高等數(shù)學(xué)教學(xué)資料第一節(jié) 孤立奇點(diǎn)

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1、1 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)及其分類一、孤立奇點(diǎn)及其分類1、孤立奇點(diǎn)的定義：、孤立奇點(diǎn)的定義：11:()cos()0?1cosf zf zzzz例例 函函數(shù)數(shù)與與考考慮慮常把常把f(z)在在0z的去心鄰域的去心鄰域00zz 展開成的展開成的LaurentLaurent 級數(shù)：級數(shù)：0nnnf(z)c(zz)（1.11.1）稱為稱為f(z)在在0z的的 LaurentLaurent 展開式。展開式。2、孤立奇點(diǎn)的分類、孤立奇點(diǎn)的分類1）可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)例1：212001112121nnnnnnsinz()()zzzz(n)!(n)!2421103521nnzzz()(z),!(n)!它不含它

2、不含z的負(fù)冪，的負(fù)冪，故故0z 是是sinzz的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。2）極點(diǎn)極點(diǎn)51zezz 在在0z 的去心鄰域的的去心鄰域的 LaurentLaurent 展開式為：展開式為：553211 11 11 11234znezzz!z!z!zn!它含它含1z的冪的最高項(xiàng)為的冪的最高項(xiàng)為31 12!z，例2：故故0z 是是51zezz 的的 3 3 級極點(diǎn)。級極點(diǎn)。若若0z是是f(z)的的m級極點(diǎn)，由級極點(diǎn)，由(1.3)(1.3)式，式，其中其中0mc,記上式右端括號中的級數(shù)的和函數(shù)為記上式右端括號中的級數(shù)的和函數(shù)為(z),即即 它的右端它的右端是在是在0B(z,)收斂收斂的的冪級數(shù)，冪級數(shù)，其

3、其和和函數(shù)函數(shù)(z)在在0B(z,)解析解析且且00m(z)c 。故故可得定理可得定理 1 1：定理1：3 3）本性奇點(diǎn)）本性奇點(diǎn)例3：13zf(z)z e 在在0z 的的去去心心鄰鄰域域的的 L La au ur re en nt t 展展開開式式為為：133211 11 112znz ez z!zn!z 3231102nzzz(z)!n!z 它含有無限多個(gè)它含有無限多個(gè)z的負(fù)冪，的負(fù)冪，所以所以0z 是是13zz e的本性奇點(diǎn)。的本性奇點(diǎn)。二、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的極限形態(tài)二、解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的極限形態(tài)1 1、若、若0z是是f(z)的可去奇點(diǎn)，則的可去奇點(diǎn)，則00zzlim f(z)c

4、，所以所以不論不論f(z)原來原來在在0z是是否否有有定義定義，如果如果我們我們令令00f(z)c，那么那么在在圓圓域域0zz 內(nèi)內(nèi)有有 3 3、若、若0z是是f(z)的本性奇點(diǎn)，則的本性奇點(diǎn)，則 PicardPicard 定理指出：定理指出：因此，當(dāng)因此，當(dāng)0zz時(shí)，時(shí)，f(z)不存在有限或無限的極限。不存在有限或無限的極限。111 21 21222kka(k,),b(k,)ki(k)i 當(dāng)當(dāng)k 時(shí)，是時(shí)，是kka,b均趨近于均趨近于0，12221kk(k)iabkikkkklim elim e,lim elim ei,kkabkklimelime,所以所以當(dāng)當(dāng)0z 時(shí)時(shí)，1ze不不存在存在

5、有限有限或或無限無限的的極限極限。00000002()(1)()lim()(2)()lim()(3)()lim()zzzzzzzf zzf zf zzf zf zzf zf z 定定理理：設(shè)設(shè) 是是的的孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)，那那末末是是的的可可去去奇奇點(diǎn)點(diǎn)存存在在且且有有限限.是是的的極極點(diǎn)點(diǎn) 是是的的本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在（無無論論是是 有有限限或或無無限限都都不不存存在在）三、解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系三、解析函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1、零點(diǎn)的定義、零點(diǎn)的定義 因因(z)在在0z解析，解析，00(z)，故可證明存在，故可證明存在0z的的一個(gè)鄰域一個(gè)鄰域0B(z,)，在其中，在其中0(z)。

6、設(shè)設(shè)f(z)在在0z解析，則下列陳述等價(jià)：解析，則下列陳述等價(jià)：（1 1）0z是是f(z)的的m級零點(diǎn)；級零點(diǎn)；（2 2）（）（2 2）在）在0z的某鄰域的某鄰域 10100mmmmmf(z)c(zz)c(zz)(c)；f(z)（2 2）（3 3）0000 110(k)(m)f(z)(k,m),f(z)。2、定理、定理3 按下列順序證明：按下列順序證明：1231()()()()。證明：證明：12()():若若0z是是f(z)的的m級零點(diǎn)，則在級零點(diǎn)，則在0z的某鄰的某鄰域域0B(z,)，0mf(z)(zz)(z),(z)在在0B(z,)解析解析且且00(z),設(shè)設(shè)(z)在在0B(z,)的冪級數(shù)

7、展開式為的冪級數(shù)展開式為 2010200nn(z)aa(zz)a(zz)a(zz)其中其中000a(z),則則f(z)在在0B(z,)的冪級數(shù)展開式為的冪級數(shù)展開式為 100100mmm nnf(z)a(zz)a(zz)a(zz)記記0 1 2n mnca(n,),則則 10100mmm nmmn mf(z)c(zz)c(zz)c(zz)其中其中000mca(z)。23()():若若2()成立，由于解析函數(shù)成立，由于解析函數(shù)f(z)在在0z的冪級的冪級數(shù)展開式是唯一的，必是它的數(shù)展開式是唯一的，必是它的 TaylorTaylor 級數(shù)，故級數(shù)，故 。00 1(n)nf(z)c(n,),n!于是

8、，于是，0(n)n,f(z)n!c 因因2()成立，成立，01100mmccc,c,則則有有 1000000(m)(m)mf(z)f(z)f(z),f(z)m!c,31()():若若3()成立，則在成立，則在0z的某鄰域的某鄰域0B(z,)，0000(m)(k)mkf(z)f(z)f(z)(zz)(zz)m!k!00000(k)mk m(m)k mf(z)(zz)(zz)f(z),k!,且且 定義：記上式右端級數(shù)和為定義：記上式右端級數(shù)和為(z)：00(k)k mk mf(z)(z)(zz)k!000(m n)nnf(z)(zz)(mn)!定義：它在鄰域定義：它在鄰域0B(z,)內(nèi)解析，內(nèi)解析

9、，定義：這時(shí)定義：這時(shí)0000(m)mf(z)f(z)(zz)(z),(z)m!且且。定理定理 2 2 證證畢畢。例例4 4：定義：試確定函數(shù)定義：試確定函數(shù)21zf(z)z(e)的零點(diǎn)及零點(diǎn)的級。的零點(diǎn)及零點(diǎn)的級。解：解：定義：若定義：若0f(z),則則20z 或或10ze,定義：從而定義：從而0z 或或12zLnk i(k),Z Z 故故f(z)的的零點(diǎn)零點(diǎn)為為2zk i(k)Z Z（包含包含0z ）。在在0z 的的鄰域鄰域，因因0nznze,n!故故 222111nnznnzzf(z)z(e)zn!n!432zz,!由由定理定理 2 2，0z 是是f(z)的的 3 3 級級零點(diǎn)零點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)

10、20zk i(k)時(shí)，時(shí)，22222120zzzk if(k i)z(e)z e(k i),所以所以20zk i(k)是是f(z)的的一一級級零點(diǎn)零點(diǎn)。定理定理4 （1 1）f(z)g(z)以以0z為為mn 級零點(diǎn)；級零點(diǎn)；（2 2）f(z)g(z)以以0z為零點(diǎn)，為零點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)mn 時(shí)，時(shí)，f(z)g(z)在在0z的零點(diǎn)的級為的零點(diǎn)的級為min(m,n)；當(dāng)當(dāng)mn 時(shí)，時(shí)，f(z)g(z)在在0z的零點(diǎn)的級的零點(diǎn)的級m(n)；當(dāng)當(dāng)mn 時(shí)，時(shí)，0z為為f(z)g(z)的可去奇點(diǎn)；的可去奇點(diǎn)；補(bǔ)充，補(bǔ)充，當(dāng)當(dāng)mn 時(shí)，時(shí)，0z為為f(z)g(z)的的nm 級級極極點(diǎn)點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，證明：證明：只

11、只證明證明（3 3）。因因f(z)和和g(z)分別以分別以0z為為m級和級和n級零點(diǎn)，級零點(diǎn)，故故在在0z的的某鄰域某鄰域有有 00mnf(z)(zz)(z),g(z)(zz)(z),其中其中(z)和和(z)在在0z解析且解析且0000(z),(z),所以所以 0m nf(z)(z)(zz),g(z)(z)其中其中 (z)(z)在在0z解析解析，且且000(z),(z)若若mn，由由定定理理 2 2 知知，當(dāng)當(dāng)對對f(z)g(z)在在0z補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義后后0z 可可看看作作f(z)g(z)的的mn 級級零零點(diǎn)點(diǎn)；補(bǔ)補(bǔ)充充，若若mn，000zz(z)f(z)lim,g(z)(z)補(bǔ)充，補(bǔ)充，所

12、以所以0z為為f(z)g(z)的可去奇點(diǎn)；的可去奇點(diǎn)；補(bǔ)充，補(bǔ)充，若若mn，則則01n mf(z)(z),g(z)(zz)(z)補(bǔ)充，補(bǔ)充，由由定理定理 1 1 知知，0z為為f(z)g(z)的的nm 級極點(diǎn)。級極點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，例5：判斷判斷0z 是下列函數(shù)的何種類型的奇點(diǎn)。是下列函數(shù)的何種類型的奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，解：(1)(1)3566135zsinzzzz(z)zz!補(bǔ)充，補(bǔ)充，31135!z!z 補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以0z 是是6zsinzz 的的 3 3 級級極點(diǎn)極點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，(2)(2)0z 是是23zsinzz!的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以是所以是4sin z的的

13、4 4 級零點(diǎn)；級零點(diǎn)；補(bǔ)充，補(bǔ)充，0z 是是212zzez!的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以是所以是31zz(e)的的 4 4 級零點(diǎn)；級零點(diǎn)；補(bǔ)充，補(bǔ)充，由定理由定理 3 3，0z 是是431zsin zz(e)的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，(3)(3)333511111135z sinz()()()zz!z!z 補(bǔ)充，補(bǔ)充，補(bǔ)充，補(bǔ)充，221135z!z （含無限多項(xiàng)（含無限多項(xiàng)z的負(fù)冪）的負(fù)冪）補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以0z 是是31z sinz的的本性本性奇點(diǎn)。奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，(4)(4)0sinzzk,又又0z k(sinz)cosk,補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以zk 是是0si

14、nz 的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，也是也是1sinz的一級極點(diǎn)，的一級極點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，特別地，特別地，0z 是是1sinz的一級極點(diǎn)。的一級極點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，(5)(5)由由10sinz 知知1z(k),k Z Z 補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以0z 及及10kz(kk)k 且且Z Z 都是都是11sinz的奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，又當(dāng)又當(dāng)k 時(shí)，時(shí)，10kz,k 補(bǔ)充，補(bǔ)充，即即0z 的任一鄰域均有的任一鄰域均有11sinz的奇點(diǎn)的奇點(diǎn)1k（當(dāng)（當(dāng)k充分大），充分大），補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以0z 不是不是11sinz的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，例例6 6：討論討論1221111zze

15、f(z)(z)(z)(e)的孤立奇點(diǎn)及其分類。的孤立奇點(diǎn)及其分類。補(bǔ)充，補(bǔ)充，分別解方程分別解方程221010 10z(z),z,e 知知 補(bǔ)充，補(bǔ)充，都是都是f(z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，又又1211112ze(z)(z)(zC)!補(bǔ)充，補(bǔ)充，所以所以1z 時(shí)時(shí)11ze 的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，也是也是22111z(z)(z)(e)的的 2 2 級零點(diǎn)級零點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，由由定理定理 3 3，1z 是是f(z)的一級的一級極極點(diǎn)。點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，解：解：又又22110 10iziz(k)i(z),(e),補(bǔ)充，補(bǔ)充，故故21z(k)i 是是1z(e)的一級零點(diǎn)，的一級零點(diǎn)，z

16、i 是是21z 的的 一級零點(diǎn)。一級零點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，在這些點(diǎn)在這些點(diǎn)211010z(z),e,補(bǔ)充，補(bǔ)充，由定理由定理 3 3，zi 是是f(z)的的 2 2 級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，2101z(k)i(k,k,k)Z Z是是f(z)的一級極點(diǎn)。的一級極點(diǎn)。補(bǔ)充，補(bǔ)充，綜上所述，綜上所述，zi 是是f(z)的的 2 2 級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，12101z,z(k)i(k,k,k)Z Z是是f(z)的的一一級極點(diǎn)，級極點(diǎn)，補(bǔ)充，補(bǔ)充，四、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)四、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)定義：定義：如果如果f(z)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)z 的去心鄰域的去心鄰域Rz 內(nèi)內(nèi) 解析，則稱點(diǎn)解析，則

17、稱點(diǎn)z 是是f(z)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。設(shè)設(shè)f(z)在在Rz 的的 LaurentLaurent 展開式為展開式為 101nnmnnmnccf(z)c zcc zc zzz 作變換作變換1,z 將將z 變成變成0,將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域?qū)o窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域Rz 變成原點(diǎn)的去心變成原點(diǎn)的去心鄰域鄰域 10R ，又又1f(z)f()（記作記作()），則則()在在10R 解析解析，z 是是f(z)的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)0 是是()的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)，從而從而可可將將在在Rz 內(nèi)內(nèi)對對f(z)的的研究研究轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為在在 10R 內(nèi)內(nèi)對對()的的研究研究。規(guī)定：規(guī)定：如果如果0 是是()的可去奇點(diǎn)

18、，的可去奇點(diǎn)，m級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，則則分別分別稱稱z 是是f(z)的的可可去去奇點(diǎn)奇點(diǎn),m級級極點(diǎn)極點(diǎn),本性本性奇點(diǎn)奇點(diǎn).()在在10R 的的 LaurentLaurent 展開式是：展開式是：110nmnnmnncc()cccc 由此可得：由此可得：（1 1）若）若f(z)的的 LaurentLaurent 展開式不含展開式不含z的正冪項(xiàng)，則的正冪項(xiàng)，則 ()的的 LaurentLaurent 展開式不含展開式不含 的負(fù)冪項(xiàng)，此時(shí)，的負(fù)冪項(xiàng)，此時(shí)，0 是是()的可去奇點(diǎn)，故的可去奇點(diǎn)，故z 是是f(z)的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。因?yàn)橐驗(yàn)?zlim f(z)lim(),要確定要

19、確定0 是是()的可去奇點(diǎn)，的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，只要分別看極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，只要分別看0lim()是有限值，無窮是有限值，無窮 大或不存在。大或不存在。因?yàn)橐驗(yàn)閒(z)(),要確定要確定z 是是f(z)的可去奇點(diǎn)，的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)極點(diǎn) 或本性奇點(diǎn)，只要分別看或本性奇點(diǎn)，只要分別看zlim f(z)是有限值，無窮是有限值，無窮大大或或 不存在。不存在。2571()sin(2)()sin1(3)()21zf zf zzzf zzz 例例：考考慮慮下下列列函函數(shù)數(shù)在在處處的的情情況況。(1)(1)233(1)(2)8()(sin)zzf zz 例例：討討論論函函數(shù)數(shù)在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面的的奇奇點(diǎn)點(diǎn) 及及其其類類型型。213222(1)()1(2)()(2)(1)(1)zzzf zz eef zzze 練練習(xí)習(xí)：討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)在在擴(kuò)擴(kuò)充充復(fù)復(fù)平平面面的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)及及其其類類型型。