×(－1)＝3. 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力．求解時(shí)，將代數(shù)式賦予了幾何意義，那就是

24、直線的“在軸上的截距的2倍的相反數(shù)”，再結(jié)合圖形，從而使問(wèn)題得到解決．除了賦予“截距”的意義外，我們還經(jīng)常將式子賦予“斜率”“兩點(diǎn)間的距離”等．請(qǐng)看下面變式題． 變?cè)囶}(1)已知實(shí)系數(shù)方程x2＋(m＋1)x＋m＋n＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(－2，－1) (1) A　 【解析】 解答此題的關(guān)鍵是要由根的分布將條件轉(zhuǎn)化為m，n的關(guān)系式， 令f(x)＝x2＋(m＋1)x＋m＋n＋1，則f(x)＝0的兩根分別滿足01，

25、 即有 即為以上區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(m，n)和原點(diǎn)連線的斜率的范圍(如圖)，從而得到－2<<－. 　 (2)若直線＋＝1通過(guò)點(diǎn)M(cosα，sinα)，則(　　) A．a(chǎn)2＋b2≤1 B．a(chǎn)2＋b2≥1 C.＋≤1 D.＋≥1 【答案】D (3)當(dāng)x∈R時(shí)，求函數(shù)f(x)＝＋的最小值． (3)【解答】 從代數(shù)角度難以找到解題的途徑， 若把f(x)稍作變形，f(x)＝＋， 可以觀察到f(x)就是點(diǎn)P(x,0)到點(diǎn)A(－1，－1)、B(2，－2)的距離之和，如圖， 顯然當(dāng)P點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)f(x)min＝＋＝3. 高考命題者說(shuō) 【考

26、查目的】 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判定和點(diǎn)到直線的距離． 【命制過(guò)程】 根據(jù)直線方程和圓的方程判斷直線和圓的位置關(guān)系、確定點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何的重要內(nèi)容．本題命制過(guò)程中希望考生通過(guò)對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)的觀察或曲線參數(shù)方程的認(rèn)識(shí)，建立點(diǎn)的軌跡方程，把直線與圓有交點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，得到問(wèn)題的求解．當(dāng)然考生也可以利用點(diǎn)到直線的距離或柯西不等式求解，啟發(fā)鼓勵(lì)學(xué)有余力的考生積極拓展知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 【解題思路】 點(diǎn)M(cosα，sinα)的軌跡是圓x2＋y2＝1，從而轉(zhuǎn)化為直線和圓有交點(diǎn)的問(wèn)題；或根據(jù)直線過(guò)單位圓上一點(diǎn)，得到原點(diǎn)到直線的距離小于或等于1，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解． 【試

27、題評(píng)價(jià)】 本題對(duì)考生的能力要求比較高．試題把考生熟悉的直線和圓的位置關(guān)系的判斷問(wèn)題巧妙設(shè)計(jì)，使問(wèn)題的解答具有靈活性，考生必須深入理解數(shù)形結(jié)合的思想，從解析幾何的研究方法這個(gè)角度去認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題． (引自高等教育出版社2009年大綱版的《高考理科試題分析》第87頁(yè)第10題) ?　探究點(diǎn)二　幾何問(wèn)題代數(shù)化——以數(shù)輔形 例2 (1)[2009·山東卷] 函數(shù)y＝的圖象大致為(　 　) 圖7－20－1 A【解析】 (1)函數(shù)有意義，需使ex－e－x≠0，其定義域?yàn)閧x|x≠0}，排除C，D. 又因?yàn)閥＝＝，所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故選A. (2)[2010·安徽卷] 設(shè)abc>

28、0，二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　) 圖7－20－2 D【解析】 (2)根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向上或向下，分a>0或a<0兩種情況分類考慮．另外還要注意c值是拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，還要注意對(duì)稱軸的位置或定點(diǎn)坐標(biāo)的位置等．當(dāng)a>0時(shí)，b、c同號(hào)，C、D兩圖中c<0，故b<0，－>0，選項(xiàng)D符合． (3)[2010·重慶卷] 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是(　　) A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線 (3)D　【解析】 (圖形略)在邊長(zhǎng)為a的正方體A

29、BCD－A1B1C1D1中，DC與A1D1是兩互相垂直的異面直線，平面ABCD過(guò)直線DC且平行于A1D1，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x，y)在平面ABCD內(nèi)且到A1D1與DC的距離相等，則|x|＝，∴x2－y2＝a2. 【點(diǎn)評(píng)】 轉(zhuǎn)換數(shù)與形的重要途徑之一就是通過(guò)坐標(biāo)系的建立，引入數(shù)量，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解． 變?cè)囶} (1)[2010·湖南卷] 函數(shù)y＝ax2＋bx與y＝logx(ab≠0，|a|≠|(zhì)b|)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是(　　) 圖7－20－3 (1)D　【解析】 函數(shù)y＝ax2＋bx與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是(0,0)，

30、.對(duì)于A、B， 由拋物線的圖象知－∈，則∈(0,1)，所以y＝log||x不是增函數(shù)， 排除；對(duì)于C，由拋物線的圖象知a<0且－<－1，所以>1， 所以y＝log||x應(yīng)是增函數(shù)排除C，故選D. (2)若動(dòng)直線x＝α與函數(shù)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的圖象分別交于M、N兩點(diǎn)，則的最大值為(　　) A．1 B. C. D．2 (2)B 高考命題者說(shuō) 【考查目的】 本題考查三角函數(shù)的最大值的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 【命制過(guò)程】 考生對(duì)f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的圖象是比較熟

31、悉的．本題可以通過(guò)作圖直觀得到線段MN，但要從圖形的變化確定線段MN的長(zhǎng)度的最大值是困難的，這就必須將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”．實(shí)際上|MN|＝|sinα－cosα|＝sinα－.命制本題的目的是考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的最大值的求解方法． 【解題思路】 |MN|＝|sinα－cosα|＝. 【試題評(píng)價(jià)】 試題以考生熟悉的三角函數(shù)圖象入手，巧妙設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)的圖形變化，將“形”的問(wèn)題——求|MN|的最大值，轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的問(wèn)題——求函數(shù)y＝|sinα－cosα|的最大值，不僅突出考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了考生將知識(shí)遷移到不同情境中的能力，將數(shù)形結(jié)合的思想充分展現(xiàn)

32、出來(lái)． (引自高等教育出版社2009年大綱版的《高考理科試題分析》第62頁(yè)第8題) ?　探究點(diǎn)三　“數(shù)”“形”互助——相得益彰 例3 (1)[2010·全國(guó)卷1] 已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D, 且＝2，則C的離心率為________． (1)【解析】 (法一)如圖，|BF|＝＝a，作DD1⊥y軸于點(diǎn)D1， 則由＝2，得＝＝，所以|DD1|＝|OF|＝c， 即xD＝，由橢圓的第二定義得|FD|＝e＝a－. 又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－?e＝ 解法二：設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式＋＝1， 設(shè)D(x2

33、，y2)，F(xiàn)分BD所成的比為2， xC＝?x2＝xC＝c；yC＝?y2＝＝＝－， 代入橢圓方程得＋＝1?e＝. (2)[2010·安徽卷] 橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e＝. (1)求橢圓E的方程； (2)求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程． 【解答】 (1)設(shè)橢圓E的方程為＋＝1. 由e＝，即＝，a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2，所以橢圓方程＋＝1. 將A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c＝2，∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， 所以直線

34、AF1的方程為y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0；直線AF2的方程為x＝2. 由橢圓E的圖形知∠F1AF2的角平分線所在直線的斜率為正數(shù)． 設(shè)P(x，y)為∠F1AF2的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，則＝|x－2|. 若3x－4y＋6＝5x－10，即x＋2y－8＝0，其斜率為負(fù)，不合題意，舍去． 于是3x－4y＋6＝－5x＋10，即2x－y－1＝0. 所以∠F1AF2的角平分線所在直線的方程為2x－y－1＝0. 教師備選習(xí)題 (選題理由：1,2均為數(shù)形結(jié)合，很有代表性) 1．[2010·黃岡卷] 方程2sinθ＝cosθ，θ∈[0,2π)的根的個(gè)數(shù)是(　　) A．1

35、 B．2 C．3 D．4 【解析】B因?yàn)榉匠逃懈蔯osθ>0， 令sinθ＝x，(－1≤x≤1)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2x＝的根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題， 記C1：y＝2x，C2：y＝，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題． 在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，如圖所示，故選B. 【點(diǎn)評(píng)】 方程根的個(gè)數(shù)與曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是相同的．本例先對(duì)數(shù)式換元轉(zhuǎn)化，再進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化，最后考查曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 2．如果實(shí)數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝3，則的最大值是(　　) A. B. C.

36、D. 【解析】 D將寫成的形式，這樣就可以看成是圓(x－2)2＋y2＝3上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)(0,0)連線的斜率．如圖，顯然當(dāng)連線與圓相切時(shí)取得最值，其中傾斜角為銳角的切線斜率最大，為. 規(guī)律技巧提煉 1．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則： (1)等價(jià)性原則：要注意由于所作的草圖不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)； (2)雙向性原則：即進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易失真； (3)簡(jiǎn)單性原則：不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，而取決于是否有效、簡(jiǎn)便和更易達(dá)到解決問(wèn)題的目的． 2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)要注意： (

37、1)兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)圖象在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)時(shí)，必須要考慮它們的相對(duì)位置關(guān)系，否則極易出錯(cuò)．例如方程sinx＝lgx有多少個(gè)實(shí)數(shù)解？很多學(xué)生由圖得只有1個(gè)解，這是錯(cuò)誤的． (2)要熟記常見函數(shù)或曲線的形狀和位置，畫圖要比較準(zhǔn)確． 第21講　分類討論思想 主干知識(shí)整合 1．分類討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，同時(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要的幫助，因此，有關(guān)分類討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置． 所謂分類討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到

38、整個(gè)問(wèn)題的解答．實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略． 2．運(yùn)用分類討論思想解題的基本步驟： (1)明確討論的對(duì)象：即對(duì)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論； (2)對(duì)所討論的對(duì)象進(jìn)行合理分類(分類時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏、標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一、分層不越級(jí))； (3)逐類討論：即對(duì)各類問(wèn)題詳細(xì)討論，逐步解決； (4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納． 3．明確引起分類討論的原因，有利于掌握用分類討論的思想方法解決問(wèn)題，分類討論的主要原因有： (1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、兩條直線所成的角等； (2)由數(shù)學(xué)運(yùn)

39、算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負(fù)、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等； (3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論； (4)由圖形的不確定性引起的分類討論； (5)由參數(shù)的變化引起的分類討論，某些含參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或者由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法； (6)其他根據(jù)實(shí)際問(wèn)題具體分析進(jìn)行分類討論，如排列、組合問(wèn)題，應(yīng)用問(wèn)題等． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　根據(jù)數(shù)學(xué)概念分類討論 例1 [2009·廣東卷

40、] 已知二次函數(shù)y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0)．設(shè)f(x)＝. (1)若曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值； (2)k(k∈R)如何取值時(shí)，方程f(x)－kx＝0有解，并求出該方程的解． 【解答】(1)依題可設(shè)g(x)＝a(x＋1)2＋m－1(a≠0)，則g′(x)＝2a(x＋1)＝2ax＋2a， 又g′(x)的圖象與直線y＝2x平行，∴2a＝2，a＝1， ∴g(x)＝(x＋1)2＋m－1＝x2＋2x＋m，f(x)＝＝x＋＋2. 設(shè)P(x0，y0)，則|PQ|2＝x＋(y0－2)2＝

41、x＋2 ＝2x＋＋2m≥2＋2m＝2|m|＋2m， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝時(shí)，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值. 當(dāng)m>0時(shí)，＝，解得m＝－1； 當(dāng)m<0時(shí)，＝，解得m＝－－1. (2)由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0(x≠0)，得(1－k)x2＋2x＋m＝0　(*) 當(dāng)k＝1時(shí)，方程(*)有一解x＝－； 當(dāng)k≠1時(shí)，方程(*)有兩解?Δ＝4－4m(1－k)>0， 當(dāng)m>0，k>1－或者m<0，k<1－時(shí)， 方程f(x)－kx＝0有兩解x＝； 當(dāng)k≠1時(shí)，方程(*)有一解?Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－， 方程f(x)－kx＝0，有一解x＝＝－m.

42、綜上，當(dāng)k＝1時(shí)，方程f(x)－kx＝0有一解x＝－； 當(dāng)k>1－(m>0)，或k<1－(m<0)時(shí)， 方程f(x)－kx＝0有兩解x＝； 當(dāng)k＝1－時(shí)，方程f(x)－kx＝0有一解x＝＝－m. 【點(diǎn)評(píng)】 本題有兩次運(yùn)用了數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類，一次是根據(jù)絕對(duì)值的概念，另一次是根據(jù)一元二次方程的概念，要注意的是不能見到形如(*)式這樣的方程就認(rèn)定它是一元二次方程，要根據(jù)系數(shù)是否為零進(jìn)行分類探究． ?　探究點(diǎn)二　根據(jù)公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論 例2 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0(n＝1,2，…)． (1)求q的取值范圍； (2)設(shè)bn＝an＋2－an＋1，記{b

43、n}的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小． 【解析】 由于涉及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，須分q＝1和q≠1討論． 欲比較Sn與Tn的大小，只需求出Sn與Tn后，再用作差法比較． 【解答】 (1)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0. 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1>0； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝>0，即>0，(n＝1,2，…) 上式等價(jià)于不等式組：(n＝1,2，…)① 或(n＝1,2，…)② 解①式得q>1；解②，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得－1

44、n，Tn＝Sn. 于是Tn－Sn＝Sn＝Sn(q－2)． 又∵Sn>0，且－10， ①當(dāng)－12時(shí)Tn－Sn>0，即Tn>Sn； ②當(dāng)－

45、地，在應(yīng)用帶有限制條件的公式時(shí)要小心，根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論． 變?cè)囶} 求和Sn＝a＋a2＋…＋an＝________. 【解析】當(dāng)a＝0時(shí)，Sn＝0. 當(dāng)a≠0時(shí)，此題為等比數(shù)列求和， ①若a≠1時(shí)，則由求和公式，得Sn＝； ②若a＝1時(shí)，Sn＝n. 綜合可得，Sn＝ 【點(diǎn)評(píng)】 由于等比數(shù)列定義本身有條件限制，等比數(shù)列求和公式是分類給出的，因此，應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)也需要討論．這里進(jìn)行了兩層分類：第一層分類的依據(jù)是等比數(shù)列的概念，分為a＝0和a≠0；第二層分類依據(jù)是等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用條件． ?　探究點(diǎn)三　根據(jù)參數(shù)的變化情況分類討論 例3 [2010

46、·山東卷] 已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)． (1)當(dāng)a＝－1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程； (2)當(dāng)a≤時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性． 【解答】(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋1－， 因此，f′(2)＝1，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為1， 又f(2)＝ln2＋2， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0. (2)因?yàn)閒(x)＝lnx－ax＋－1， 所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)． 令g

47、(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)， ①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)函數(shù)f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)a≠0時(shí)，由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1， (i)當(dāng)a＝時(shí)，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此時(shí)f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； (ii)當(dāng)00，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)

48、f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈時(shí)，g(x)<0，此時(shí)f′(x)>0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增； x∈時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減； (iii)當(dāng)a<0時(shí)，由于－1<0，故x1>x2， 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g(x)>0，此時(shí)f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減； x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)<0，此時(shí)函數(shù)f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． 綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)0

49、單調(diào)遞增， 函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減； 當(dāng)a＝時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減． 【點(diǎn)評(píng)】 本題分類討論的目的是為了判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，正是因?yàn)閍的不同取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)的影響，才決定著必須進(jìn)行分類討論．討論時(shí)要突出目的性、全面性、準(zhǔn)確性． ?　探究點(diǎn)四　根據(jù)圖形位置或形狀變動(dòng)分類討論 例4 [2010·遼寧卷] 有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是(　　) A．(0，＋) B．(1,2) C．(－，＋) D．(0,2) A　【解析

50、】 根據(jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱錐形的鐵架，有以下兩種情況： (1)底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a，如圖(1)，此時(shí)a可以取最大值，可知AD＝，SD＝，則有<2＋，即a2<8＋4＝(＋)2，即有a<＋； (2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為a，其他各邊長(zhǎng)為2，如圖(2)，此時(shí)a>0即可滿足條件． 綜上分析可知a∈(0，＋)． 【點(diǎn)評(píng)】 涉及幾何問(wèn)題時(shí)，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論． 變?cè)囶} (1)已知橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則使得三角形PF1F2是直

51、角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 (1)D【解析】按照直角三角形PF1F2的直角頂點(diǎn)的不同情況分析研究． ①若F1為直角頂點(diǎn)，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個(gè)，如圖①. ②若F2為直角頂點(diǎn)，則這樣的直角三角形一定存在，且有兩個(gè)，如圖②. ③若P為直角頂點(diǎn)，若這樣的P點(diǎn)存在，設(shè)其坐標(biāo)為(x，y)， 依題意F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，于是＝(－4－x，－y)，＝(4－x，－y)， 因?yàn)镻為直角，所以·＝0，因此x2＋y2－16＝0， 又因?yàn)椋?，所以解得 所以

52、P點(diǎn)坐標(biāo)為，，，， 故這樣的直角三角形也存在，并且有4個(gè)，如圖③. 綜上所述，使得三角形PF1F2是直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為8，選D. 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，其關(guān)鍵是按照直角頂點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類研究． (2)[2009·上海卷] 過(guò)圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，△AOB被圓分成四部分(如圖7－21－1)，若這四部分圖形的面積滿足SⅠ＋SⅣ＝SⅡ＋SⅢ，則直線AB有(　 　) 圖7－21－1 A．0條 B．1條 C．2條 D．3條

53、B【解析】 由已知，得SⅣ－SⅡ＝SⅢ－SⅠ，第Ⅱ，Ⅳ部分的面積是定值， 所以SⅣ－SⅡ?yàn)槎ㄖ担碨Ⅲ－SⅠ為定值， 當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意， 即直線AB只有一條，故選B. (3)[2009·浙江卷] 設(shè)向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0.以a，b，a－b的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (3)　B　【解析】 因?yàn)椋?，所以以a，b，a－b的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形；對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置正好是

54、三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍微右移且再向下移，能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，如圖，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)． 教師備選習(xí)題 (選題理由：避免分類討論的幾種方法． 1．消去參數(shù)，避免分類討論；2.分離參數(shù)，避免分類討論) 1．已知01兩種情況討論．但注意到兩對(duì)數(shù)同底，可用作商比較法，通過(guò)換底公式可消去參數(shù)m，這樣可避免對(duì)參數(shù)m的分類討論． 【解答】 ＝＝log(1＋a). 因?yàn)?＋a>1,1＋a

55、<，所以log(1＋a)>1，即>1. 故|logm(1－a)|>|logm(1＋a)|. 【點(diǎn)評(píng)】 若將題設(shè)條件改為－10對(duì)|x|≤1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【解析】 若設(shè)f(m)＝x2－2mx＋2m＋1＝(x－m)2－m2＋2m＋1，由|x|≤1知，對(duì)m應(yīng)分m<－1，－1≤m≤1，m>1三種情況討論．若分離參數(shù)，則不用討論． 【解答】 原不等式等

56、價(jià)于2m(1－x)>－1－x2.當(dāng)x＝1時(shí)，顯然成立； 當(dāng)x≠1時(shí)，因?yàn)閨x|≤1，所以1－x>0，則有m>恒成立，只需m>max. 因?yàn)椋剑剑埽?2－2)＝1－， 當(dāng)1－x＝，即x＝1－時(shí)取“＝”， 即max＝1－，所以m>1－. 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，是最容易引起“討論”的．本題求解過(guò)程中，求1－x＋的最小值時(shí)，要注意驗(yàn)證取等號(hào)的條件． 規(guī)律技巧提煉 分類討論思想的本質(zhì)上是“化整為零，積零為整”．用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問(wèn)題的操作過(guò)程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)→確定分類的標(biāo)準(zhǔn)→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集

57、為全集)．做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論． 第22講　轉(zhuǎn)化與劃歸思想 主干知識(shí)整合 轉(zhuǎn)化與化歸的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想．等價(jià)轉(zhuǎn)化有一些模式可以遵循，總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單(高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等)、化未知為已知．在用化歸方法解題時(shí)要求我們的思維一定要有靈活性、多樣性、聯(lián)想性、開放性，通過(guò)變換迅速而合理地尋找和選擇解決問(wèn)題的途徑和方法． 1．化歸的常用模式 2．常見的化歸方法 (1)換

58、元法：例如利用“換元”將無(wú)理式化為有理式，高次問(wèn)題化為低次問(wèn)題； (2)數(shù)形結(jié)合法：把形(數(shù))轉(zhuǎn)化為數(shù)(形)，數(shù)形互補(bǔ)、互換獲得問(wèn)題的解題思路； (3)向量法(復(fù)數(shù)法)：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量(復(fù)數(shù))問(wèn)題； (4)參數(shù)法：通過(guò)引入?yún)?shù)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的形式，易于解決； (5)建模法：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題或把一類數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一類數(shù)學(xué)問(wèn)題； (6)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)為工具，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”、“形”的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化； (7)類比法：類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物間存在著相同或不同的屬性，聯(lián)想到另一類事物也可能具有某種屬性的思想方法，一般由特殊向一般類比，抽象向具體類比，低維向高維類比，平行類比

59、； (8)特殊化法：將一般問(wèn)題特殊化，從特殊問(wèn)題的解決中，尋找一般問(wèn)題的解題策略； (9)一般化方法：有時(shí)問(wèn)題的本質(zhì)特征可能被具體問(wèn)題所掩蓋，這時(shí)應(yīng)把特殊問(wèn)題一般化，尋找解題思路； (10)加強(qiáng)命題法：即把命題結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件； (11)正與反的轉(zhuǎn)化； (12)函數(shù)與方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化； (13)空間與平面之間的轉(zhuǎn)化； (14)整體與局部的轉(zhuǎn)化等等． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ?　探究點(diǎn)一　一般問(wèn)題與特殊問(wèn)題的化歸 例1 (1)[2010·安徽卷] 設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和，前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等

60、式中恒成立的是(　　) A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X) (1)D【解析】 取等比數(shù)列1,2,4，令n＝1，得X＝1，Y＝3，Z＝7代入驗(yàn)算，只有選項(xiàng)D滿足． 【點(diǎn)評(píng)】 對(duì)于含有較多字母的客觀題，可以取滿足條件的數(shù)字代替字母，代入驗(yàn)證，若能排除3個(gè)選項(xiàng)，剩下唯一正確的就一定正確，若不能完全排除，可以取其他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除．本題也可以用首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論． (2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A

61、(－4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓＋＝1上，則＝________. (2)　【解析】 頂點(diǎn)B取橢圓短軸端點(diǎn)，即B(0,3)， 則sinA＝sinC＝cos＝，sin＝， ∴sinB＝2sincos＝2××＝， ∴＝. 【點(diǎn)評(píng)】 這里頂點(diǎn)B是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以sinA、sinB、sinC不易確定．但根據(jù)“一般成立特殊一定成立”可將這個(gè)一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為B點(diǎn)在特殊位置(橢圓短軸端點(diǎn))來(lái)處理較易．像這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常用到．當(dāng)然，注意到A、C是兩焦點(diǎn)，利用正弦定理，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果．

62、 ?　探究點(diǎn)二　正向思維與逆向思維的化歸 例2若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)值c使得f(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍． 【解答】 如果在[－1,1]內(nèi)沒(méi)有值滿足f(c)>0， 則??p≤－3或p≥， 取補(bǔ)集為－3

63、析】設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率為P， 則甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對(duì)立事件為甲、乙二人均抽到標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片，設(shè)為，則P＝1－＝1－＝. 【點(diǎn)評(píng)】 正難則反，利用補(bǔ)集求得其解，這就是補(bǔ)集思想，充分體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的思想方法．一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)很少，從反面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”情形的問(wèn)題中． ?　探究點(diǎn)三　抽象問(wèn)題與具體問(wèn)題的化歸 例3 ，，(其中e為自然常數(shù))的大小關(guān)系是(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< A【解析

64、】由于＝，＝，＝，故可構(gòu)造函數(shù)f(x)＝， 于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝. 而f′(x)＝′＝＝， 令f′(x)>0得x<0或x>2，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增， 因此有f(4)

65、)，若方程f(x)＝k(cosx－2)中的cosx有一正一負(fù)兩個(gè)值，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 【解答】 令cosx＝t，t∈(－1,1)， 則由f(x)＝k(cosx－2)，得2t2＋(1－k)t＋2k－1＝0，(1) 方程f(x)＝k(cosx－2)中的cosx有一正一負(fù)兩個(gè)值， 等價(jià)于關(guān)于t的方程(1)在t∈(－1,1)中有兩根異號(hào)． 設(shè)g(t)＝2t2＋(1－k)t＋2k－1， 則原問(wèn)題又等價(jià)于由此可得0

66、空間兩條異面直線所成的角，只需通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角．又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問(wèn)題有時(shí)也可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問(wèn)題等等． 變?cè)囶} 如圖7－22－1所示，在等邊三角形ABC中，AB＝a，O為中心，過(guò)O的直線交AB于M，交AC于N，求＋的最大值和最小值． 圖7－22－1 【解答】 由于O為正三角形ABC的中心，所以AO＝a，∠MAO＝∠NAO＝， 設(shè)∠MOA＝α，則≤α≤. 在△AOM中，由正弦定理，得＝，得OM＝. 在△AON中，由正弦定理，得ON＝， 所以＋＝＝. ∵≤α≤，∴≤sin2α≤1. 故當(dāng)α＝時(shí)，＋取得最大值； 當(dāng)α＝或時(shí)，此時(shí)＋取得最小值. 【點(diǎn)評(píng)】 將難以下手的題目轉(zhuǎn)化為自己熟練掌握的基本問(wèn)題，是應(yīng)用化歸思想的靈魂，要求必須做到轉(zhuǎn)化有目標(biāo)、轉(zhuǎn)化有橋梁、轉(zhuǎn)化有效果．本題將OM，ON利用正弦定理轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)式，注意α的隱含范圍． 教師備選習(xí)題 (選題理由：1.實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；2.補(bǔ)集思想；3.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想) 1．[2009·湖北卷] 如圖，衛(wèi)星