2012-2013高中數(shù)學《第一講 坐標系》章節(jié)特訓 新人教A版選修4-4

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1、2012-2013高二數(shù)學《第一講 坐標系》章節(jié)特訓（新人教A版）選修4-4 (時間：40分鐘　滿分：60分) 一、填空題(每小題5分，共40分) 1．已知直線ρsin＝，則極點到該直線的距離是________． 解析　由題意知，ρsin θ＋ρcos θ＝1，∴x＋y－1＝0，由點到直線的距離公式得所求的距離d＝. 答案　 2．(2011·汕頭調(diào)研)在極坐標系中，ρ＝4sin θ是圓的極坐標方程，則點A到圓心C的距離是________． 解析　將圓的極坐標方程ρ＝4sin θ化為直角坐標方程為x2＋y2－4y＝0，圓心坐標為(0,2)．又易知點A的直角坐標為(2，2)，故點

2、A到圓心的距離為＝2. 答案　2 3．在極坐標系中，過圓ρ＝6cos θ－2sin θ的圓心且與極軸垂直的直線的極坐標方程為________． 解析　由ρ＝6cos θ－2sin θ?ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圓的直角坐標方程為x2＋y2－6x＋2y＝0，將其化為標準形式為(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圓心的坐標為(3，－)，所以過圓心且與x軸垂直的直線的方程為x＝3，將其化為極坐標方程為ρcos θ＝3. 答案　ρcos θ＝3 4．(2011·華南師大模擬)在極坐標系中，點M到曲線ρcos＝2上的點的距離的最小值為________． 解析　依題意知，點M的直

3、角坐標是(2,2)，曲線的直角坐標方程是x＋y－4＝0，因此所求的距離的最小值等于點M到該直線的距離，即為＝2. 答案　2 5．(2011·廣州廣雅中學模擬)在極坐標系中，圓ρ＝4上的點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距離的最大值是________． 解析　把ρ＝4化為直角坐標方程為x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化為直角坐標方程為x＋y－8＝0，∴圓心(0,0)到直線的距離為d＝＝4.∴直線和圓相切，∴圓上的點到直線的最大距離是8. 答案　8 6．在極坐標系中，曲線C1：ρ＝2cos θ，曲線C2：θ＝，若曲線C1與C2交于A、B兩點，則線段AB＝___

4、_____. 解析　曲線C1與C2均經(jīng)過極點，因此極點是它們的一個公共點．由得即曲線C1與C2的另一個交點與極點的距離為，因此AB＝. 答案　 7．(2011·湛江模擬)在極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ2＋2ρcos θ＝0，點P的極坐標為過點P作圓C的切線，則兩條切線夾角的正切值是________． 解析　圓C的極坐標方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化為普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，點P的直角坐標為(0,2)，圓C的圓心為(－1,0)．如圖，當切線的斜率存在時，設切線方程為y＝kx＋2，則圓心到切線的距離為＝1，∴k＝，即tan α＝.易知滿足題意的另一條切線的方程為x＝

5、0.又∵兩條切線的夾角為α的余角，∴兩條切線夾角的正切值為. 答案　 8．若直線3x＋4y＋m＝0與曲線ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0沒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析　注意到曲線ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐標方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直線3x＋4y＋m＝0與該曲線沒有公共點，只要圓心(1，－2)到直線3x＋4y＋m＝0的距離大于圓的半徑即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0，或m＞10. 答案　(－∞，0)∪(10，＋∞) 二、解答題(共20分) 9．(10分)設過原

6、點O的直線與圓(x－1)2＋y2＝1的一個交點為P，點M為線段OP的中點，當點P在圓上移動一周時，求點M軌跡的極坐標方程，并說明它是什么曲線． 解　圓(x－1)2＋y2＝1的極坐標方程為ρ＝2cos θ，設點P的極坐標為(ρ1，θ1)，點M的極坐標為(ρ，θ)， ∵點M為線段OP的中點，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，將ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圓的極坐標方程，得ρ＝cos θ.∴點M軌跡的極坐標方程為ρ＝cos θ－，它表示圓心在點，半徑為的圓． 10．(10分)以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為(1，－5)，點M的極坐標為，若直線l過點P，且傾斜角為，圓

7、 C以M為圓心、4為半徑． (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程； (2)試判定直線l和圓C的位置關(guān)系． 解　(1)由題意，直線l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan ，此方程可化為＝，令＝＝a(a為參數(shù))，得直線l的參數(shù)方程為(a為參數(shù))． 如圖，設圓上任意一點為P(ρ，θ)，則在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2＋OM2－2·PO·OMcos∠POM， ∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos. 化簡得ρ＝8sin θ，即為圓C的極坐標方程． (2)由(1)可進一步得出圓心M的直角坐標是(0,4)， 直線l的普通方程是x－y－5－＝0， 圓心M到直線l的距離d＝＝＞4， 所以直線l和圓C相離．