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1、彎曲應(yīng)力,第十章,基 本 要 求,1.明確純彎曲和橫力彎曲的概念，掌握推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式的方法。 2.熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計算、強(qiáng)度條件及其應(yīng)用。 3.掌握常用截面梁橫截面上最大剪應(yīng)力計算和彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度的校核方法。 4.了解提高梁強(qiáng)度的一些主要措施。,10.1 梁的純彎曲,10.2 純彎曲時的正應(yīng)力,10.4 彎曲切應(yīng)力,10.3 橫力彎曲時的正應(yīng)力,10.5 提高彎曲強(qiáng)度的措施,目 錄,,,,,,10.1 梁的純彎曲,,CD段：,彎矩為常量，剪力為零。,,,請看一個實例,這種彎曲稱為純彎曲。,AC、DB兩段：,這種彎曲稱為橫力彎曲。,同時存在彎矩和剪力。,因此這種彎曲情況下，很截面上只有正
2、應(yīng)力,10.2 純彎曲時的正應(yīng)力,,一、實驗觀察,（1）變形后，橫截面仍保持為平面。但橫截面間發(fā)生轉(zhuǎn)動。,（2）同一層（高度）的纖維變形相同，即曲率相同。,（3）矩形橫截面上寬下窄。,二、兩個假設(shè),（1）平面假設(shè),（2）縱向纖維互不擠壓假設(shè)，即單向拉壓。,,三、理論分析,1、變形幾何關(guān)系,中性層：梁中纖維即不伸長也不縮短的那層。,中性軸：中性層與橫截面的交線。, 中性層的曲率半徑。,依然從以下三方面來分析：,變形后：,變形前：,,即：,由實驗觀察， 橫截面變形后仍保持為平面， 且仍與軸線垂直，=0,求距中性層為 y 處的纖維 的變形：,,2、物理關(guān)系,由假設(shè)（2），知各縱向纖維為單向拉壓，所
3、以在彈性范圍內(nèi)有：,說明：,到這一步，我們可推知正應(yīng)力隨y 的變化規(guī)律，但還不能確定其值。,該空間力系中,已經(jīng)自動滿足。,另有：,所以由（1）式：,說明中性軸過形心,3、靜力學(xué)關(guān)系,,由（2）式：,由于y軸是對稱軸，此式自然滿足。,,由（3）式：,由靜力學(xué)關(guān)系得到,由變形幾何關(guān)系得到,由物理關(guān)系得到,綜上分析，可以得到梁純彎曲時 橫截面上的彎曲正應(yīng)力計算公式：,,,幾 點 說 明,（1）纖維變形及應(yīng)力都隨y的增大而增大。若y為負(fù)，則產(chǎn)生壓縮變形， 應(yīng)力為壓應(yīng)力。,（2）公式適用于比例極限范圍內(nèi) ，外力過主形心慣性平面。,（3）當(dāng)梁的 l 5h 時，上述公式可以推廣到橫力彎曲。,（4）、y
4、的符號由變形來判斷。,（5）由公式推導(dǎo)可知，公式不僅適用于矩形截面，而且適用于其它一些 截面，如：T字形梁，工字形梁，圓截面梁，等等。同時我們可以給 出各種梁的正應(yīng)力分布情況。,（6）一些工程實例： 大橋做成拱狀。趙州橋，最早的石拱橋。 水泥預(yù)制板，中間做空，下面加筋（鋼筋或竹筋） 梁式起重機(jī)大梁，箱形截面或工字形截面。,10.3 橫力彎曲時的正應(yīng)力,,橫力彎曲時，在彎矩最大的截面上離中性軸最遠(yuǎn)處發(fā)生最大正應(yīng)力,由于切應(yīng)力對橫截面上各點的彎曲正應(yīng)力影響很小，所以對于橫力彎曲仍可以沿用純彎曲正應(yīng)力公式：,W稱為抗彎截面系數(shù)，單位是m3或mm3 。,對于寬為b高為h的矩形截面：
5、,對于直徑為d的圓形截面：,限定最大彎曲正應(yīng)力不得超過許用應(yīng)力，于是強(qiáng)度條件為：,設(shè)t 表示拉應(yīng)力，c 表示壓應(yīng)力，則：,塑性材料， t= c= ；,工程中，一般對塑性材料選用中性軸同截面對稱軸重合的截面形狀。對脆性材料，則不將對稱軸作中性軸，以充分利用材料的性能，使設(shè)計更經(jīng)濟(jì)合理。,脆性材料， t c，且t< c,彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用：,1、強(qiáng)度校核,2、梁的截面尺寸設(shè)計,3、求解許用載荷,e.g.1：兩矩形截面梁，尺寸和材料的許用應(yīng)力均相等，但放置如圖(a)、(b)。按彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件確定兩者許可載荷之比 PaPb？,解：,根據(jù)題意有,解之得,已知：P=10KN，a=1.2m =10
6、MPa，h/b=2,e.g.2,試：選擇梁的截面尺寸。,解：,由對稱性，可得：,作彎矩圖，,由強(qiáng)度條件,得：,故：,選取截面為：,由圖可得：,已知：l=1.2m，=170MPa， 18號工字鋼，不計自重。,e.g.3,求：P 的最大許可值。,解：,作彎矩圖，,得：,故：,查附錄A表4，,由：,由圖可得：,解：,作彎矩圖，,許用應(yīng)力為：,很容易求出：,校核強(qiáng)度：,截面A下邊緣：,截面A上邊緣：,截面C下邊緣：,故：滿足強(qiáng)度要求,,由圖可得危險截面彎矩：,e.g.5：主梁AB，跨度為l，采用加副梁CD的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度a為多少？,解：,主梁AB
7、的最大彎矩,副梁CD的最大彎矩,根據(jù)題意有,解之得,e.g.6圖示三種截面梁，材質(zhì)、截面內(nèi)max、max全相同，求三梁的重量比。并指出哪種截面最經(jīng)濟(jì)。,,,,解：由題意可知,即,e.g.7：矩形截面梁當(dāng)橫截面的高度增加一倍，寬度減小一半時，從正應(yīng)力強(qiáng)度條件考慮，該梁的承載能力將是原來的多少倍？,解：,由公式,根據(jù)題意有,解之得,該梁的承載能力將是原來的 2 倍。,,,,,,,,,,,,,,,解：,C點的應(yīng)力,C截面的彎矩,由,得,,e.g.9圖示梁的截面為T形，材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力分別為 t和c，則 y1 和 y2 的最佳比值為多少？（為截面形心）,,,,,,,,,,解：,e.g.10
8、：圖示木梁，已知下邊緣縱向總伸長為 10 mm，E=10GPa， 求載荷P的大小。,,,,,,,,,,,解：,,e.g.11：我國營造法中，對矩形截面梁給出的尺寸比例是 h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,解：,由此得,,10.4 彎曲切應(yīng)力,,一、矩形截面梁的切應(yīng)力,式中：,,,,設(shè)距離中性軸為y的橫線上切應(yīng)力為：,,若Q已知, 則有:,二、工字形梁的切應(yīng)力,此部分可近似運用矩形公式，它相當(dāng)于幾個矩形所構(gòu)成，但矩形梁的條件是：hd 所以僅有腹板可以用.,,說明:,（1）腹板最上面的剪應(yīng)力不等于翼緣最下面的剪應(yīng)力，翼緣上不能用上述公式。,
9、（2）翼緣最外邊緣處剪應(yīng)力為零，中間部分的剪應(yīng)力也很小，可忽略，但是水平剪應(yīng)力卻較大，可用開口薄壁桿件的剪應(yīng)力公式求之,（3）由于hb， ， 因此可以認(rèn)為腹板上的剪應(yīng)力大致是均勻分布的，且誤差很小。,三、圓截面梁的切應(yīng)力,（2）同一層在y方向上的分量y為常數(shù).,1、與Q的方向不一致，如外邊緣上的方向與切線一致。,假設(shè),（1）同一層的方向如圖，而z軸上, 則與Q的方向一致。,,,式中: Q 橫截面上的剪力, Iz 圓截面對中性軸的慣性矩, d 剪應(yīng)力所在的弦長, Sz* 剪應(yīng)力所在弦的上方或 下方面積對中性軸的靜矩.,由上面的假設(shè)，對y 而言，就與對矩形截面所作的假設(shè)完
10、全相同。 于是，圓截面梁的剪應(yīng)力公式可表示為：,max,max一定在中性軸(y=0)上, 其方向和剪力一致,且,,誤差<5%.,說明：,2、公式,四、彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核,1、彎曲最大剪應(yīng)力,其中， 是中性軸一邊的截面面積對中性軸的靜矩。,2、強(qiáng)度校核,中性軸上的受力狀態(tài)是純剪，故有,A、梁的跨度較短，或在支座附近有較大載荷； B、鉚接或焊接的工字形截面梁，腹板薄，而厚度大； C、薄壁截面梁； D、焊接或膠合而成的組合截面梁，其焊縫或膠合縫需要校核； E、木梁順紋方向抗剪差。,3、討論,（1）細(xì)長梁的強(qiáng)度控制因素主要是正應(yīng)力，滿足正應(yīng)力強(qiáng)度的 橫截面一般都能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度。,（2）但如
11、下情況需進(jìn)行梁的剪應(yīng)力校核：,解：,（1）作剪力圖和彎矩圖，,（2）選擇截面,查附表，選用10號工字鋼,由正應(yīng)力強(qiáng)度條件，得：,由圖可得：,（3）校核切應(yīng)力強(qiáng)度,查附表，對10號工字鋼,故：,（4）重新選擇截面,查附表，改選用12.6號工字鋼,則：,滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以，最后選用12.6號工字鋼,6.5 提高彎曲強(qiáng)度的措施,,主要以此作為設(shè)計梁的依據(jù),從以下兩方面來考慮：,（1）合理安排梁的受力情況，以降低Mmax的值；,（2）采用合理的截面形狀，以提高W 的值，充分利用材料性能。,1、合理布置支座的位置,一、合理安排梁的受力情況,,x=0.207l的時候，最大彎矩減小了83%,a=0.2
12、l的時候，最大彎矩減小了20%,2、合理布置載荷的位置,按下方圖的方式最大彎矩減小了25%,1、由應(yīng)力分布考慮,經(jīng)濟(jì)系數(shù)：單位橫截面積所產(chǎn)生的抗彎性能：,說明（1）矩形梁豎放，而不橫放。 （2）截面積盡可能地遠(yuǎn)離中性軸，不用矩形，而選用工字 形、槽形、或用加強(qiáng)板。,2、由材料的性質(zhì)看,脆性材料：中性軸靠近受拉邊。,塑性材料：中性軸是對稱軸。,3、由結(jié)構(gòu)的要求,梁：矩形、工字形、槽形,軸：圓形,二、選擇合理的截面形狀,三、等強(qiáng)度梁,使任一截面的最大正應(yīng)力都相等或近似相等，或盡可能地充分利用材料。,橫截面尺寸沿著梁軸線變化的梁稱為變截面梁。,當(dāng)梁的各橫截面上最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力時，稱為等強(qiáng)度梁。,謝謝大家,
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